21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【一课通】2024-2025学年九年级上册数学随堂小练习(人教版)

　２１．２．４　一元二次方程的根与系数的关系 【边学边练】 知识点一　一元二次方程的根与系数的关系 １．若方程２ｘ２＋６ｘ－１＝０的两根为ｘ１和ｘ２，则ｘ１＋ｘ２等于 （　　） Ａ．６ Ｂ．－６ Ｃ．３ Ｄ．－３ ２．已知实数ｘ１，ｘ２满足ｘ１＋ｘ２＝３，ｘ１ｘ２＝－４，则以ｘ１，ｘ２为根的一元二次方程是 （　　） Ａ．ｘ２－３ｘ－４＝０ Ｂ．ｘ２－３ｘ＋４＝０ Ｃ．ｘ２＋３ｘ－４＝０ Ｄ．ｘ２＋３ｘ＋４＝０ ３．若一元二次方程５ｘ－１＝４ｘ２的两根为ｘ１和ｘ２，则ｘ１ｘ２的值等于　　　　． 知识点二　一元二次方程的根与系数的关系的应用 ４．关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋ｐｘ＋４＝０的一个解为ｘ１＝２，则另一个解ｘ２为 （　　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．－２ Ｄ．２ ５．设ｘ１，ｘ２是方程ｘ ２－３ｘ－３＝０的两个实数根，则ｘ２１ｘ２＋ｘ１ｘ ２ ２的值为 （　　） Ａ．９ Ｂ．－９ Ｃ．１ Ｄ．－１ 【随堂小测】 １．已知ｘ１，ｘ２是一元二次方程ｘ ２＋２ｘ－ｋ－１＝０的两根，且ｘ１ｘ２＝－３，则ｋ的值为 （　　） Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．（核心素养·运算能力）设ａ，ｂ是方程ｘ２＋ｘ－２０２４＝０的两个实数根，则ａ２＋２ａ＋ｂ的 值是 （　　） Ａ．２０２２ Ｂ．２０２３ Ｃ．－１ Ｄ．－２ ３．若关于ｘ的一元二次方程ｘ２－（ｍ２－ｍ－６）ｘ＋ｍ＝０的两个根互为相反数，则ｍ的值为 （　　） Ａ．３或－２ Ｂ．－２ Ｃ．３ Ｄ．２或－３ １１ ４．已知ｘ１，ｘ２是一元二次方程ｘ ２－２ｘ＋ｍ＋１＝０的两个实数根，如果ｘ１，ｘ２满足不等式１＋ ３ｘ１ｘ２＞ｘ ２ １＋ｘ ２ ２，则ｍ的取值范围为　　　　． ５．已知菱形的两条对角线分别是一元二次方程ｘ２＋ｍｘ＋２４＝０的两个实数根，则该菱形 的面积是　　　　． ６．（必考题）已知实数 ａ，ｂ满足 ａ２－６ａ＋４＝０，ｂ２－６ｂ＋４＝０，且 ａ≠ｂ，则 ｂ ａ ＋ａ ｂ 的值 是　　　　．　 ７．已知关于ｘ的一元二次方程（ｘ－３）（ｘ－２）＝ｐ（ｐ＋１）． （１）试证明：无论ｐ取何值此方程总有两个实数根； （２）若原方程的两根ｘ１，ｘ２满足ｘ ２ １＋ｘ ２ ２－ｘ１ｘ２＝３ｐ ２＋１，求ｐ的值． ８．已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２－（２ｋ＋１）ｘ＋４ｋ－３＝０． （１）求证：无论ｋ取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （２）当矩形ＡＢＣＤ的对角线长为ＡＣ＝槡３１，且矩形的两边ＡＢ和ＢＣ的长恰好是这个 方程的两个根时，求矩形ＡＢＣＤ的周长． ２１ 即(x-5)(x+3)=0. 解得x,=5,x2=-3. ·菱形的面积=2b=12, (2)移项，得x2-2x=2 6.7【解析】：a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠ 配方，得x2-2x+1=3,即(x-1)2=3. b,∴.a,b是一元二次方程x2-6x+4=0的两个不 解得x-1=±3， 相等的实数根.∴.a+b=6,ab=4. 即x1=1+√3，x2=1-√3 b a (a+b)2-2ab =7 a b ab “21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 7.(1)证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0 【边学边练】 :4=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+42+4p=4p°+ 1.D2.A 4p+1=(2p+1)2≥0. 【解析】方程化为4x2-5x+1=0,根据题意 ∴.无论p取何值此方程总有两个实数根 (2)解：原方程的两根为x1,x2, 得xx=4 .x1+x2=5,x1x3=6-p-p 4.D5.B 又，x+x3-x1x2=3p2+1, 【随堂小测】 .(x1+x2)2-3x12=3p2+1. 1.B .52-3(6-p2-p)=3p2+1. 2.B【解析】.a是方程x2+x-2024=0的实数 ∴.25-18+3p2+3p=3p2+1. 根，.a2+a-2024=0..a2=-a+2024.a2+ ∴.3p=-6. 2a+b=-a+2024+2a+b=2024+a+h..a,b是 ∴p=-2 方程x2+x-2024=0的两个实数根，∴.a+b=8.(1)证明：△=(2k+1)2-4(4h-3)=42+4k+1- -1.∴.a2+2a+b=2024-1=2023.故选B. 16k+12=42-12k+13=(2k-3)2+4. 3.B【解析】方程x2-(m2-m-6)x+m=0的 .(2k-3)2≥0，.△>0. 两个根互为相反数，∴.m2-m-6=0,解得m1= ∴.无论片取什么实数值，该方程总有两个不相 3,m2=-2.当m=3时，方程化为x2+3=0,方程！ 等的实数根。 没有实数解：当m=-2时，方程化为x2-2=0, (2)解：根据题意，得AB+BC=2k+1,AB·BC 方程有实数解.所以m的值为-2.故选B. =4k-3,,AB2+BC2=AC2=(√31)2， 4、2 <m≤0【解析】根据题意，得，+x,=2, .(2k+1)2-2(4k-3)=31. 整理，得2-k-6=0,解得k,=3,k=-2. xx2=m+1,1+3x1x2>x+x,.1+3x1x2>(x,+ AB+BC=2h+1>0,AB·BC=4h-3>0, x)2-2x1x2,即1+5x12>(x1+x2)2.1+5m+5> ∴.k的值为3.∴.AB+BC=7. 4,解得m>-2 “4=(-2)2-4x(m+1)≥0， ∴.矩形ABCD的周长为14. 小专题1一元二次方程根的判别式 m≤05<m≤0. 1.B【解析】A.:4=(-2)2-4×1×1=0, 5.12【解析】设菱形的两条对角线分别是a,b, ∴，方程有两个相等的实数根，不合题意：B ?菱形的两条对角线分别是一元二次方程x ,△=2-4×1×0=4>0，.方程有两个不相等 +mx+24=0的两个实数根，∴.ab=24. 的实数根，符合题意；C.,4=(-2)2-4×1×2= 112