专题22.4 解题技巧专题：用待定系数法求二次函数的表达式（6大考点）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题22.4 解题技巧专题：用待定系数法求二次函数的表达式 目录 【考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式】 1 【考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式】 5 【考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式】 13 【考点四 一点一对称轴求二次函数的解析式】 17 【考点五 已知顶点式求二次函数的解析式】 26 【考点六 已知交点式求二次函数的解析式】 29 【典型例题】 【考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式】 例题：（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【变式训练】 1．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标； (2)一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点（点在点的右边）．    (1)求抛物线的表达式； (2)为抛物线上任意一点，将点向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围． 3．（2024·浙江嘉兴·二模）已知二次函数（a为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点； ①求a的值． ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ (2)若点均在该二次函数的图象上，求证：． 【考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线，求该抛物线的表达式． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求函数表达式． (2)判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的二次函数的图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求当时，的最大值与最小值． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示，抛物线经过两点，交轴于点C，D为抛物线的顶点，连接，为的中点．请在轴上找一点，使的值最小，并求的最小值． 4．（23-24九年级上·广西柳州·开学考试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标． 【考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，求抛物线的函数解析式； 2．（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 3．（2023·云南昭通·校考一模）如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当的面积为4时，求点D的坐标； (3)过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点四 一点一对称轴求二次函数的解析式】 例题：（2023·宁夏中卫·统考二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求a的值． 【变式训练】 1．（2023·安徽合肥·统考三模）已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围． 2．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 3．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式． (2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值． 4．（2023·河南商丘·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）与x轴正半轴的交点坐标是 ，对称轴为直线．    (1)求抛物线的解析式． (2)点A，B均在这个抛物线上，点A的横坐标为a，点B的横坐标为，将A，B两点之间的部分（包括A，B两点）记为图象G，设图象G的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h． ①当A，B两点的纵坐标相等时，求h的值； ②当时，直接写出a的取值范围． 【考点五 已知顶点式求二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江·假期作业）已知二次函数的图象顶点是，且过点，求这个二次函数的解析式． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求此抛物线对应的函数表达式． 3．（2024·江苏南京·三模）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围为_______． (3)该二次函数图象关于轴对称的图象所对应的函数表达式为_______． 【考点六 已知交点式求二次函数的解析式】 例题：（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知一个抛物线经过点，和． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 5 0 0 … (1)求二次函数解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 3．（2024·浙江杭州·二模）设二次函数（a为实数，且）． (1)若该函数图象经过点，求二次函数表达式． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）． (3)若该函数图象经过点，且满足，求a的值． 4．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在该二次函数上． ①当时，求的值； ②当时，的最小值为，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.4 解题技巧专题：用待定系数法求二次函数的表达式 目录 【考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式】 1 【考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式】 5 【考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式】 13 【考点四 一点一对称轴求二次函数的解析式】 17 【考点五 已知顶点式求二次函数的解析式】 26 【考点六 已知交点式求二次函数的解析式】 29 【典型例题】 【考点一 一点一参数代入求二次函数的解析式】 例题：（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案； （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线经过点，可得 ． 解得：． 所以，抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知 当时，随的增大而减小． 当时，． 当时，． 所以，当时， 的取值范围为． 【变式训练】 1．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标； (2)一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点代入，即可求解； （2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， ， 图象顶点的坐标为． （2）解：一次函数的图象经过点， ， ， ， 点在一次函数的图象上， ． 