专题13.2 解题技巧专题：利用轴对称的性质解决将军饮马问题（5大题型）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题13.2 解题技巧专题：利用轴对称的性质解决将军饮马问题 目录 【题型一 在一直线中找线段和最小值的点】 1 【题型二 在三角形中找线段和最小值问题】 5 【题型三 在某一角中线段和最小值的问题】 11 【题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题】 17 【题型五 实际应用问题中的最短路径问题】 21 【典型例题】 【题型一 在一直线中找线段和最小值的点】 例题：如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．    (1)在（图①）直线上找出一点，使； (2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小； (3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大． 【变式训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，点． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上画出点P，使得最小，并直接写出点P的坐标． 2．在如图所示的直角坐标系中，已知，，． (1)在图中画出，以及关于y轴成轴对称的； (2)的面积为______； (3)在x轴上找一点P，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 3．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）已知，，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出； (2)画出关于y轴对称的 (3)点P在y轴上并且使得的值最小，请标出点P位置并求出最小值． 【题型二 在三角形中找线段和最小值问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，等腰三角形的边为3，面积为12，腰的垂直平分线分别交边，于点， ，若为边的中点， 为线段上一动点，则的最小值为 ． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 2．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，正的边长为 3，过点 B 的直线，且 与关于直线 l 对称，D 为线段，上一动点，则 的最小值是（    ） A．9 B．6 C．5 D．4 3．（2024·山东菏泽·二模）如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为 ． 4．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知中，，，高，P为线段上一动点，点为线段上一动点．则的最小值为 ． 5．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，是等边三角形，点D是边的中点，，点P，Q是上的两个动点，且．若于点H，则的最小值为 【题型三 在某一角中线段和最小值的问题】 例题：（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，点，分别是角两边、上的定点，，．点，分别是边，上的动点，则的最小值是 ．    2．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）点为内一点．    (1)在上求作点上求作点，使的周长最小，请画出图形； (2)在（1）的条件下，若，，求周长的最小值． 3．（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 【题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题】 例题：直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题． (1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线； (2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由； (3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值． 【变式训练】 1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 【题型五 实际应用问题中的最短路径问题】 例题：（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短． (1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值． 【变式训练】 1．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水． (1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明） (2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元． 2．如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米， (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度． 3．（2023春·全国·七年级专题练习）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？ 小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 问题提出： (1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值． 问题解决： (2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.2 解题技巧专题：利用轴对称的性质解决将军饮马问题 目录 【题型一 在一直线中找线段和最小值的点】 1 【题型二 在三角形中找线段和最小值问题】 5 【题型三 在某一角中线段和最小值的问题】 11 【题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题】 17 【题型五 实际应用问题中的最短路径问题】 21 【典型例题】 【题型一 在一直线中找线段和最小值的点】 例题：如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．    (1)在（图①）直线上找出一点，使； (2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小； (3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，交直线于点，则点即为所求； （2）作点关于直线的对称点，连接，线段与直线交于点，则点即为所求．（也可作关于直线的对称点） （3）过点，作直线与直线交于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图①，点P即为所求    此时； （2）如图②，点P即为所求    此时的值最小； （3）如图③，点P即为所求    此时最大． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是正确画出图形． 【变式训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，点． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上画出点P，使得最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点的位置进而得出答案． （2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 【详解】（1）作如图所示， （2）如图所示， ∵点与点关于y轴对称，且P点在y轴上， ∴， ∴， 要使最小，连接即可， ∴P点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． 2．在如图所示的直角坐标系中，已知，，． (1)在图中画出，以及关于y轴成轴对称的； (2)的面积为______； (3)在x轴上找一点P，使得的周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)7 (3)见解析 【分析】（1）根据A（1，4），B（3，1），C（5，5），即可在图中画出△ABC，再根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴成轴对称的△DEF； （2）根据网格利用割补法即可得△ABC的面积； （3）作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于点P，即可使得△PBC的周长最小． 