专题11 多边形与平行四边形4种常考题型归类-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（吉林专用）

专题11 多边形与平行四边形 （解析版） 多边形及其内角和 1．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键． 根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：， 故选：D． 2．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    【答案】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 3．（2020·吉林长春·中考真题）正五边形的一个外角的大小为 度． 【答案】72 【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解． 【详解】解：正五边形的一个外角的度数为：， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键． 平行四边形的性质 4．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由线段中点的定义得到，据此可证明，进而可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴． 5．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． (1)点D到边的距离为__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)连结，当线段最短时，求的面积； (4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，； (3) (4)或 【分析】（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解； （2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解； （3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，即可求解； （4）分两种情况讨论：当点位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点（）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接DM， ∵AB=4，，点M为边的中点， ∴AM=BM=2，DM⊥AB， ∴， 即点D到边的距离为3； 故答案为：3 （2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上， ； 当1＜t≤2时，点P在BD边上，； 综上所述，当0≤t≤1时，；当1＜t≤2时，； （3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E， ∵作点A关于直线的对称点， ∴A′M=AM=2， ∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆， ∴当点D、A′、M三点共线时，线段最短，此时点P在AD上， ∴， 根据题意得：，， 由（1）得：DM⊥AB， ∵PE⊥DM， ∴PE∥AB， ∴△PDE∽△ADM， ∴， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴； （4）解：如图， 当点M、、C三点共线时，且点位于M、C之间时，此时点P在AD上， 连接A A′， A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM， ∵AB为直径， ∴∠A =90°，即A A′⊥A′B， ∴PM∥A′B， ∴∠PMF=∠AB A′， 过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N， 在中，AB∥DC， ∵DM⊥AB， ∴DM∥CN， ∴四边形CDMN为平行四边形， ∴CN=DM=3，MN=CD=4， ∴CM=5， ∴， ∵ M=2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即PF=3FM， ∵，， ∴， ∴，即AF=2FM， ∵AM=2， ∴， ∴，解得：； 如图，当点（）位于C M的延长线上时，此时点P在BD上，， 过点作于点G′，则，取的中点H，则点M、P、H三点共线，过点H作HK⊥AB 于点K，过点P作PT⊥AB于点T， 同理：， ∵HK⊥AB，， ∴HK∥A′′G′， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即MT=3PT， ∵，， ∴， ∴， ∵MT+BT=BM=2， ∴， ∴，解得：； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意得到点的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题． 6．（2021·吉林·中考真题）图①、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以点，，为顶点画一个等腰三角形； （2）在图②中，以点，，，为顶点画一个面积为3的平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以为顶点，为 底边，即可做出等腰三角形； （2）作底为1，高为3的平行四边形即可． 【详解】解：（1）如图①中，此时以为顶点，为底边，该即为所求（答案不唯一）． （2）如图②中，此时底，高，因此四边形即为所求． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质． 7．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、． （1）求证：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解析1；（2） 【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论； （2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：在中， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ （2）∵， ∴ ∵ ∴ 在中，，. 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键． 平行四边形的判定与性质综合 8．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 9．（2023·吉林长春·中考真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）由题意可知易得，即，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明； （2）如图，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得，；由菱形得对角线平分对角得，再由三角形外角和易证即可得，最后由求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可知， ，， ， 四边形地平行四边形； （2）如图，在中，，，， ，， 四边形是菱形， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 三角形中位线 10．（2022·吉林·中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ． 【答案】/2.5 【分析】由矩形的性质可得点F是OA的中点，从而EF是△AOD的中位线，则由三角形中位线定理即可求得EF的长． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=10，OA=AC，OD=BD=5， ∵， ∴，即点F是OA的中点． ∵点是边的中点， ∴EF是△AOD的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，掌握中位线定理是本题的关键． 11．