第三讲 角的度量（单元讲义）-2024-2025学年四年级上册数学举一反三变式拓展（人教版）学生版+教师版

2024-2025学年四年级上册数学举一反三变式拓展（人教版） 第三讲 角的度量 （导图+知识精讲+高频易错点+八大考点讲练+难度分层练） 1.知识与技能：通过对角的度量这个单元内容的复习和整理，进一步澄清平时学习中“角的度量”知识的模糊认识，使学生深刻理解、掌握各部分知识以及之间的联系。 2.过程与方法：引导学生经历系统整理知识的过程，学会一些简单整理与复习的方法，培养学生主动整理和复习的意识，在小组整理中学会合作与分工，在总结过程中培养学生胆量和语言表达能力。 3.情感态度与价值观：在学习的过程中，将所学的知识融会贯通，灵活运用，感受数学的乐趣。 【教学重点】通过对角的度量这个单元内容的复习和整理，进一步澄清平时学习中“角的度量”知识的模糊认识，使学生深刻理解、掌握各部分知识以及之间的联系。 【教学难点】学会一些简单整理与复习的方法，培养学生主动整理和复习的意识。 知识梳理精讲 2 高频易错点拨 4 考点一：角的概念和表示 5 考点二：角的分类（锐角直角钝角） 6 考点三：角的画法 7 考点四：角的度量 8 考点五：画指定度数的角 9 考点六：用三角尺画30°，45°，60°，90°角 10 考点七：线段与角的综合 11 考点八：钟面上的角 12 中等题真题训练 12 拔高题真题训练 15 知识梳理精讲 知识点01：基本概念 直线： 定义：向两端无限延伸的线，直线没有端点。 特性：直线无法量出长短，因为它可以无限延伸。 射线： 定义：能向一个方向无限延伸的线，射线有一个端点。 特性：射线也无法量出长短，但有一个固定的起点。 线段： 定义：不能延伸的线，线段有两个端点。 特性：线段可以量出长度，因为它有两个固定的端点。 角： 定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 特性：角有一个顶点，两条边。角通常用符号“∠”来表示。 知识点02：角的度量 计量单位： 角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。 将半圆（或圆）平均分成180（或360）等份，每一份所对的角的大小就是1度。 度量工具： 量角器是度量角的工具。 度量方法： 两重合：把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。 一对应：角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。注意分清内外圈刻度，0刻度在外圈就看外圈的刻度，0刻度在内圈就看内圈的刻度。 知识点03：角的分类 锐角：小于90°的角。 直角：等于90°的角。 钝角：大于90°且小于180°的角。 平角：等于180°的角，也等于2个直角。 周角：等于360°的角，也等于2个平角或4个直角。 知识点04：角的性质 角的大小与边的长短无关：角的大小只与两条边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大。 放大镜不能放大角：放大镜可以改变物体的大小，但不能改变角的大小。 知识点05：角的画法 画角的基本步骤： 定线：先画一条射线作为角的一条边。 定点：使用量角器，将量角器的中心与射线的端点重合，0°刻度线与射线重合。 连线：根据所需的度数，在量角器上找到对应的刻度点，然后连接射线的端点和该刻度点，形成角的另一条边。 标注：标上角的符号和度数。 高频易错点拨 易错知识点01：基本概念的理解 直线、射线和线段的混淆： 易错点：学生可能认为直线和射线有长度，或者线段可以无限延伸。 解析：直线是向两端无限延伸的，没有端点，因此无法度量其长度；射线是有一个端点，可以向一端无限延伸，同样无法度量其长度；线段有两个端点，且长度固定，可以度量其长度。 角的定义和表示： 易错点：学生可能不清楚角是由具有公共端点的两条射线组成的，或者忘记用符号“∠”来表示角。 解析：角是由一个顶点和两条从顶点出发的射线组成的，通常用符号“∠”来表示，并标注度数。 