点在二次函数的图象上， ， ， ，即， 令， 当时，， 解得：，， 抛物线与轴交点为和， 抛物线开口向上， 的解为：或， 的取值范围是或． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点（点在点的右边）．    (1)求抛物线的表达式； (2)为抛物线上任意一点，将点向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质、二次函数的平移、点的平移、关于原点对称的点的坐标特征等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将代入求得a的值即可解答； （2）设，根据题意分别求出，关于原点对称的点的坐标为，再由，求出t的值即可确定P点坐标； （3）平移后的抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：将代入中可得，，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，则将点P向上平移2个单位长度得到点， ∴， ∵关于原点对称的点的坐标为， ∴，解得， 或． （3）解：∵ ∴平移后的抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，解得， ， ． 3．（2024·浙江嘉兴·二模）已知二次函数（a为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点； ①求a的值． ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ (2)若点均在该二次函数的图象上，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入，计算求解即可；②由题意知，，则图象开口向上，对称轴为直线，进而可得当时，y随x的增大而增大； （2）由点在二次函数的图象上，可得，将点代入得，进而可得． 【详解】（1）①解：将代入得，， 解得，， ∴a的值为； ②解：由题意知，， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大； （2）证明：∵点在二次函数的图象上， ∴， 将点代入得， ∴． 【考点二 两点两参数代入求二次函数的解析式】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线，求该抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数待定系数法，将和代入解出即可求出． 【详解】解：将和代入，得：， 解得：， 抛物线的表达式为． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求函数表达式． (2)判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点不在这个二次函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时对应的函数值，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：点不在这个二次函数图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在这个二次函数图象上． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的二次函数的图象过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求当时，的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据题意将代入即可得到答案； （2）根据对称轴得到函数增减性即可计算． 【详解】（1）解：将代入 ，解得 ； （2）解：对称轴， 时， ， ，故时，随的增大而减小，时，随的增大而增大， 当时， ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示，抛物线经过两点，交轴于点C，D为抛物线的顶点，连接，为的中点．请在轴上找一点，使的值最小，并求的最小值． 【答案】点位置见解析图中； 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的顶点坐标、求中点坐标、利用对称的性质、两点之间线段最短以及勾股定理等知识点求一个动点到两个定点的最小距离，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后求出顶点、中点的坐标，最后根据对称的性质作关于轴的对称点，依据勾股定理和两点之间线段最短求出的最小值． 【详解】解：抛物线经过点，， ，解得， 抛物线的解析式为， ， 顶点的坐标为， ，， 中点的坐标为，其关于轴的对称点坐标为， 连接与轴交于点，则最小，且最小值为． 4．（23-24九年级上·广西柳州·开学考试）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先由的面积求出的长，从而确定点坐标为，再由待定系数法求出直线的解析式，直线与抛物线的交点即为所求； （3）当在第一象限时，由，可知，求出直线的解析式，可设，在中，，则，在中，由勾股定理得，求出的值即可求坐标；当在第二象限时，轴，可得四边形是平行四边形，则，由折叠的性质可判断平行四边形是菱形，再由，可得，求出的值即可求坐标． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ； （2）解：令，则， 解得或， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或， ； （3）解：如图1，当在第一象限时， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设， ，， ，， ， ， 直线与直线相交所成锐角为， ∴ ， 由折叠可知，，， 在中，， ， ， 在中，， 解得， ， ， ； 如图2，当在第二象限，时， ， 轴， 将沿直线翻折得到， ，，，， ∴ ， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠可知， 平行四边形是菱形， ， ， 解得或， ， ， ； 综上所述：的坐标为，或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键． 【考点三 三点三参数代入求二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数的变量与变量的部分对应值如下表： … 0 1 5 … … 7 0 7 … (1)求此二次函数的解析式； (2)写出抛物线顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将化为顶点式求解即可． 【详解】（1）解：将，，代入 得， 解得 ∴； （2）∵ ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线． 【变式训练】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）已知抛物线与x轴交于，两点，经过点，求抛物线的函数解析式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据待定系数法求解析式方法即可求解，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴可设抛物线的函数解析式为．      ∵抛物线经过点， 则， 解得，    ∴抛物线的函数解析式为． 2．（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将，，代入抛物线中得： ， 解方程组得：， ∴抛物线的解析式为：． 3．