专题3.1 函数的概念及表示法（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（河北专用）

专题3.1 函数的概念及表示法 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：函数的概念及表示 3 考点二：相等函数 5 考点三：求函数的定义域 7 考点四：求函数的解析式 8 考点五：分段函数 10 【考纲要求】 1．理解函数的概念；了解函数的三种表示方法。 2．掌握分段函数的含义． 【考向预测】 1.判断两个函数是否同一函数 2.求一次函数、二次函数的解析式 3.常见函数的定义域的求法 4.分段函数及应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 函数的概念 一般地，设𝐷是非空数集，对于𝐷中的每一个𝑥，按照某个确定的对应法则𝑓，都有唯一确定的值𝑦和它对应，那么就称𝑦为𝑥的函数，记作𝑦=𝑓(𝑥)，𝑥∈𝐷． 其中， 𝑥称为自变量， 𝑥的取值范围𝐷称为函数的定义域． 当𝑥_0∈ 𝐷时，与𝑥_0相对应的值𝑦_0称为函数在点𝑥_0处的函数值，记作 𝑦0=𝑓(𝑥0)． 函数值的集合{𝑦|𝑦=𝑓(𝑥),𝑥∈𝐷}称为函数的值域． 2. 函数的有关性质 (1)函数的三要素：定义域、值域、对应法则． (2)函数的表示法：解析法、图象法、列表法． (3)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同． 3. 分段函数 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数． 【考点分类剖析】 考点一：函数的概念及表示 例1．下列变量间的关系是函数关系的是（　　） A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程 B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C．正方形的面积S与其边长a之间的关系 D．光照时间和苹果的亩产量 【答案】C 【分析】通过分析各选项是什么关系，即可得出变量间的关系是函数关系的选项. 【详解】由题意， A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系， 故选：C. 例2．下列图形中，可以表示函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的定义即可得解. 【详解】通过平移直线，只有B选项的图象满足： 其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 【方法规律】根据定义即对于一个x值，是否有唯一确定的y值与之对应. 【变式探究】1. 下列对应关系是函数的为 .（填序号） （1）x→x2，x∈R； （2）x→y，其中y2＝x，x∈（0，＋∞），y∈R； （3）t→s，其中s＝，t≠1，t∈R. 【答案】（1）（3） 【分析】利用函数的概念逐一判断即可得出结果. 【详解】（1）根据函数的概念可得x→x2，x∈R为函数. （2）在上任取上一个值，都有两个值对应，这与函数的概念矛盾， 所以此对应关系不是函数. （3）任意的，，t∈R都有唯一的值与之对应，符合函数的概念， 故答案为：（1）（3） 2．以下图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数定义逐一判断选项中自变量与函数值的对应关系即可得出结论. 【详解】根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应， A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象. 故选：A 考点二：相等函数 例1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断. 【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选:A. 例2．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】判断是否为同一函数，一般考查两个方面：① 定义域相同；② 对应法则相同.只有两个方面都分别相同，才能称为同一函数. 【详解】对于A项，因函数的定义域为R，而函数的定义域为，故该组函数不是同一函数，A项错误； 对于B项，两函数的定义域相同，但对应法则不同，故该组函数也不是同一函数，B项错误； 对于C项，函数的定义域为，而函数的定义域为R，故该组函数不是同一函数，C项错误； 对于D项，两函数的定义域都是，且对应的法则相同，故该组函数是同一函数，D项正确. 故选：D. 【方法规律】先判断定义域是否相同，再看对应法则是否相同． 【变式探究】1．下列函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从函数的定义域和对应法则两个方面是否都相同考查函数即得. 【详解】对于A项，，与的对应法则不同，故不是同一函数，A项错误； 对于B项，的定义域为的定义域为， 故两函数定义域不同，故与不是同一函数，B项错误； 对于C项，与的定义域相同，对应法则也相同，C项正确； 对于项，， 与的对应法则不同，故不是同一函数，D项错误. 故选:C. 2．下列函数中与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次判断各个选项中函数的定义域和解析式与是否相同，由此得到结果. 【详解】选项A，，当时，，解析式与不同，A不正确； 选项B，的定义域为，解析式为，定义域和解析式与相同，B正确； 选项C，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，C不正确； 选项D，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，D不正确； 故选：B. 考点三：求函数的定义域 例1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数有意义，列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数有意义，得，解得， 所以所求定义域为. 故选：B 例2．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数形式列出不等式组，解出即可. 【详解】由题意有，解得或或． 故其定义域为. 故答案为：. 【方法规律】求函数的定义域： (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0． (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 【变式探究】1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数形式得到，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 则其定义域为. 