易错知识点02：角的度量 量角器的使用： 易错点：学生在使用量角器时，可能不注意“两重合”的原则，即量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。此外，还可能混淆内外圈刻度。 解析：在使用量角器时，必须确保“两重合”，并根据0°刻度线的位置选择内圈或外圈的刻度进行读数。 角的大小与边的长短无关： 易错点：学生可能认为角的大小与边的长短有关，即边越长角越大。 解析：角的大小实际上与两条边叉开的大小有关，与边的长短无关。叉开得越大，角越大。 易错知识点03：角的分类 角的分类混淆： 易错点：学生可能将大于90°的角都误认为是钝角，或者不清楚平角和周角的定义。 解析：锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°且小于180°的角。平角是等于180°的角，周角是等于360°的角。学生需要明确这些定义，并能准确判断角的类型。 易错知识点04：角的性质 放大镜不能放大角： 易错点：学生可能认为放大镜可以放大角的大小。 解析：放大镜可以改变物体的大小，但无法改变角的大小。因为角的大小是由两条边叉开的大小决定的，与边的长短或粗细无关。 易错知识点05：角的画法 画角的步骤和标注： 易错点：学生在画角时可能忘记标注角的符号和度数，或者画出的角不符合要求。 解析：画角时，需要按照“定线、定点、连线、标注”的步骤进行。同时，要确保画出的角符合题目要求的角度，并标注好角的符号和度数。 考点一：角的概念和表示 【精讲题】（2024•延庆区）如图是拉筋斜踏板，要使坡度变大，就需要让变大，下面说法正确得是　　 A．增加的长度。 B．增加的长度。 C．将点移到点，和开口变大。 D．将点移到点，和开口变大。 【精练题1】（2023秋•沛县期末）大龙湖草坪进行放风筝比赛，规定用40米长的线，如果把每根风筝线的一端固定在地面上，风筝线与地面形成的夹角如图，风筝放的最高的是　　 A． B． C． 3．（2024春•大同期末）如图图形各有几个角？ 　 　个 　　个 　　个 【精练题2】（2023秋•湘西州期末）观察下图，按要求填一填，画一画。 （1）朝阳路和人民路的夹角是 　60　度，它是一个 　　角。 （2）从实验小学到人民路，铺一条与朝阳路平行的排水管道，请在图中画出来。 （3）从实验小学到朝阳路，修一条最近的公路，请在图中画出来。说说你这样画的想法。 考点二：角的分类（锐角直角钝角） 【精讲题】（2023秋•巨鹿县期末）3时整，时针和分针组成的较小的角是直角，再过2小时，时针和分针组成的较小的角是　　 A．平角 B．锐角 C．钝角 【精练题1】（2024春•大同期末）分一分，填序号。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 锐角：　 　，直角：　　，钝角：　　。 【精练题2】（2023秋•密云区期末）如图中的角是 　 度。请你在下面画出一个角，这个角的度数与如图角的度数合起来是平角。 【精练题3】（2023秋•淅川县期中）填一填。 （1）　 　个锐角 　　个直角　　个钝角。 （2）　　条线段 　　条射线 　　条直线。 考点三：角的画法 【精讲题】（2020秋•拱墅区期末）用一副三角尺拼组后不能画出的钝角度数是　　 A． B． C． D． 【精练题1】（2022秋•汉南区期末）明明用一副三角板拼出了几个钝角，想一想：他是怎么拼的？然后在下边的量角器上画出其中一个钝角。 【精练题2】（2021秋•舞钢市期末）（1）以点为顶点，用你自己喜欢的方法以为角的一条边，画一个的角。 （2）经过点画出边的平行线和垂线。 （3）量一量，点到边的距离是 　 　厘米。（取整厘米） 【精练题3】（2022秋•临泉县期中）连一连。 考点四：角的度量 【精讲题】（2023秋•郑州期末）明明用这个破损的量角器量出了下面这个角的度数，如图中这个角的度数是　　 A． B． C． D． 【精练题1】（2023秋•玄武区期末）如图是某街区的示意图。 （1）用量角器量出　 　。 （2）解放路在胜利小学的西北面，与和平路平行，并且在图上量得胜利小学与解放路的距离是1厘米。在图上利用一条直线表示解放路。 （3）胜利小区铺设天然气管道，主管道在华山路，怎么铺最节省材料？ 把它画出来。 【精练题2】（2023秋•东城区期末）滑梯是小朋友喜欢的游乐项目之一。请你先阅读如表资料，再当个小小设计师，为幼儿园的小朋友设计一款安全又好玩的滑梯。请在如图方框中画出攀登梯架和滑道的示意图，并标出角度。 【资料】滑梯要根据儿童的年龄和体型来设计，才能有益于他们的健康成长。一般在为幼儿园小朋友设计时，滑梯攀登梯架倾角为左右，双侧设扶手栏杆。滑道倾角，两侧还有围板保护安全。（倾角：指攀登梯架或滑道与地面的夹角） 【精练题3】（2023秋•鼓楼区期末）写出下面角的度数。 考点五：画指定度数的角 【精讲题】（2023秋•忠县期末）在如图中以点为顶点画一个的角，以点为顶点画一个的角，组成一个三角形，量出这个三角形的第三个角为 　 　度。 【精练题1】（2024春•莱阳市期末）以为顶点画出一个的角，以为项点画一个的角，形成一个三角形，用量角器量出三角形另外一个角的度数，并标注。 【精练题2】（2023秋•峄城区期末）操作。 （1）过点画射线的垂线。 （2）以点为顶点，以射线为一条边，画一个的角并标上角的度数。 【精练题3】（2023秋•沛县期末）（1）以为顶点，已知射线为一条边，在它的下面画一个的角。 （2）过点分别向角的两边画垂线。 （3）围成的四边形中有1个是钝角，这个钝角的度数是 。 考点六：用三角尺画30°，45°，60°，90°角 【精讲题】（2023秋•渭滨区期末）用一副三角尺不能画出　　的角。 A． B． C． D． 【精练题1】（2023秋•平桥区期末）如图的三幅图都是由一副三角尺拼成的，、、各是多少度？ 　　；　　；　　。 【精练题2】（2023秋•解放区校级月考）小刚在做作业时要画一个15度的角，他没有量角器，只有一副三角板．怎样利用这副三角板画15度的角？你有哪些方法？ 【精练题3】（2017秋•新晃县期末）不用量角器，用一副三角尺分别画出、、的角．（在图中注明是由哪几个度数的角拼成的） 考点七：线段与角的综合 【精讲题】（2023秋•临漳县期末）如图中，，下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 26．（2024春•海城区期末）如图，，　 　，　　，　　。 【精练题1】（2023秋•丰南区期末）如图中，已知，是直角，则　　，按照这样的方法推理计算　　，　　。 【精练题2】（2024春•唐河县期末）求图形中未知角的度数。 考点八：钟面上的角 【精讲题】（2024春•贵阳期末）钟面上的时针从9起走到12，经过的部分是一个圆心角　　的扇形。 A． B． C． 【精练题1】（2024春•海城区期末）钟面上时针从3时按顺时针方向旋转到 　 　时。体育课上，老师喊口令“立正，向左转”时，学生应按 　　时针方向旋转 　　。 【精练题2】（2023秋•沈北新区期末）钟面上9时整，时整和分针成 　 　角；8时整，时针和分针较小的夹角是 　　角。 【精练题3】（2023秋•渌口区期末）小明写作业时，钟面上的时间如图。这时分针和时针形成的角是 　钝　角；一小时后，分针与时针形成的角是 　　角。 中等题真题训练 1．（2024四上·天台期末）下面各选项的角，不能用一副三角尺拼出的是（　　）。 A．15° B．20° C．135° D．150° 2．（2024四上·惠来期末）将一张圆形纸对折三次，得到的角是（　　）。 A．45° B．60° C．90° 3．（2024四上·沐川期末）已知∠1＝25°，∠3＝（　　）。 A．25° B．65° C．155° D．165° 4．（2024四上·金东期末）钟面上3时整，时针和分针形成的角是　 　角，再过3时，时针和分针形成的角是　 　角。 5．（2024四上·平湖期末）下图中角的度数是　 　°。 6．（2024四上·乐清期末）将一张长10厘米，宽5厘米的长方形纸如下图进行翻折，梯形ABCD的高是　 　厘米：如果∠1=44°，那么∠2=　 　°。 7．（2024四上·路桥期末）左下图是由一副三角尺拼成，问：∠1=　 　°，∠2=　 　° 8．（2023四上·期末）已知∠1＝25°，求∠2和∠3的度数。 9．