（2023·云南昭通·校考一模）如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当的面积为4时，求点D的坐标； (3)过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为； (3)存在点D，使得，点D的坐标为 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据三角形面积公式可求与平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标； （3）取点，连接，则，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）如下图，过点D作，交y轴与点M，连接，设点M的坐标为，使得的面积为4， ， 则， ， 点， 直线的解析式为， 的解析式为， 联立抛物线解析式， 解得：， 点D的坐标为； （3）存在， 取点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， 点， 直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得： ， 解得：（舍去），， 点D的坐标为， 综上所述：存在点D，使得，点D的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式． 【考点四 一点一对称轴求二次函数的解析式】 例题：（2023·宁夏中卫·统考二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为．    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求a的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，即可求出b的值，再将点A的坐标代入，求出c的值，即可得出抛物线解析式，将其化为顶点式，即可得出点D坐标； （2）作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M，此时的值最小，求出所在直线的表达式，即可求出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴点D的坐标为． （2）解：作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M， 把代入得：， ∴， ∴， 设所在直线为， 把，代入得： ，解得： ， ∴所在直线的表达式为：为， 把代入得：， 解得：， ∴，．    【点睛】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数表达式，根据轴对称的性质确定最短路径，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤． 【变式训练】 1．（2023·安徽合肥·统考三模）已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，求出b的值，将代入求出c的值即可得出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）先求出抛物线向下平移个单位后解析式为，得出顶点坐标为，再分别求出当抛物线顶点落在上时，当抛物线经过点当抛物线经过时，k的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴抛物线顶点坐标为． （2）解：抛物线向下平移个单位后解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ①当抛物线顶点落在上时，， 解得，此时抛物线与只有1个交点； ②当抛物线经过点时，， 解得， 当抛物线经过时，， 解得，    根据图象可知，当抛物线经过点A时，抛物线与有2个交点，再向下平移抛物线与有1个交点，当抛物线经过点B时，抛物线与有1个交点，再向下平移抛物线与无交点， ∴时，满足题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，准确计算． 2．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的解析式得出，，从而求得三角形的面积，设点P的坐标为，根据即可求得的值，从而得出点P的坐标； （3）利用待定系数法可求得直线AC的解析式为，设点，再根据两点间的距离可表示，然后利用二次函数的最值即可得出答案． 【详解】（1）已知抛物线的对称轴为直线， 可设抛物线的表达式为， 将点，点代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）由（1）知抛物线表达式为， 令，解得或， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴，， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴设点P的坐标为， ∴ ∵， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，， ∴满足条件的点P有两个，分别为，； （3）如解图，设直线AC的解析式为，    将点，代入， 得， 解得， ∴直线AC的解析式为， 由于点Q在AC上，可设点， 则点，其中， ∴ ∴当时，DQ长度有最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质及最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点． (1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式． (2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再令，解方程求出点坐标； （2）先根据对称性求出的坐标，再求出，设平移后的解析式为，再根据，求出坐标，在代入平移后的解析式即可求出． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 抛物线解析式为； 令，则， 解得，， ； （2）令，则， ， 对称轴为直线， ， ， 抛物线向上平移个单位长度后的解析式为， ，， ， 把代入得： ， 解得． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，平移的性质，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式． 4．（2023·河南商丘·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）与x轴正半轴的交点坐标是 ，对称轴为直线．    (1)求抛物线的解析式． (2)点A，B均在这个抛物线上，点A的横坐标为a，点B的横坐标为，将A，B两点之间的部分（包括A，B两点）记为图象G，设图象G的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h． ①当A，B两点的纵坐标相等时，求h的值； ②当时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)①h的值为4；②a的取值范围为 【分析】（1）利用待定系数法求出b、c即可； （2）①由A，B两点的纵坐标相等可得A，B两点关于抛物线的对称轴对称，即可求出a，结合抛物线的顶点即可求出h； ②分四种情况（见解析），先求出h关于a的表达式，根据可得关于a的不等式，求解即可． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式是：； （2）①∵A，B两点的纵坐标相等， ∴A，B两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 解得：； ∴， ∵， ∴图象G的最高点的纵坐标为9， ∴； ②当时，， 当时，， 当时，， ⅰ、当时，， ∵，∴， 解得：， 又∵， ∴此种情况不存在； ⅱ、当时，， ∵，∴， 解得：， 又∵， ∴此种情况不存在； ⅲ、当时，， ∵，∴， 解得：； ⅳ、当时，， ∵，∴， 解得：； 综上，当时，a的取值范围为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数的解析式、抛物线的对称性等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 【考点五 已知顶点式求二次函数的解析式】 例题：（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值； (3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）直接用待定系数法求即可； （2）先求出其最大值和最小值，再根据其差值为9即可求； （3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定的范围即可． 