（2020·吉林·中考真题）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得的面积，由此即可得出答案． 【详解】点，分别是边，的中点 ，即 又 则四边形的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 多边形及其内角和 12．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，三个正方形一些顶点已标出了角的度数，则x的值为（    ） A．30 B．39 C．40 D．41 【答案】D 【分析】本题考查多边形的内角和公式，多边形的内角和等于，先根据多边形的内角和公式计算出内角和，再根据各个角的度数建立方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：根据题意得，三个正方形与下面的图像构成一个九边形， 九边形的内角和为：， ∴， 解得， 故选：D． 13．（2024·吉林长春·二模）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的边数为（    ） A．14 B．13 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和问题，掌握多边形内角和公式，会用多边形内角和公式求边数是解题关键． 【详解】解：设该多边形的边数是边形， 由多边形的内角和公式， ， ， 多边形的边数是边形． 故选：A． 14．（2024·吉林长春·三模）如图，在正五边形中，对角线、分别交于点F、G．若与四边形的周长分别为a、b，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．a，b大小无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握正多边形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而可得都为等腰三角形，最后问题可求解． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴，， ∴， ∴的周长为， 四边形的周长为， 由三角形三边关系可得，即， ∴； 故选C． 15．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，正五边形的顶点在射线上，顶点在射线上，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是正多边形内角度数、三角形外角性质，解题关键是熟练掌握正多边形内角的计算方法． 先根据多边形内角和计算公式求出正五边形内角和，由此得出、，结合题中条件求出后，根据三角形外角等于与之不相邻的两个内角和即可求解． 【详解】解：正五边形中，， ∴ 即①， ∵②， ∴得 即， 将代入②可得 即， ∵是的外角， ∴， 即， 故答案为：． 16．（2024·吉林长春·模拟预测）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘，分别与相切于点 A， B， 若该圆半径是3，， 则的长是 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，弧长的计算，多边形内角和，熟练掌握切线的性质，以及弧长公式是解题的关键．利用切线的性质可得，进而得到，以及所对圆心角，最后利用弧长公式求解即可解题． 【详解】解：，分别与相切于点 A， B， ， ， ， 所对圆心角为， 该圆半径是3， 的长是， 故答案为：． 17．（2024·吉林白城·一模）如图，正五边形的边上有一点F．以F为一个顶点在正五边形的内部作等边三角形，如果，那么 度． 【答案】 【分析】题目主要考查多边形内角、等边三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据等边三角形的性质得到，由正五边形的性质得到，再由平行线的性质结合图形即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵在正五边形ABCDE中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2024·吉林·二模）两个边长为4的正六边形按如图方式放置在平面直角坐标系中，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图所示，设左边正六边形的中心为，连接，先证明是等边三角形，得到，再求出，得到A、C、D三点共线，求出，得到，则，再由，可得． 【详解】解：如图所示，设左边正六边形的中心为，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵正六边形的一个内角度数为， ∴， ∴， ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，正确求出的长是解题的关键． 平行四边形的性质 19．（2024·吉林延边·模拟预测）如图，等边三角形的边长，点在边上，且．过点作，垂足为，以、为邻边作平行四边形．将沿向右平移，使点的对应点落在边上，则平移的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及平移的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质． 已知是等边三角形，，求出，再根据，求出和，再根据四边形是平行四边形求出，进而求出即可． 【详解】解：∵是等边三角形，， ， ， ， ， ∵将沿向右平移， ∴、、三点共线， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：． 20．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，的对角线交于点O．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E、F两点；作直线交于点G，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线、平行四边形的性质、三角形的中位线性质，根据作图痕迹得到点G为的中点，再根据平行四边形的性质得O为的中点，然后根据三角形的中位线性质求解即可． 【详解】解：由作图痕迹得垂直平分， ∴点G为的中点， ∵的对角线交于点O， ∴O为的中点， ∴是的中位线，又， ∴， 故答案为：． 21．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，连结．下列结论正确的是 ．（填序号） ①平分；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形的 判定和性质，勾股定理及角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据平行四边形的性质、角平分线的性质、解直角三角形、勾股定理分别推理计算即可． 【详解】解四边形是平行四边形， ，，， ． 平分， ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， ， ， 平分．故①正确； ． ， 在 中，， ， ，故②正确； 在 中，，， 则． ， ， 令交于，则， 与不垂直，故③错误； 四边形是平行四边形，． ， ， 是的中位线． ． 设，则， ， ， ． ， ， ，故④正确．故正确的为①②④． 故答案为：①②④． 22．（2024·吉林·模拟预测）如图，在中，，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，以为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒． (1)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (2)当点D落在的边上时，求t的值； (3)当与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行四边形对边相等即可得到答案； （2）过点D作于H，由勾股定理得到，再证明四边形是正方形，得到，设，解得到，则解得到，则，可得，则； （3）当时，重叠部分即为平行四边形，求出当点恰好在上时，，则当时，重叠部分为一个五边形，不符合题意；当时，设分别交于O，M，过点O、M分别作的垂线，垂足分别为T，K，则重叠部分为四边形，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵四边形是平行四边形， ∴； （2）解：如图所示，过点D作于H， 在中，，，， ∴， 由旋转的性质可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 在中，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，重叠部分即为平行四边形， ∴； 当点恰好在上时， 设，同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，重叠部分为一个五边形，不符合题意； 如图所示，当时，设分别交于O，M，过点O、M分别作的垂线，垂足分别为T，K，则重叠部分为四边形， 同理可得， 由平行四边形的性质可得， ∴， ∴， ∴， 设，则同理可得， ∴， ∴， ∴ ； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，正方形的性质与判定等等，正确画出对应的图形分类讨论求解是解题的关键． 