专题1.2 充要条件（考点精讲）-【中职专用】2025年技能高考数学一轮复习讲练测（湖北专用）

专题1.2 充要条件 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：真假命题的判定 3 考点二：充要条件的判定 4 考点三：根据条件求参数范围 5 【考纲要求】 1. 理解命题的定义，会判断真假命题. 2. 掌握充分条件与必要条件的判定. 3. 会根据充分必要条件求参数. 【考向预测】 1.判断充分必要条件 2.利用充分必要条件求参数 【知识导图】 【知识清单】 1. 命题 （1） 命题的定义 在数学中，把用语言、符号、或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫做命题。 （2） 真命题，假命题 判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题 （3） 命题的一般形式 通常用“若，则”的形式来表达，其中称为命题的条件，称为命题的结论。 2. 充分条件与必要条件 对于若则类型中， 为条件，为结论 若充分性成立，若必要性成立 若，，则是的充要条件 若，，则是的充分不必要条件 若，，则是的必要不充分条件 若，，则是的既不充分也不必要条件 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的充分不必要条件 若，即，，是的必要不充分条件 若，即，，是的充要条件 【考点分类剖析】 考点一：真假命题的判定 例1．已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【变式探究】下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 例2．下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 【变式探究】下列命题是真命题的是（    ） A．四边相等的四边形一定是平面图形 B．空间一个点与一条直线可以确定一个平面 C．一个平面的面积可以为 D．相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面 考点二：充要条件的判定 例1．“”是“” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】“”是“是质数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知，那么命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 例4．荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】设有甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点三：根据条件求参数范围 例1．已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知p：，q：，且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为（    ） A．（3，5） B． C． D． 例3．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式探究】关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 例4．已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【变式探究】设集合，集合． (1)若，求，； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 充要条件 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：真假命题的判定 3 考点二：充要条件的判定 5 考点三：根据条件求参数范围 8 【考纲要求】 1. 理解命题的定义，会判断真假命题. 2. 掌握充分条件与必要条件的判定. 3. 会根据充分必要条件求参数. 【考向预测】 1.判断充分必要条件 2.利用充分必要条件求参数 【知识导图】 【知识清单】 1. 命题 （1） 命题的定义 在数学中，把用语言、符号、或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫做命题。 （2） 真命题，假命题 判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题 （3） 命题的一般形式 通常用“若，则”的形式来表达，其中称为命题的条件，称为命题的结论。 2. 充分条件与必要条件 对于若则类型中， 为条件，为结论 若充分性成立，若必要性成立 若，，则是的充要条件 若，，则是的充分不必要条件 若，，则是的必要不充分条件 若，，则是的既不充分也不必要条件 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的充分不必要条件 若，即，，是的必要不充分条件 若，即，，是的充要条件 【考点分类剖析】 考点一：真假命题的判定 例1．已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【分析】根据命题的真假即可判定. 【详解】p为假，q为真, 故选：B 【变式探究】下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【答案】B 【分析】根据或且命题真假性的性质即可求解. 【详解】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B 例2．下列语句为真命题的是（　　） A． B．四条边都相等的四边形为矩形 C． D．今天是星期天 【答案】C 【分析】先根据命题的定义判断是否是命题，然后再判断真假即可 【详解】对于A，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以A错误， 对于B，此语句是命题，而在平面内四条边都相等的四边形是菱形，所以B错误， 对于C，是命题，且是真命题，所以C正确， 对于D，因为此语句不能判断真假，所以不是命题，所以D错误， 故选：C 【变式探究】下列命题是真命题的是（    ） A．四边相等的四边形一定是平面图形 B．空间一个点与一条直线可以确定一个平面 C．一个平面的面积可以为 D．相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面 【答案】D 【分析】利用平面图形的定义以及公理2的推论可判断ABC三个选项，由两条相交直线确定一个平面，分析四条直线相交的情况，可求出最多可以确定平面的个数. 【详解】四边相等的四边形可以为平面图形，也可以为空间四边形，故A为假命题； 空间一条直线与直线外一点可以确定一个平面，故B为假命题； 平面是无限延展的，所以平面不计算面积，故C为假命题； 相交于同一点的四条直线，当任三条直线不共面时，可以确定6个平面，故D为真命题． 故选：D． 考点二：充要条件的判定 例1．“”是“” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件概念直接判断即可. 【详解】将代入中，得， 所以“”是“”的充分条件； 由，得，即或， ∴“”不是“”的必要条件， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 【变式探究】“”是“是质数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用质数的定义，结合充分必要条件的定义即可得解. 【详解】因为，所以481不是质数， 故“”是“是质数”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 例2．“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系即可判断. 【详解】因为， 所以是的充分而不必要条件. 故选：A. 【变式探究】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可. 【详解】由，可得， 则是的必要不充分条件. 故选：B 例3．使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义求解作答. 【详解】设，解得， 使“”成立的充分不必要条件只需要为集合的真子集，由选项可知A符合. 故选：A. 【变式探究】已知，那么命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据必要条件的定义对每个选择进行分析即可求解． 【详解】， 根据充分条件、必要条件的定义可知： 对于A，是的充要条件,A错误； 对于B，是的必要不充分条件，B正确； 对于C，是的充分不必要条件，C错误； 对于D，是的既不充分也不必要条件，D错误． 故选:B． 例4．荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的定义求解. 【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的的充分不必要条件. 故选:A. 【变式探究】设有甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由甲是乙的必要条件，知乙能推出甲。由丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件,知丙能推出乙，乙不能推出丙，由此能导出丙是甲的充分不必要条件。 【详解】∵甲是乙的必要条件， ∴乙能推出甲. ∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件， ∴丙能推出乙，乙不能推出丙， 所以丙能推出甲，甲不能推出丙， 所以丙是甲的充分不必要条件。（如下图） 故选A.    考点三：根据条件求参数范围 例1．已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，依题意可得，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为或，， 令，， 因为是的充分不必要条件，所以， 所以. 故选：D 【变式探究】集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意是的子集，从而求解. 【详解】， 因为的充分条件是，所以， 则， 故选：B. 例2．若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的性质进行求解即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以集合是集合的子集， 故有， 故选：B 【变式探究】已知p：，q：，且q是p的必要条件，则实数m的取值范围为（    ） A．（3，5） B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】因为q是P的必要条件，所以， 解得，所以实数m的取值范围为. 故选：B 例3．已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 【变式探究】关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 例4．已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求得集合，，由交集运算即可得出结果. （2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 所以； （2）由题知，集合A是集合B的真子集， 当时，，即，符合题意， 当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为． 【变式探究】设集合，集合． (1)若，求，； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集和并集的定义即可得解； （2）由题意可得是的真子集，再根据集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，； （2）因为是成立的必要不充分条件，所以是的真子集， 又，故不为空集， 故（等号不同时成立），得， 所以实数的取值范围． 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$