2.4.3 解简单的斜三角形-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学随堂小练习(鲁教版)

　　第３课时　解简单的斜三角形 【边学边练】 知识点一　解简单的锐角三角形 １．（核心素养·模型观念）已知，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝７５°，∠Ｂ＝６０°，ＢＣ＝６，求 ＡＢ，ＡＣ 的长． 知识点二　解简单的钝角三角形 ２．（核心素养·模型观念）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝２，∠Ａ＝１５°，∠Ｂ＝３０°，则△ＡＢＣ的 面积为　　　　． 【随堂小测】 １．等腰三角形的两条边长分别是４ｃｍ，９ｃｍ，则等腰三角形的底角的余弦值是 （　　） Ａ． ４ ９ Ｂ． ４．５ ４ Ｃ． ２ ９ Ｄ． ３ ９ ２．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，ｔａｎＢ＝槡 ３ ２ ，ＡＣ＝槡２３，则ＡＢ＝ （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ 第２题图 　　　　　　 第３题图 ３．（易错题）如图，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ是边ＢＣ的中点，ＡＥ⊥ＢＤ，垂足为Ｆ，则ｓｉｎ∠ＢＤＥ 的值是 （　　） Ａ． １ ５ Ｂ． １ ４ Ｃ． １ ３ Ｄ．槡 ２ ４ ５２ ４．在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝２，ＡＣ＝３＋槡３，∠Ｃ＝３０°，则ｓｉｎＡ＝　　　　． ５．（易错题）在等边△ＡＢＣ中，若点 Ｄ在射线 ＣＡ上，且 ＡＢ＝２ＡＤ，则 ｔａｎ∠ＤＢＣ的值为 　　　　． ６．如图，在锐角三角形ＡＢＣ中，∠Ｂ＝６０°，ｓｉｎＡ·ｓｉｎＢ＝槡 ６ ４ ，且ＡＣ＝槡６２． 求：（１）∠Ａ的度数； （２）ＡＢ的长． ７．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝１３５°，ＡＢ＝２０，ＡＣ＝３０，求△ＡＢＣ的面积． ８．如图，有一个三角形的钢架ＡＢＣ，∠Ａ＝３０°，∠Ｃ＝４５°，ＡＣ＝２（槡３＋１）ｍ．请计算说明， 工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为２．１ｍ的圆形门？ ６２ ∵Ｄ是边ＡＢ的中点，∴ＣＤ＝ ＡＢ ２ ＝２５ ２ ． （２）由（１）可得ＡＤ＝ＢＤ＝ＣＤ＝ ２５ ２ ， 由勾股定理知ＣＢ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２＝２０． 设ＤＥ＝ｘ，ＥＢ＝ｙ（ｘ＞０，ｙ＞０），则 ｙ２＋ｘ２＝ ６２５ ４ ， （ｘ＋ ２５ ２ ）２＋ｙ２＝４００，      解得 ｘ＝ ７ ２ ， ｙ＝１２．{ ∴ｓｉｎ∠ＤＢＥ＝ ＤＥ ＢＤ ＝７ ２５ ． 第３课时　解简单的斜三角形 【边学边练】 １．解：如图，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，则∠ＡＤＣ＝∠ＣＤＢ ＝９０°． ∵∠ＡＣＢ＝７５°，∠Ｂ＝６０°， ∴∠Ａ＝１８０°－７５°－６０°＝４５°． 在Ｒｔ△ＢＣＤ中， ＣＤ＝ＢＣ·ｓｉｎＢ＝６×ｓｉｎ６０°＝６×槡 ３ ２ ＝槡３３， ＢＤ＝ＢＣ·ｃｏｓＢ＝６×ｃｏｓ６０°＝６× １ ２ ＝３． 