（2024四上·天台期末）根据A、B、C三个点，按要求画图。 （1）画出射线AB； （2）过点C，作射线AB的垂线； （3）以A为顶点，射线AB为一条边，画一个的角。 10．（2024四上·玉环期末）如图所示，点P、A、B、C都在方格的交点上。 （1）量一量，　 　度。 （2）过点P作线段AB的垂线。 （3）请在图中找一个点D，并连接AD和CD构成等腰梯形ABCD。 （4）在这个等腰梯形中画一条线段，将它分成一个平行四边形与一个三角形。 11． （2023四上·巴州月考）一个三角形有一个钝角和两个锐角，已知钝角是105°，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，这两个锐角分别是多少度？ 12． 12．下面是一张长方形折起来以后的图形，已知∠1=30°，求∠2的度数。 拔高题真题训练 13．（2023四上·丰台期末）下午3时至4 时之间，钟面上时针和分针的夹角出现了1次直角，大约在3时（　　）之间。 A．1分至15分 B．16分至30分 C．31分至45分 D．46分至59分 14．（2020四上·新疆期末）将一张圆形纸对折三次，得到的角是（　　）度。 A．30 B．45 C．60 15．（2020四上·盐城期末）将一张圆形纸对折三次后，得到的角的度数是（ ）。 A．120° B．60° C．45° D．30° 16．（2023四上·杭州）三个正方形的摆放如图。已知∠AOE=40°，∠FOD=25°。∠AOB=　 　°，∠BOC=　 　° 17．（2023四上·巴州月考）用量角器量角时，角的一条边没与内圈的0°刻度线对齐，而是与内圈的10°刻度线对齐，然后读内圈刻度读出的度数为80°，这个角的度数是　 　°。 18．（2020四上·沽源期末）量一量，画一画。 （1）上图中∠1=　 　。 （2）以O为顶点，射线OA为一条边，画∠2度数是125°。 （3）过B点分别画OA的平行线和垂线。 19． （2023四上·五华月考）从甲市到乙市的铁路沿线上共有8个站点（包括起点站和终点站），铁路局要准备多少种不同的车票才能满足所有乘客的需求？ 20． （2021四上·达川月考）A、B两地相距180千米，一辆汽车从A地开往B地，每时行驶90千米。现在是上午8：20，这辆汽车何时能到达B地？在此过程中时针和分针分别走了多少度？ 21．丁俊晖是亚洲首位登上世界第一的台球运动员，并于2017年12月19日获得央视2017年体坛风云人物年度非奥项目最佳运动员奖（提名）。下面两幅图是台球撞击球桌边框时的运动路线，让我们由此来一起探索台球运动中的秘密吧！ （1）测量：∠1=　 　°，∠2=　 　°，∠3=　 　°，∠4=　 　°。 （2）发现：∠1　 　∠2，∠3　 　∠4。 （3）运用：根据上面的发现补全下面台球的运动路线。 22．（2019四上·景县期中）下图是一张长方形纸折起来以后的图形，其中∠1=60°，你知道∠2等于多少度吗？ 23．（2019四上·余杭期末）如图中，一个长方形和一个正方形部分重叠。 （1）请比较∠1和∠2的大小：∠1　 　∠2（填“>”“<”或“=”）。 （2）如果∠1+∠2+∠3=122°，那么∠3=　 　度。 24．（2020四上·京山期末）石家庄正定机场的位置示意图如下，如果从飞机场修建两条公路，请你设计一下，在图中画出来。 （1）从正定机场到107国道，修一条与338国道平行的公路。 （2）从正定机场到338国道，修一条最近的公路，这条公路与338国道图上的距离是　 　厘米。（保留一位小数） （3）测量107国道和338国道的夹角是　 　度。（取整数） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年四年级上册数学举一反三变式拓展（人教版） 第三讲 角的度量 （导图+知识精讲+高频易错点+八大考点讲练+难度分层练） 1.知识与技能：通过对角的度量这个单元内容的复习和整理，进一步澄清平时学习中“角的度量”知识的模糊认识，使学生深刻理解、掌握各部分知识以及之间的联系。 2.过程与方法：引导学生经历系统整理知识的过程，学会一些简单整理与复习的方法，培养学生主动整理和复习的意识，在小组整理中学会合作与分工，在总结过程中培养学生胆量和语言表达能力。 