【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求；△DEF即为所求； （2）解：△ABC的面积＝4×4−×2×3−×2×4−×1×4＝7； 故答案为：7． （3）解：如图，点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 3．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）已知，，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中描出点A，B，C，并画出； (2)画出关于y轴对称的 (3)点P在y轴上并且使得的值最小，请标出点P位置并求出最小值． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析，的最小值为 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、勾股定理． （1）根据点的坐标确定点的位置，作图即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）作点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时的值最小，利用勾股定理求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求． ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点P即为所求， 由勾股定理得 ∴的最小值为 【题型二 在三角形中找线段和最小值问题】 例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，等腰三角形的边为3，面积为12，腰的垂直平分线分别交边，于点， ，若为边的中点， 为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质，等腰三角形的性质，最短路径问题等知识点，熟悉掌握最短路径的辅助线作法是解题的关键． 连接，由推出当，，三点共线时最短，进而通过三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当，，三点共线时最短，此时， 又∵， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．设交于点，连接，，根据垂直平分线的性质得出，，当点与点重合时，的周长最小，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接，， 垂直平分， ，， 的周长为： ， 当点与点重合时，的周长最小， ，， 的周长最小值为：， 故选：B 2．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，正的边长为 3，过点 B 的直线，且 与关于直线 l 对称，D 为线段，上一动点，则 的最小值是（    ） A．9 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解：如图，连接， ∵正的边长为 3，与关于直线l对称， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时， 故选B 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键． 3．（2024·山东菏泽·二模）如图，在中，，，，点E为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、轴对称的性质、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 作点关于的对称点，连接，先根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，线段的值最小，最小值为，再根据直角三角形的性质、等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后在中，根据含角的直角三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 又， （等腰三角形的三线合一）， ， 则在中，， 即的最小值为4， 故答案为：4． 4．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，已知中，，，高，P为线段上一动点，点为线段上一动点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质及将军饮马的最值模型，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； 连接，由题意易得是的垂直平分线，，要求的最小值即为的最小值，然后根据点到直线的距离垂线段最短即可进行求解． 【详解】解：连接，过点A作，垂足为G，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，当C、P、D、H共线时取等号， ∵， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，是等边三角形，点D是边的中点，，点P，Q是上的两个动点，且．若于点H，则的最小值为 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，三角形的三边关系，轴对称的性质，解题的关键是能正确作出辅助线， 根据等边三角形的性质可把转化为，转化为，再根据三角形的三边关系可得，则当最小时，最小，即可求解； 【详解】解：连接，过点Q作于点E，连接交于点F，连接，如图所示， 是等边三角形，点D是边的中点， ， 当最小时，最小， 时，即E为中点时，最小， 是等边三角形，， 时，最小， 的最小值为6， 故答案为：6 【题型三 在某一角中线段和最小值的问题】 例题：（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，作M关于的对称点，过作交于一点即为最小距离和点P，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案． 【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，点，分别是角两边、上的定点，，．点，分别是边，上的动点，则的最小值是 ．    【答案】4 【分析】如图所示，作点D关于的对称点H，作点C关于的对称点G，连接，由轴对称的性质可得，，证明是等边三角形，；推出当H、F、E、G四点共线时，最小，即最小，最小为的长，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点D关于的对称点H，作点C关于的对称点G，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴当H、F、E、G四点共线时，最小，即最小，最小为的长， ∴的最小值为4， 故答案为：4．        【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定有最小值的情形是解题的关键． 2．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）点为内一点．    (1)在上求作点上求作点，使的周长最小，请画出图形； (2)在（1）的条件下，若，，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称作图和轴对称的性质、两点之间线段最短、等边三角形的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据两点之间线段最短和轴对称的性质可确定动点的位置，从而可得所求图形； （2）由轴对称的性质得对应线段和对应角相等，从而得出等边三角形并根据等边三角形的性质，结合条件即可求解． 【详解】（1）解：如图即为所作三角形    分别过点作、的对称点，连接分别交、于点、，连接、，则即为所求； （2）如图，由（1）知， ， ， ， 是等边三角形 周长的最小值为．    3．（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由； （2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由； （3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为 【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； （2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； （3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解． 【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小； 理由：根据作法得：， ∴， ∴当点共线时，最小； （2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小； 理由：根据作法得：，， ∴， ∴当点共线时，的周长最小； （3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ∵，OM=OM， ∴△COM≌△EOM， ， ， ∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小， 过点C作CF⊥AB于点F， ∵，，，， ∴， 解得：， ∵， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型． 