23．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，并于点，经过点的直线交于，交于F． (1)求证：． (2)连接，，则与满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)时，四边形为矩形，见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键． （1）由平行四边形的对边平行且相等，得到与平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由对角线互相平分得到，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）与相等时，四边形是矩形，理由为：由与平行且相等得到四边形为平行四边形，利用对角线互相平分的平行四边形是矩形即可得证． 【详解】（1）证明：平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：若时，四边形为矩形，理由为： ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． 平行四边形的判定与性质综合 24．（2024·吉林长春·一模）如图，延长的边到点E，使，延长边到点F，使．连结、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形性质得出，且，，推出，，根据平行四边形的判定推出即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，且，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 25．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，点B、F分别在边、上，且，，连结、、，与相交于点M． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则的值为　　　　　． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用平行四边形性质得到，进而得到，有，即可证明四边形是平行四边形； （2）利用平行四边形性质得到，证明，利用相似三角形性质得到，求出，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，，即， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 26．（2024·吉林四平·二模）【数学实验】如图①，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的是，求光线与纸板左上方所成的的度数； 【实验探究】聪明的小明根据该数学实验，将两个短边长相等的平行四边形纸片和按如图②方式放置，两张纸片重叠部分的图形记作四边形．若，，，求四边形的面积； 【实验应用拓展】如图③，将图②中的平行四边形纸片绕点M旋转一定的角度，使得，若，，，则四边形的面积为____________． 【答案】[数学实验]； [实验探究]；[实验应用拓展] 【分析】[数学实验]由题意知，，如图①，则，，然后作答即可； [实验探究]如图②，过作于，则，证明四边形是平行四边形，则，证明四边形是平行四边形，根据，求解作答即可； [实验应用拓展]如图③，过作于，过作于，则，，同理（2）四边形是平行四边形，证明四边形是矩形，根据，求解作答即可． 【详解】[数学实验]解：由题意知，， 如图①， ∴，， ∴， ∴的度数为； [实验探究]解：如图②，过作于， ∴， 由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的面积为； [实验应用拓展]解：如图③，过作于，过作于， ∴，， 同理（2）四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正弦等知识，熟练掌握平行线的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正弦是解题的关键． 27．（2024·吉林长春·一模）如图，在四边形中，，点E在边AD上，且，连结．当平分时，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，关键是证明．根据角平分线的定义得出，再证明证明，进而利用平行四边形的判定解答即可． 【详解】证明：∵平分， ∴．     ∵， ∴．       ∴．      ∴．       ∵， ∴四边形是平行四边形．       ∴． 三角形中位线 28．（2024·吉林·二模）如图，两点被池塘隔开，在外选一点，连接，点分别为的中点，连接．若测得，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直接根据三角形中位线的性质即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴， 故答案为：． 29．（2024·吉林长春·一模） 如图，的对角线，交于点，平分，交于点E，且，，连接；下列结论：①；②；③；④，其中成立的有 ． 【答案】①③④ 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由可判断①，证明，可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判断④． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 为等边三角形 ， ， ， ∴， ∵， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②错误； ∵， ∴， ，故③正确； ， 是中点， ， ， ∴ ， ，故④正确； 综上分析可知：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线性质、等边三角形的判断与性质等知识，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题关键． 30．（2024·吉林·一模）如图，在四边形中，点E、F分别是边、的中点，．若，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的中位线定理以及勾股定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 根据题意得出是的中位线，则，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵E、F分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 则由勾股定理得． 故答案为：10． 31．（2024·吉林四平·二模）如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接、，点、分别为、的中点，连接，若测得，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形的中位线，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理可直接求解． 【详解】解：∵点、分别为、的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 32．（2024·吉林四平·模拟预测）由两个梯子搭成的“人字梯”如图①所示，它的3个踩档把梯子等分成4份．