4.1 角的概念的推广课件-2024-2025学年高一上学期高教版（2021）中职数学基础模块上册

第四章 三角函数 4.1 角的概念的推广 高教版 基础模板(上) 学习目标 ►明确正角、负角、零角、象限角、终边相同的角等概念. ►能根据图像判断角是正角、负角还是零角，并能根据给出的角的度数和角的始边确定角的终边的位置，并判断角是第几象限的角. ►能写出与角 α 终边相同角的集合，并能找出给定范围内与已知角终边相同的角. 第四章 三角函数 4.1.1 任意角 高教版 基础模板(上) 导 探 练 结 观察 时钟的秒针变化 导 探 练 结 观察 扇子开合图 导 探 练 结 观察 剪刀开合图 导 探 练 结 回顾 在初中角是如何定义的？角的取值范围如何？ 从一个点出发，引出的两条射线构成的几何图形叫做角. 角的取值范围：0°≤α≤360° 导 探 练 结 角的概念 角是平面内由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 始边 终边 思考 假设摩天轮的机械臂从始边出发，旋转一周，它在这个过程中转过了多少度？ 导 探 练 结 360° 如果机械臂转过一周半，它又会转过多了多少度呢？ 360°×1.5=540° 思考 导 探 练 结 我们可以将角的概念推广到任意大小，不仅仅是限制在0到360°之间. 导 探 练 结 正角、负角、零角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角； 按顺时针方向旋转形成的角称为负角； 一条射线没有做任何旋转,也认为形成了一个角,这个角称为零角． 导 探 练 结 角的表示方法 通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上的字母来表示角.例如,下图中的角,可以记作“∠AOB”或“∠O”. 也经常使用小写的希腊字母 α,β, γ,…来表示角,记作“角α”.在不引起混淆的情况下,可以简记成“α”. 例如,α=420°, β= −135°. 回顾 导 探 练 结 一 二 三 四 导 探 练 结 将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 这样，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. 终边 始边 第一象限角 终边 第二象限角 终边 第三象限角 终边 第四象限角 象限角 小组合作 导 探 练 结 说一说：-50°，405°，210°, -200°，－450°分别是第几象限的角？ －50° x y o x y o 210° －450° x y o 405° x y o －200° x y o 第一象限角 第四象限角 第三象限角 第二象限角 界限角 导 探 练 结 如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限，称为界限角. 界限角 例0°、90°、180°、270°、360°均为界限角. 0° 90° 180° 270° 例1 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形成过程，并指出它们是第几象限角. (1) 490° ；(2)−650° ． 490°为第二象限角. 导 探 练 结 例1 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形成过程，并指出它们是第几象限角. (1) 490° ；(2)−650° ． −650°为第一象限角. 导 探 练 结 例2 求时钟从8点到9点15分, 如图所示, 分针和时针旋转所成的角. 导 探 练 结 分钟每分钟顺时针转360°/60 = 6° 所以75分钟转6° × 75 = 450° 分针旋转所成的角为-450°. 例2 求时钟从8点到9点15分, 如图所示, 分针和时针旋转所成的角. 导 探 练 结 时针每小时转360°/12 = 30°，每分钟转30°/60 = 0.5°，所以15分钟转0.5° × 15 = 7.5° 从数字8到数字9是一个小时，所以时针转了30° 时针一共转动了37.5° 时针旋转所成的角为-37.5°. 1．填空题： (1) −15°是第_________象限角； (2) 795°是第_________象限角； (3) 163°是第_________象限角； (4) −458°是第________象限角． 导 探 练 结 2.判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)： (1)第四象限角一定是负角； ( ) (2) 第二象限角一定是正角； ( ) (3)小于90°的角一定是锐角； ( ) (4)第一象限角一定是锐角； ( ) (5)钝角一定是第二象限角； ( ) (6)第二象限角一定是钝角． ( ) 导 探 练 结 3．在平面直角坐标系中, 分别作出下列各角, 并指出它们是第几象限角： (1) 460° ； (2) 945°； (3) −200° ； (4) −700° ． 导 探 练 结 导 探 练 结 角的分类： 角的旋转方向 正角 负角 零角 顺时针 逆时针 不旋转 角的分类： 角的终边位置 界限角 第n象限的角 坐标轴 第n象限 第四章 三角函数 4.1.2 终边相同的角 高教版 基础模板(上) 导 探 练 结 观察 如图, 30°, −330°, 390°角之间有什么关系呢？ 30°、−330° 和 390° 这三个角度，尽管它们的旋转方向不同，但它们的终边是相同的。 导 探 练 结 思考 （1）与30°角终边相同的角有多少个？ （2）这些角与30°相差多少？ 无数个 360°的整数倍 390-30=360 330-30=360 导 探 练 结 观察以下式子 30° = 30°＋0×360° ； −330° = 30°＋ (−1)×360° ； 390° = 30°＋1× 360° ． 都是30°加上360° 的整数倍！ 导 探 练 结 终边相同的所有角 一般地,与角α终边相同的所有角构成的集合为 S={β|β=α+ k·360°，k∈Z}， 即，所有与角α终边相同的角都可以表示成角α与360°的整数倍的和. 例3 写出与−950°角终边相同的所有角构成的集合,并找出0°~360°范围内与其终边相同的角. 导 探 练 结 与−950°角终边相同的所有角构成的集合为 S={β|β＝−950°+ k 360°,k∈Z }. 当k=3时，β＝−950°+3 360° = 130°, 故在0°~360°范围内, 与−950°角终边相同的角是130°角． 例4 写出终边在射线y=x(x≥0)上的角组成的集合. 导 探 练 结 在0°~360°范围, 终边在射线y=x(x≥0)上的角为45°角, 因此终边在射线 y=x(x≥0)上的角组成的集合为 S={β|β=450°+k·360° , k∈Z}. 例5 写出终边在y轴上的角组成的集合. 导 探 练 结 在0°~360°范围, 终边在y轴上的角有90°角和270°角. 所有与90°角和270°角终边相同的角组成的集合分别为 S1={β|β=90°+ k·360°, k∈Z} 和 S2={β|β=270°+ k·360°, k∈Z}. S=S1∪S2 ={β|β= 90°+ k·360°, k∈Z}∪{β|β=270°+ k·360°, k∈Z} = {β|β= 90°+ 2k·180°, ∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1) ·180°, k∈Z} = {β|β=90°+n·180°, n∈Z} 小组合作 导 探 练 结 (1)在-360°～360°内，与-50°角终边相同的角是 . (2)在-360°～360°内，与390°角终边相同的角是 . (3)在-360°～360°内，与-480°角终边相同的角是 . (4)在-360°～360°内，与800°角终边相同的角是 . 1.已知角α是第一象限角，则角−α的终边在第_______象限. 2 .与1560°角终边相同的角的集合中，最小的正角是_____. 导 探 练 结 3. 写出与下列角终边相同的所有角组成的集合，并在 0°～360°范围内找出与其终边相同的角. (1) 420°； (2) −510°； (3) −73°； (4) 855°. 4. 写出终边在x轴上的角组成的集合. 导 探 练 结 导 探 练 结 终边相同的所有角 一般地,与角α终边相同的所有角构成的集合为 S={β|β=α+ k·360°，k∈Z}， 即，所有与角α终边相同的角都可以表示成角α与360°的整数倍的和. $$