2.4.2 已知一边和一锐角解直角三角形-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学随堂小练习(鲁教版)

　　第２课时　已知一边和一锐角解直角三角形 【边学边练】 知识点一　已知一锐角和一直角边解直角三角形 １．（核心素养·运算能力）在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，已知∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝６０°，ａ＝４，解这个直角 三角形． 知识点二　已知一锐角和斜边解直角三角形 ２．（核心素养·运算能力）在Ｒｔ△ＡＢＣ中，已知∠Ｃ＝９０°，∠Ａ＝６０°，ｃ＝２＋槡３，解这个直 角三角形． 【随堂小测】 １．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，且已知ｂ和∠Ｂ，下列求ｃ的表达式正确的是 （　　） Ａ．ｃ＝ｂ·ｃｏｓＢ Ｂ．ｃ＝ｂ·ｓｉｎＢ Ｃ．ｃ＝ ｂ ｓｉｎＢ Ｄ．ｃ＝ ｂ ｃｏｓＢ ２．（教材改编题）如图，在Ｒｔ△ＡＣＢ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝０．５，若ＢＣ＝６，则ＡＣ的长为 （　　） Ａ．８ Ｂ．１２ 槡Ｃ．６３ 槡Ｄ．１２３ ３２ ３．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，点Ｄ在ＢＣ上，ＣＤ＝３，ＡＤ＝ＢＣ，且ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝ ３ ５ ，则 ＢＤ的长是 （　　） Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．１ 第３题图 　　　　　　　　 第４题图 ４．如图，矩形ＡＢＣＤ的对角线交于点Ｏ．已知ＡＢ＝ｍ，∠ＢＡＣ＝α，则下列结论错误的是 （　　） Ａ．∠ＢＤＣ＝α Ｂ．ＢＣ＝ｍｔａｎα Ｃ．ＡＯ＝ ｍ ２ｓｉｎα Ｄ．ＢＤ＝ ｍ ｃｏｓα ５．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝２，ＣＤ＝８，连接ＡＣ，ＡＣ⊥ＣＤ，若 ｓｉｎ∠ＡＣＢ＝ １ ３ ，则ＡＤ的长是　　　　． 第５题图 　　　　 第６题图 　　　　 第７题图 ６．如图，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从ＡＣ上的一点Ｂ，取∠ＡＢＤ ＝１４５°，ＢＤ＝５００ｍ，∠Ｄ＝５５°，要使点 Ａ，Ｃ，Ｅ成一直线，那么开挖点 Ｅ离点 Ｄ的距 离是　　　　　　ｍ．（用三角函数表示） ７．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝７，∠Ｂ＝６０°，点 Ｄ在边 ＢＣ上，ＣＤ＝３，连接 ＡＤ．如果将 △ＡＣＤ沿直线ＡＤ翻折后，点Ｃ的对应点为点Ｅ，那么点Ｅ到直线ＢＤ的距离为　　　　． ８．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｄ是边ＡＢ的中点，ＢＥ⊥ＣＤ交ＣＤ的延长线于点 Ｅ．已知ＡＣ＝１５，ｃｏｓＡ＝ ３ ５ ．求： （１）线段ＣＤ的长； （２）ｓｉｎ∠ＤＢＥ的值． ４２ sinB=AC=3u3 B5a3故选A 由lanB=名，得b=a·anb=4an60三4月 4.C【解析】如图所示。 :四边形ABCD是菱形， 由m=名得e=6 4 cosB cos60=8. ,AC⊥BD,OA= 2.解：在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=90°-60°=30° AC:AD=√3：1， 由a4兰得a=ea=(2)x-5+号 21 501:A0= 2 由m:名，得6=c·(245) 2 2 六m∠D40=A5 AD2∠DM0=30. 【随堂小测】 1.C2.C ∴.∠BAD=∠BCD=2∠DAO=60°. 故选C 3C【解折：在△ADC中，CD=3,且s∠ADC- AD 560°3 3 5AD=5.:.BG=AD=5...BD=BC-DC=2. 6.60°【解析】：tana= 90 90 选C 323-(903-885) 303 4.c 3.