某次家务劳动中，小明想在人字梯的第二踩档处绑上一根绳子确保用梯安全，将其抽象成图②，其中，，在D，E处打结各需要0.2m的绳子，请你帮小明计算他需要的绑绳的长度、此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为多少米？（结果精确到0.01m．参考数据：，，） 【答案】他需要的绑绳的长度约为1.08m，此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为1.88米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，三角形的中位线定理，过点A作，垂足为F，等边对等角求出，锐角三角函数求出，的长，三角形中位线定理求出的长，进而求出需要绑绳的长度即可． 【详解】解：过点A作，垂足为F． ，， ． 在中，． ， ，， ． 由题意，得DE是的中位线， ， ． 在D，E处打结各需要0.2m的绳子， 他需要的绑绳的长度． 他需要的绑绳的长度约为1.08m，此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为1.88米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 多边形与平行四边形 （解析版） 多边形及其内角和 1．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    3．（2020·吉林长春·中考真题）正五边形的一个外角的大小为 度． 平行四边形的性质 4．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：． 5．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． (1)点D到边的距离为__________； (2)用含t的代数式表示线段的长； (3)连结，当线段最短时，求的面积； (4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值． 6．（2021·吉林·中考真题）图①、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以点，，为顶点画一个等腰三角形； （2）在图②中，以点，，，为顶点画一个面积为3的平行四边形． 7．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、． （1）求证：． （2）若，，求的值． 平行四边形的判定与性质综合 8．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 9．（2023·吉林长春·中考真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 三角形中位线 10．（2022·吉林·中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则 ． 11．（2020·吉林·中考真题）如图，在中，，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为 ． 多边形及其内角和 12．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，三个正方形一些顶点已标出了角的度数，则x的值为（    ） A．30 B．39 C．40 D．41 13．（2024·吉林长春·二模）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的边数为（    ） A．14 B．13 C．15 D．16 14．（2024·吉林长春·三模）如图，在正五边形中，对角线、分别交于点F、G．若与四边形的周长分别为a、b，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．a，b大小无法比较 15．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，正五边形的顶点在射线上，顶点在射线上，，则的度数为 ． 16．（2024·吉林长春·模拟预测）不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘，分别与相切于点 A， B， 若该圆半径是3，， 则的长是 ．（结果保留π） 17．（2024·吉林白城·一模）如图，正五边形的边上有一点F．以F为一个顶点在正五边形的内部作等边三角形，如果，那么 度． 18．（2024·吉林·二模）两个边长为4的正六边形按如图方式放置在平面直角坐标系中，则点的坐标为 ． 平行四边形的性质 19．（2024·吉林延边·模拟预测）如图，等边三角形的边长，点在边上，且．过点作，垂足为，以、为邻边作平行四边形．将沿向右平移，使点的对应点落在边上，则平移的距离为 ． 20．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，的对角线交于点O．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E、F两点；作直线交于点G，连接．若，则 ． 21．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，连结．下列结论正确的是 ．（填序号） ①平分；②；③；④． 22．（2024·吉林·模拟预测）如图，在中，，，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，以为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒． (1)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (2)当点D落在的边上时，求t的值； (3)当与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 23．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线，并于点，经过点的直线交于，交于F． (1)求证：． (2)连接，，则与满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 平行四边形的判定与性质综合 24．（2024·吉林长春·一模）如图，延长的边到点E，使，延长边到点F，使．连结、．求证：四边形是平行四边形． 25．（2024·吉林长春·三模）如图，在中，点B、F分别在边、上，且，，连结、、，与相交于点M． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则的值为　　　　　． 26．（2024·吉林四平·二模）【数学实验】如图①，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的是，求光线与纸板左上方所成的的度数； 【实验探究】聪明的小明根据该数学实验，将两个短边长相等的平行四边形纸片和按如图②方式放置，两张纸片重叠部分的图形记作四边形．若，，，求四边形的面积； 【实验应用拓展】如图③，将图②中的平行四边形纸片绕点M旋转一定的角度，使得，若，，，则四边形的面积为____________． 27．（2024·吉林长春·一模）如图，在四边形中，，点E在边AD上，且，连结．当平分时，求证：． 三角形中位线 28．（2024·吉林·二模）如图，两点被池塘隔开，在外选一点，连接，点分别为的中点，连接．若测得，则的长为 ． 29．（2024·吉林长春·一模） 如图，的对角线，交于点，平分，交于点E，且，，连接；下列结论：①；②；③；④，其中成立的有 ． 30．（2024·吉林·一模）如图，在四边形中，点E、F分别是边、的中点，．若，，则 ． 31．（2024·吉林四平·二模）如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接、，点、分别为、的中点，连接，若测得，则的长为 ． 32．（2024·吉林四平·模拟预测）由两个梯子搭成的“人字梯”如图①所示，它的3个踩档把梯子等分成4份．某次家务劳动中，小明想在人字梯的第二踩档处绑上一根绳子确保用梯安全，将其抽象成图②，其中，，在D，E处打结各需要0.2m的绳子，请你帮小明计算他需要的绑绳的长度、此时梯子的顶端A离地面BC的高度约为多少米？（结果精确到0.01m．参考数据：，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$