高二入学学情摸底测试02（考试范围：高一全部内容）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

高二入学学情摸底测试02 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合、集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 5．某研究小组为了解某市高中生自主阅读情况，随机调查了2000名学生的每周自主阅读时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3.则以下说法中错误的是（    ） A． B．估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时 C．样本的极差介于6小时至10小时之间 D．估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是6.5小时 6．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 7．已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：平均数为2，众数为2；乙地：中位数为3，极差为4；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，标准差为，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（   ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 11．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（   ） A．该三棱台的体积为 B．若过点的平面与平面平行，则平面截该三棱台所得的截面面积为 C．若点在棱上，则的最小值为 D．该三棱台内半径最大球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，tanβ是方程的两根，则tanα＝ ． 13．在中，，是边上的一点，，若为锐角， 的面积为4，则 ， . 14．如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，.若，则直线与平面所成角的正弦值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值. 16．（15分）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）； (3)在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 17．（15分）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，，，，分别，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 18．（17分）记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线． (1)求； (2)求； (3)若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值． 19．（17分）已知，对任意都有， (1)求的值： (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. (3)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二入学学情摸底测试02 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合、集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，， ∴. 故选:B. 2．设，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，所以. 故选：B. 3．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将两边平方可得， 所以， 所以， 故选：D. 4．如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为三点共线，则，且， 又因为，即，则， 且，则，解得. 故选：A. 5．某研究小组为了解某市高中生自主阅读情况，随机调查了2000名学生的每周自主阅读时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3.则以下说法中错误的是（    ） A． B．估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时 C．样本的极差介于6小时至10小时之间 D．估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是6.5小时 【答案】D 【详解】选项A，由每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3， 则，解得，故A正确； 选项B，由各组频率之和为得，， 联立解得， 故五组的频率分别为， 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 且， 设样本数据的第60百分位数值为，则， 由，解得， 故估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时，故B正确； 选项C，设样本数据中的最小值为，最大值为， 由频率分布直方图可知，最小值，最大值， 所以，则由不等式的性质可得极差， 即样本的极差介于6小时至10小时之间，故C正确； 选项D，由频率分布直方图样本平均数的近似值为， 估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是小时，故D错误. 故选：D. 6．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（    ） A． B．事件与事件互斥 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【详解】对于A，因为有4个数字，向下的数字为2或3的有2种，所以，错误； 对于B，由题意，事件和事件有可能同时发生，如第一次向下的数字为2，第二次向下的数字为1，所以B错误， 对于C，因为两次数字和为奇数的有：，共8种，所以， 第一次数字为2或3，且两次数字和为奇数的有：，4种，所以， 因为，所以，所以事件与事件相互独立，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：C 7．已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，当时，有， 即，即， 令，则当时，， 则函数在上单调递减， 由，可得， 即，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：B 8．已知中，，，，点M为AB中点，连接CM．