【题型四 在全等三角形中线段和最小值的问题】 例题：直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题． (1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线； (2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由； (3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的判定定理解答即可； （2）延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P； （3）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，证得△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到，连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H，求出DP=NP，得到DP+PM=NP+PM，当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，利用S△BDN=×DN×BN=×BD×NH求出NH即可． 【详解】（1）解：∵∠DEC=∠ACE， ∴DE∥AC， ∵∠DCE=∠B， ∴CD∥AB， ∵∠EAC=∠ACB， ∴AE∥CB； （2）如图，延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P， ∵AB=AQ，AC⊥BQ， ∴AC是BQ的垂直平分线， ∴BP=PQ， ∴BM+PM=PQ+PM=MQ； 即此时BP＋PM取得最小值； （3）如图，延长DE至点N，使EN=DE，连接AN， ∵AE∥DB， ∴∠NEA=∠NDC，∠NAE=∠B， ∴∠ENA=90°， ∴△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到， ∴AN=CE， 连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H， ∵DE=NE，CE⊥DN， ∴DP=NP， ∴DP+PM=NP+PM， 当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度， ∵S△BDN=×DN×BN=×BD×NH， ∴2c×NH=2a×2b， 解得NH=， ∴DP+PM的最小值为． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理，轴对称求最短路径问题，正确掌握轴对称的性质得到最短路径问题的思路并解决问题是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 【答案】(1) (2)9 (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断； （2）根据对称的性质，在上取点，使得，结合对称性质推出，确定三点共线且垂直于时，取得最小值，结合面积进行计算即可； （3）分和两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答． 【详解】（1）解：∵沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，在上取点，使得，连接， 根据对称的性质，，    ∴， 要求的最小值，求的最小值即可， ∴当B、P、M三点共线，且时，取得最小值， 此时，如图所示，    由对称的性质，， ∵取得最小值时，， ∴， 即：，解得：， ∴的最小值为9； （3）解：①当时，； ∵由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由翻折的性质，当时，． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题关键． 【题型五 实际应用问题中的最短路径问题】 例题：（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短． (1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，取，再连接，与交于点E即可； （2）作出以为斜边的直角，求出直角边，利用勾股定理求出结果． 【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置； （2）如图，作出以为斜边的直角， 由（1）可知：， 由题意可得：，，， ∴，，， ∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于的对称点是确定建水厂位置的关键． 【变式训练】 1．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水． (1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明） (2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元． 【答案】(1)见解析； (2)50万元. 【分析】（1）作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求； （2）连接交于H点，过点B作，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求. （2）解：如图，连接交于H点，过点B作， 由题意可知：，，， ∴， ∴在中，， ∴在中，， 由对称性质可知：， 水管长， 完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元） 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力． 2．如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米， (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度． 【答案】(1)475米 (2)1000米，米 【分析】（1）根据勾股定理列出方程，解方程即可； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P．则AP＝P，AP+BP＝P+BP，PA+PB的最小值为B． （1） 解：如图1， 此时AQ＝BQ． 设CQ＝x，则DQ＝800﹣x， ∴， 解得x＝475， 即CQ的长为475米； （2） 解：如图2， 作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则AP＝P， AP+BP＝P+BP， PA+PB的最小值为=1000米． ∵， ∴， ∴， ∴CP＝＝＝（米）， 即CP的长度为米． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，作图﹣应用与设计作图，坐标与图形的性质，确定出Q、P的位置是本题的关键． 3．（2023春·全国·七年级专题练习）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？ 小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 问题提出： (1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值． 问题解决： (2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用． 【答案】(1) (2)最少的铺设水管的费用是225000元 【分析】(1)作点B关于 的对称点 ，连接 交于P，此时的值最小，连接先根据勾股定理求出的长，再判断出，根据勾股定理即可得出结论； (2)根据轴对称的性质确定水厂位置，作 交的延长线于点E,根据矩形的性质分别求出、，根据勾股定理求出，得到，结合题意计算即可． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，连接． 因为等腰的直角边长为4，E是斜边的中点， 所以， ， 因为，所以， 所以． （2）如图，延长到点，使，连接交于点，点即为所选择的位置，过点作交的延长线于点． 在中，千米，千米， 所以（千米）， 所以最短路线（千米）， 最少的铺设水管的费用为（元）． 答：最少的铺设水管的费用是 元． 【点睛】本题考查的是三角形综合题，轴对称最短路径问题、勾股定理的应用，掌握轴对称的概念和性质、两点之间，线段最短的性质是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】，①，； 解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示， 过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于直线对称点， ∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得 ， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$