故选：A. 2．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据根式以及分式的性质即可求解. 【详解】的定义域满足且，解得且. 故答案为： 考点四：求函数的解析式 例1．若一次函数满足，则 ． 【答案】 【分析】设，利用可得的值，从而可求的解析式. 【详解】设，则， 故，故，故， 故答案为：. 例2．已知为二次函数,且满足,,则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出二次函数的解析式,结合已知利用待定系数法可以求出的解析式. 【详解】设,因为,所以. 又,所以有 ,解得 . 故选：A 例3．已知，则 ； ． 【答案】 3 【分析】令，代入可求出，令，解出，再代入可求出. 【详解】． 令，得， ∴． 故答案为：3；. 【变式探究】1．已知一次函数的图象过点(1，0)和(0，1)，则此一次函数的解析式为（    ） A．f(x)= -x B．f(x)=x-1 C．f(x)=x+1 D．f(x)= -x+1 【答案】D 【分析】利用待定系数法可求出结果. 【详解】设f(x)=ax+b(a≠0)，则有 所以a= -1，b=1，所以f(x)= -x+1． 故选：D 2．若二次函数满足，且图象过原点，则的解析式为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法，可得结果. 【详解】设，由题可知 所以，则 故答案为： 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件建立方程组，可求得实数的值. 【详解】，且，所以，，解得. 故选：C. 考点五：分段函数 例1．已知函数，则 . 【答案】 【分析】判断所在区间，再代入计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 例2．设函数，若，则 . 【答案】2 【分析】根据函数解析式，代入求值. 【详解】函数，有， 则，解得. 故答案为：2 【变式探究】1．已知函数 则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义求值． 【详解】由题意， 故选：B． 2．已知函数，若，则 ． 【答案】或 【分析】利用给定的分段函数及函数值，分段列式计算即得. 【详解】函数，而， 当时，，解得，因此； 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 函数的概念及表示法 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：函数的概念及表示 3 考点二：相等函数 4 考点三：求函数的定义域 5 考点四：求函数的解析式 6 考点五：分段函数 7 【考纲要求】 1．理解函数的概念；了解函数的三种表示方法。 2．掌握分段函数的含义． 【考向预测】 1.判断两个函数是否同一函数 2.求一次函数、二次函数的解析式 3.常见函数的定义域的求法 4.分段函数及应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 函数的概念 一般地，设𝐷是非空数集，对于𝐷中的每一个𝑥，按照某个确定的对应法则𝑓，都有唯一确定的值𝑦和它对应，那么就称𝑦为𝑥的函数，记作𝑦=𝑓(𝑥)，𝑥∈𝐷． 其中， 𝑥称为自变量， 𝑥的取值范围𝐷称为函数的定义域． 当𝑥_0∈ 𝐷时，与𝑥_0相对应的值𝑦_0称为函数在点𝑥_0处的函数值，记作 𝑦0=𝑓(𝑥0)． 函数值的集合{𝑦|𝑦=𝑓(𝑥),𝑥∈𝐷}称为函数的值域． 2. 函数的有关性质 (1)函数的三要素：定义域、值域、对应法则． (2)函数的表示法：解析法、图象法、列表法． (3)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同． 3. 分段函数 在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数． 【考点分类剖析】 考点一：函数的概念及表示 例1．下列变量间的关系是函数关系的是（　　） A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程 B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C．正方形的面积S与其边长a之间的关系 D．光照时间和苹果的亩产量 例2．下列图形中，可以表示函数的是（    ） A． B． C． D． 【方法规律】根据定义即对于一个x值，是否有唯一确定的y值与之对应. 【变式探究】1. 下列对应关系是函数的为 .（填序号） （1）x→x2，x∈R； （2）x→y，其中y2＝x，x∈（0，＋∞），y∈R； （3）t→s，其中s＝，t≠1，t∈R. 2．以下图形中，不是函数图象的是（   ） A． B． C． D． 考点二：相等函数 例1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【方法规律】先判断定义域是否相同，再看对应法则是否相同． 【变式探究】1．下列函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 考点三：求函数的定义域 例1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例2．函数的定义域为 ． 【方法规律】求函数的定义域： (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0． (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 【变式探究】1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为 ． 考点四：求函数的解析式 例1．若一次函数满足，则 ． 例2．已知为二次函数,且满足,,则的解析式为（    ） A． B． C． D． 例3．已知，则 ； ． 【变式探究】1．已知一次函数的图象过点(1，0)和(0，1)，则此一次函数的解析式为（    ） A．f(x)= -x B．f(x)=x-1 C．f(x)=x+1 D．f(x)= -x+1 2．若二次函数满足，且图象过原点，则的解析式为 . 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 考点五：分段函数 例1．已知函数，则 . 例2．设函数，若，则 . 【变式探究】1．已知函数 则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$