将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面平面，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，过点作的垂线，垂足为，连接， 则， 因为在中，，，，点M为AB中点， 所以，则为等边三角形， 所以，， 将沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则为等边三角形， ，，，，    因为平面平面，且平面，，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，则二面角A'-BC-M的平面角为， 在直角三角形中， ， 所以， 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A：∵，幂函数在上单调递增， 且，∴，故选项A错误； 对于B：∵，∴函数在上单调递减， 又∵，∴， ∴，即，故B正确； 对于选项C：∵，则，幂函数在上单调递减， 且，∴，∴，故选项C正确； 对于选项D：由选项B可知：，∴， ∵， ∴，∴，故D错误. 故选：BC. 10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标准为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：平均数为2，众数为2；乙地：中位数为3，极差为4；丙地：平均数为2，中位数为3；丁地：平均数为2，标准差为，甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（   ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】BCD 【详解】对于A，若甲地过去10天每天新增疑似病例人数分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8， 则满足平均数2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，所以A错误， 对于B，因为乙地：中位数为3，极差为4，则最大值不大于， 所以乙地满足每天新增疑似病例不超过7人，所以B正确， 对于C，假设丙地至少有一天新增疑似病例人数超过7人， 由中位数为3可得平均数的最小值为， 与题意矛盾，所以C正确， 对于D，假设丁地至少有一天新增疑似病例人数超过7人， 则方差的最小值为，与题意矛盾，所以D正确， 故选：BCD. 11．如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（   ） A．该三棱台的体积为 B．若过点的平面与平面平行，则平面截该三棱台所得的截面面积为 C．若点在棱上，则的最小值为 D．该三棱台内半径最大球的体积为 【答案】BC 【详解】对于A，正三棱台中，取上、下底面的中心，连接， 则，高， 三棱台的体积，A错误； 对于B，在上分别取点，使，连接， 而，则四边形均为平行四边形，即，， 而平平面，平面，则平面，同理平面， 又，因此为平面截该三棱台所得的截面， 而，又，则为正三角形，， 截面面积，B正确； 对于C，把等腰梯形与展开置于同一平面，连接， 由选项B知，等腰底边， 而边的中点到点的距离， 因此当点为线段与的交点时，的最小值为，C正确； 对于D，体积为的球半径，，解得，该球的直径， 则此球不可能在正三棱台内，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，tanβ是方程的两根，则tanα＝ ． 【答案】1 【详解】因为，tanβ是方程的两根， 所以，， 所以 . 故答案为：1 13．在中，，是边上的一点，，若为锐角， 的面积为4，则 ， . 【答案】 4 4 【详解】由题意得， 解得，又是锐角， 所以， 在中，由余弦定理得 . 由正弦定理得，即. 在中，，即 故答案为：①；②4. 14．如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，.若，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【详解】在平面内过作与平行且相等的线段， 过作于，连接， 则四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面，故为直线与平面所成角， 由， 得二面角的平面角即为， 所以， 又， 所以是等边三角形，可得，， 因为，所以平面， 又平面，所以， 在中，由勾股定理可得， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）； （2）由于，可得，又有， 所以； （3）由于，可得，又有， 所以. 由，可得， . 16．（15分）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）； (3)在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】(1)， (2)平均数为69.5，分位数为69.4； (3) 【详解】（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，解得； （2）由（1）知， 平均数为； 前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以中位数位于组内， 且，即分位数为69.4； （3）第四､五两组志愿者分别有20人，人， 故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为 第五组志愿者人数为1，设为， 这5人选出2人，所有情况有，共10种， 其中选出的2人来自同一组的有，共6种， 所以选出的2人来自同一组的概率为. 17．（15分）如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，，，，分别，的中点. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）因为是等边三角形，点是的中点，， 所以，且， 点分别是的中点，所以， 中，，且，， 所以，， 所以，即， 且，且平面， 所以平面，平面, 所以平面平面； （2）中，，，，， 所以， 过点作， 因为平面平面，且平面平面； 所以平面， 作，连结， 因为平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面， 所以， 则为二面角的平面角， 中，， 中，， 所以，， 所以二面角的余弦值为. 18．（17分）记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线． (1)求； (2)求； (3)若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 化简得：，， （2）在中，由余弦定理得： ，（负根舍去）， 由正弦定理得：，解得：， 或(舍去) （3）连接，则为线段的垂直平分线 ，设，则， 设，在中，由正弦定理得：， ，最大时即为的补角， 而，所以， ，， 长度最小值. 19．（17分）已知，对任意都有， (1)求的值： (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. (3)已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）对任意都有，则函数的图象关于直线对称， 所以，而，则，所以. （2），当时，设， 在为增函数，在为减函数， 所以方程有唯一实根， 等价于与的图象有一个交点， 由图象可知或， 所以或， 所以的范围是.    （3）由（1）知，，则， ，， 当时，，，令， 显然， 不等式， 依题意，，不等式恒成立， 显然， ，当且仅当，即时取等号， 则，所以实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$