在Ｒｔ△ＡＤＣ中， ＡＣ＝ ＣＤ ｓｉｎＡ ＝ 槡３３ ｓｉｎ４５° ＝槡３３ 槡２ ２ ＝槡３６， ＡＤ＝ＣＤ＝槡３３． ∴ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝槡３３＋３． ２．槡３－１　【解析】如图，过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ，交ＢＣ的延长 线于点 Ｄ，则∠ＡＣＢ＝１８０°－１５°－３０°＝１３５°，∠ＡＣＤ ＝４５°． 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ｓｉｎ４５°＝ ＡＤ ＡＣ ，∴槡 ２ ２ ＝ＡＤ ２ ．∴ＡＤ＝槡２． 由勾股定理，得ＣＤ＝槡２． 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ｔａｎ３０°＝ ＡＤ ＢＤ ，∴槡 ３ ３ ＝槡２ ＢＤ ．∴ＢＤ＝槡６． ∴ＢＣ＝ＢＤ－ＣＤ＝槡６－槡２． ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＢＣ·ＡＤ＝ １ ２ （槡６－槡２）×槡２＝槡３－１． 【随堂小测】 １．Ｃ ２．Ｂ　【解析】如图，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ． 由题意知ＣＤ＝ＡＣ·ｓｉｎＡ＝槡２３·ｓｉｎ３０°＝槡３． ∴ＡＤ＝ＡＣ·ｃｏｓ３０°＝３． ∵ｔａｎＢ＝ ＣＤ ＢＤ ＝槡３ ２ ， ∴ＢＤ＝２． ∴ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＤ＝３＋２＝５．故选Ｂ． ３．Ｃ　【解析】由题意，得△ＢＥＦ∽△ＤＡＦ，所以 ＥＦ ＡＦ ＝ＢＥ ＡＤ ＝ ＢＦ ＤＦ ＝１ ２ ．设ＥＦ＝ｍ，ＡＦ＝２ｍ，由△ＢＥＦ∽△ＡＢＦ，得 ＢＦ ＝槡２ｍ，则ＤＦ＝槡２２ｍ，由勾股定理，得ＤＥ＝３ｍ． 故ｓｉｎ∠ＢＤＥ＝ ＥＦ ＤＥ ＝１ ３ ．故选Ｃ． ４．槡 １０ １０ ５．槡 ３ ３ 或 槡３３　【解析】当点 Ｄ在线段 ＣＡ上时，Ｄ是 ＡＣ 的中点，∴ＢＤ⊥ＡＣ．设 ＣＤ＝ｍ，则 ＢＣ＝２ｍ，ＢＤ＝槡３ｍ． 故ｔａｎ∠ＤＢＣ＝ ＣＤ ＢＤ ＝槡３ ３ ； 当点 Ｄ在线段 ＣＡ的延长线上时，过 点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，过点 Ｄ作 ＤＥ ⊥ＢＣ于点Ｅ， 设ＣＦ＝ＡＦ＝ＡＤ＝ｍ，ＢＣ＝２ｍ．由前面步 骤，得ＢＦ＝槡３ｍ，利用等积法得 ＢＣ· ＤＥ＝ＣＤ·ＢＦ． ∴２ｍ·ＤＥ＝３ｍ·槡３ｍ．∴ＤＥ＝ 槡３３ｍ ２ ，ＢＤ２＝ＢＦ２＋ＤＦ２＝ ３ｍ２＋４ｍ２＝７ｍ２． 而ＢＤ２＝ＢＥ２＋ＤＥ２，∴７ｍ２＝ＢＥ２＋ ２７ ４ ｍ２．                                                               ２５１ ∴ＢＥ＝ １ ２ ｍ．故ｔａｎ∠ＤＢＣ＝ ＤＥ ＢＥ ＝ 槡３３ｍ ２ ｍ ２ ＝槡３３． 综上，ｔａｎ∠ＤＢＣ＝ ＣＤ ＢＤ ＝槡３ ３ 或 槡３３． ６．解：（１）∵∠Ｂ＝６０°，∴ｓｉｎＢ＝ｓｉｎ６０°＝槡 ３ ２ ． ∵ｓｉｎＡ·ｓｉｎＢ＝槡 ６ ４ ， ∴ｓｉｎＡ·槡 ３ ２ ＝槡６ ４ ．∴ｓｉｎＡ＝槡 ２ ２ ． ∴∠Ａ＝４５°． （２）如图，作ＡＢ边上的高ＣＤ． ∵∠Ａ＝４５°，ＡＣ＝槡６２， ∴ＡＤ＝ＣＤ＝槡６２·ｓｉｎ４５°＝槡６２× 槡２ ２ ＝６． ∵ ＣＤ ＤＢ ＝ｔａｎＢ，即 ６ ＤＢ ＝槡３．