【详解】（1）解：由二次函数图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 图象经过点 解得 该二次函数的解析式为； （2）①当时，最小值为，最大值为 此时方程无实数解， ②当时， 的最小值为，当时，该二次函数最大值与最小值的差是9 当时，该二次函数最大值为 时， 时， 解得（舍去）或， 即当时，二次函数最大值与最小值的差是9； （3）如图，此函数大致图象如下 由，当时，，此时点为 由图知时，交点只有一个， 当时，图中也符合只有一个交点． 该函数图象与线段只有一个公共点时，的取值范围为或． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·浙江·假期作业）已知二次函数的图象顶点是，且过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为，.顶点坐标为，对称轴方程为，极值为当时，来求出相应的数． 【详解】设二次函数解析式为，图象顶点是， ∴， 依题意得：， 解得， ∴. 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知抛物线的顶点坐标为，与轴的交点坐标为，求此抛物线对应的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式和待定系数法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据抛物线的顶点坐标为，可设二次函数的顶点式为，再用待定系数法即可求出抛物线对应的函数表达式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线对应的函数表达式为， 把代入上式，得， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为， 即． 故此抛物线对应的函数表达式为． 3．（2024·江苏南京·三模）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围为_______． (3)该二次函数图象关于轴对称的图象所对应的函数表达式为_______． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，以及关于轴对称的函数图象的特征，熟练掌握二次函数的图象和性质，以及关于轴对称的函数图象的特征是解题的关键． （1）设二次函数的表达式为，根据顶点坐标求出，，再将点代入解析式即可求得； （2）求出当和时的函数值，再结合函数的最值，进行比较即可求出当时，函数值的范围； （3）根据关于轴对称函数的图象的特征是：当自变量取相同时，对应的函数值互为相反数，即可求解； 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 顶点坐标是， ，， 二次函数解析式为， 又点在二次函数图象上，将点代入，即， 解得， 二次函数解析式为 （2）解：当时，， 当时，， 二次函数对称轴为，开口向上， 当，随的增大而减小；当，随的增大而增大； 在，取得最小值为， 当时，． （3）解： 关于轴对称的函数图象的特征是：当自变量取相同时，对应的函数值互为相反数， 二次函数关于轴对称的图象所对应的函数表达式为． 【考点六 已知交点式求二次函数的解析式】 例题：（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知一个抛物线经过点，和． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴； 【答案】(1) (2)顶点坐标为；对称轴为直线 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据顶点坐标公式求解即可． 【详解】（1）设 将代入，则 ∴ （2）∵， ∴顶点坐标为；对称轴为直线． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴是直线，其顶点坐标是 ． 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式 【答案】 【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为，将点代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，，， ∴设抛物线的表达式为， 将点代入得：，解得：， ∴． ∴该抛物线的函数关系式为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表： … 0 2 3 … … 5 0 0 … (1)求二次函数解析式及顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)二次函数解析式为，顶点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、求二次函数解析式及顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据“当和时，”，设二次函数，根据时，，代入求出，得出二次函数解析式，再求出顶点坐标即可； （2）根据和，求出，根据三角形面积公式、坐标与图形，得出点的纵坐标为或，当点的纵坐标为时，，求解得出点的坐标即可；根据二次函数解析式为，顶点坐标为，是最低点，判断当点的纵坐标为时的情况不存在． 【详解】（1）解：∵当和时，， ∴设二次函数， ∵时，， ∴代入得：，即， 解得：， ∴二次函数解析式为，即， ∴，， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线与轴交于、两点，由表格得和， ∴， ∵， ∴点到的距离， ∴点的纵坐标为或， ∵点为抛物线上一点， ∴当点的纵坐标为时，，即， 解得：， ∴点的坐标为或； ∵二次函数解析式为，顶点坐标为， 当点的纵坐标为时的情况不存在； 综上所述，点的坐标为或． 3．（2024·浙江杭州·二模）设二次函数（a为实数，且）． (1)若该函数图象经过点，求二次函数表达式． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）． (3)若该函数图象经过点，且满足，求a的值． 【答案】(1) (2)该函数图象的对称轴：直线，最小值 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）把已知点的坐标代入中求出的值，从而得到二次函数解析式； （2）把化为顶点式即可． （3）把代入解析式得，且满足，即可求出a的值. 【详解】（1）解：因为函数图象经过点，所以可得：， 解得：，， 因为，所以， 所以． （2） ， 该函数图象的对称轴：直线，最小值． （3）∵函数图象经过点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在该二次函数上． ①当时，求的值； ②当时，的最小值为，求的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的解析式为. (2)①的值为或；② 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）①把代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为，所以，即． 【详解】（1）设二次函数的解析式为， 把点代入得， 解得， ， 该二次函数的解析式为； （2）①时，则， 解得，； 故的值为或； ， 当时，函数有最小值， 当时，即时，有最小值， 故的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$