∠a=60° 5.10【解析】在Rt△ABC中， 【解析】由勾股定理，得AC=√CD+AD= =2mL400- √3+4=5AC2+BC2=169=AB2. 六∠ACB=90,sinB=4C-5 510=2写-6 ΓAB13 ,在Rt△ADC中， 8416 55 【解析】通过转化角，得∠BCD=∠A, AD=√AC+CD=√6+8=10. 6.500cos55° 【解析】.∠E=145°-55°=90°， .tan∠BCD=tanM= F5BD=CD·tanL BCD=I6 .DE=BD·cosD=500co55(m）. 9.解：，在R△ABC中，∠C=90°，AB=43,BC=6, 73g 2 【解析】如图，过点E作EH⊥BC于点H. AC=A-BC =23.amB=AC=2 BC=6=3' .BC=7,CD=3,:.BD=BC-CD=4. :AB=4=BD,∠B=60°，，△ABD是等边三角形. ∴.∠B=30°.∴.∠A=90°-30°=60°.∴.∠B=30°，∠A= ,∠ADB=60°.∴.∠ADC=∠ADE=120°. 60°，AC=25. ,∠EDH=60°. 10.解：在Rt△ACD中， EH⊥BC,∠EHD=90 s∠DAC=4C-12.3 AD852' DE-DC-3..EH=DExsin L.HDE=3x3 2=2 ∠DAC=30 AD平分∠BAC,∴.∠BAC=60 心成E到直线BD的距离为 21 ∠B=30°..AB=24C=24. .BC=AB2-AC=√24-122=125. 六5a24C·BC= 2×12×123=72w3, 即△ABC的面积为723. 第2课时已知一边和一锐角解直角三角形 【边学边练】 8解：(1)在Rt△ACB中， L.解：在Rt△ABC中， ∠A=90°-∠B=90°-60°=30° - B,解得AB=25. 151 D是边AB的中点CD=MB_25 22 25 (2)由(1)可得AD=BD=CD= 2 由勾股定理知CB=√/AB-AC=20. 设DE=x,EB=y(x>0,y>0),则 【随堂小测】 *2=62 1.C 2.B【解析】如图，过点C作CDLAB于点D 解 x2 25 (x+ )产+y2=400 y=12. ∴sin∠DBE= DE 7 BD 25 第3课时解简单的斜三角形 由题意知CD=AC·sinM=23·sin30°=3. 【边学边练】 .AD=AC·c0s30°=3. 1.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D,则LADC=∠CDB CD3 =90°. tanB=BD2' ∠ACB=75°，∠B=60°， .BD=2. .∠A=180°-75°-60°=45. ∴，AB=AD+BD=3+2=5.故选B. 在R△BCD中， CD=BC sinB=6xsin(0x 3C【解析】由题意，得△BEF∽△DH,所以E-BE AF AD 2 =35, BF 1 BD=BC·cosB=6Xeos60°=6 23 DF2设EF=m,AF=2m,由△BEF~△ABF,得BF 在Rt△ADC中， =√2m,则DF=22m,由勾股定理，得DE=3m. AC=CD.35_3 故sin∠BDE EF 1 sind sin452 =36. DE3故选C 2 AD=CD=33. 4细 ,,AB=AD+BD=33+3. 9我 【解析】当点D在线段CA上时，D是AC 的中点，∴BD上AC.设CD=m,则BC=2m,BD=√3m 故tan∠DBC= CD_3 BD 3 当点D在线段CA的延长线上时，过 2√3-1【解析】如图，过点A作AD⊥BC,交BC的延长 点B作BF⊥AC于点F,过点D作DE 线于点D,则∠ACB=180°-15°-30°=135°，∠ACD ⊥BC于点E, =45°， D(F 设CF=AF=AD=m,BC=2m.由前面步 在△ACD中，sin45°=4D.2AD」 AC224D=2. 骤，得BF=√3m,利用等积法得BC· 由勾股定理，得CD=2. DE=CD·BF 在△ABD中，n30°=4D.3-2 BD 3-BD BD=/6. 2m·DE=3m·5mDE=33m BD=BE+DF= 2 ∴.BC=BD-CD=6-. 3m2+4m2=7m2. S=c.A0=6-x2=5-l 面B02=E2+DE,7m2=BEm3 152