∴ＤＢ＝槡２３． ∴ＡＢ＝ＡＤ＋ＤＢ＝６＋槡２３． ７．解：如图，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＡＣ，交ＣＡ的延长线于点Ｅ． ∵∠ＢＡＣ＝１３５°， ∴∠ＢＡＥ＝１８０°－∠ＢＡＣ＝１８０°－１３５°＝４５°． ∴∠ＡＢＥ＝９０°－∠ＢＡＥ＝９０°－４５°＝４５°． 在Ｒｔ△ＢＡＥ中， ∵ＡＢ＝２０，∴ＢＥ＝ 槡１０２． ∵ＡＣ＝３０， ∴Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ ＡＣ·ＢＥ＝ １ ２ ×３０× 槡１０２＝ 槡１５０２． ８．解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为２．１ｍ的 圆形门．理由如下： 如图，过点Ｂ作ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ． ∵ＡＢ＞ＢＤ，ＢＣ＞ＢＤ，ＡＣ＞ＡＢ， ∴求出ＤＢ的长和２．１ｍ比较即可． 设ＢＤ＝ｘｍ．∵∠Ａ＝３０°，∠Ｃ＝４５°， ∴ＤＣ＝ＢＤ＝ｘｍ，则ＡＤ＝槡３ＢＤ＝槡３ｘｍ． ∵ＡＣ＝２（槡３＋１）ｍ，∴ｘ＋槡３ｘ＝２（槡３＋１）． 解得ｘ＝２，∵ＢＤ＝２ｍ＜２．１ｍ， ∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为２．１ｍ的圆 形门． 小专题３　解直角三角形 １．解：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｂ＝ 槡１２２，ａ＝槡４６， 由勾股定理，得ｃ＝槡８６． ∵ｔａｎＡ＝ ａ ｂ ＝槡３ ３ ， ∴∠Ａ＝３０°． ２．（１）解：在Ｒｔ△ＡＣＤ中，∵ＡＣ＝２，ＤＣ＝１， ∴ＡＤ＝ ＡＣ２＋ＤＣ槡 ２＝槡５． ∴ｓｉｎα＝ ＤＣ ＡＤ ＝槡５ ５ ，ｃｏｓα＝ ＡＣ ＡＤ ＝槡２５ ５ ， ｔａｎα＝ ＣＤ ＡＣ ＝１ ２ ． （２）证明：∵ＣＤ＝１，ＢＤ＝３，∴ＢＣ＝４． ∴在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｔａｎＢ＝ ＡＣ ＢＣ ＝１ ２ ， 又∵ｔａｎα＝ ＣＤ ＡＣ ＝１ ２ ，∴ｔａｎＢ＝ｔａｎα． ∵∠Ｂ与α都是锐角，∴∠Ｂ＝α． ３．解：（１）∵∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝４，ＡＣ＝槡７， ∴ＢＣ＝ ＡＢ２－ＡＣ槡 ２＝ ４２－（槡７）槡 ２＝３． （２）由（１），知ＢＣ＝３．∵∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝４， ∴ｓｉｎＡ＝ ＢＣ ＡＢ ＝３ ４ ． ４．解：∵在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝３０°， ∴∠ＢＡＣ＝６０°． ∵ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线， ∴∠ＣＡＤ＝３０°． ∴在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＡＤ＝ ＡＣ ｃｏｓ３０° ＝槡３× ２ 槡３ ＝２． ５．解：∵△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｔａｎＡ＝ ３ ４ ，ＢＣ＝６，                                                               ３５１