3.情感态度与价值观：在学习的过程中，将所学的知识融会贯通，灵活运用，感受数学的乐趣。 【教学重点】通过对角的度量这个单元内容的复习和整理，进一步澄清平时学习中“角的度量”知识的模糊认识，使学生深刻理解、掌握各部分知识以及之间的联系。 【教学难点】学会一些简单整理与复习的方法，培养学生主动整理和复习的意识。 知识梳理精讲 2 高频易错点拨 4 考点一：角的概念和表示 5 考点二：角的分类（锐角直角钝角） 7 考点三：角的画法 9 考点四：角的度量 11 考点五：画指定度数的角 15 考点六：用三角尺画30°，45°，60°，90°角 17 考点七：线段与角的综合 19 考点八：钟面上的角 21 中等题真题训练 23 拔高题真题训练 29 知识梳理精讲 知识点01：基本概念 直线： 定义：向两端无限延伸的线，直线没有端点。 特性：直线无法量出长短，因为它可以无限延伸。 射线： 定义：能向一个方向无限延伸的线，射线有一个端点。 特性：射线也无法量出长短，但有一个固定的起点。 线段： 定义：不能延伸的线，线段有两个端点。 特性：线段可以量出长度，因为它有两个固定的端点。 角： 定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。 特性：角有一个顶点，两条边。角通常用符号“∠”来表示。 知识点02：角的度量 计量单位： 角的计量单位是“度”，用符号“°”表示。 将半圆（或圆）平均分成180（或360）等份，每一份所对的角的大小就是1度。 度量工具： 量角器是度量角的工具。 度量方法： 两重合：把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。 一对应：角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。注意分清内外圈刻度，0刻度在外圈就看外圈的刻度，0刻度在内圈就看内圈的刻度。 知识点03：角的分类 锐角：小于90°的角。 直角：等于90°的角。 钝角：大于90°且小于180°的角。 平角：等于180°的角，也等于2个直角。 周角：等于360°的角，也等于2个平角或4个直角。 知识点04：角的性质 角的大小与边的长短无关：角的大小只与两条边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大。 放大镜不能放大角：放大镜可以改变物体的大小，但不能改变角的大小。 知识点05：角的画法 画角的基本步骤： 定线：先画一条射线作为角的一条边。 定点：使用量角器，将量角器的中心与射线的端点重合，0°刻度线与射线重合。 连线：根据所需的度数，在量角器上找到对应的刻度点，然后连接射线的端点和该刻度点，形成角的另一条边。 标注：标上角的符号和度数。 高频易错点拨 易错知识点01：基本概念的理解 直线、射线和线段的混淆： 易错点：学生可能认为直线和射线有长度，或者线段可以无限延伸。 解析：直线是向两端无限延伸的，没有端点，因此无法度量其长度；射线是有一个端点，可以向一端无限延伸，同样无法度量其长度；线段有两个端点，且长度固定，可以度量其长度。 角的定义和表示： 易错点：学生可能不清楚角是由具有公共端点的两条射线组成的，或者忘记用符号“∠”来表示角。 解析：角是由一个顶点和两条从顶点出发的射线组成的，通常用符号“∠”来表示，并标注度数。 易错知识点02：角的度量 量角器的使用： 易错点：学生在使用量角器时，可能不注意“两重合”的原则，即量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。此外，还可能混淆内外圈刻度。 解析：在使用量角器时，必须确保“两重合”，并根据0°刻度线的位置选择内圈或外圈的刻度进行读数。 角的大小与边的长短无关： 易错点：学生可能认为角的大小与边的长短有关，即边越长角越大。 解析：角的大小实际上与两条边叉开的大小有关，与边的长短无关。叉开得越大，角越大。 易错知识点03：角的分类 角的分类混淆： 易错点：学生可能将大于90°的角都误认为是钝角，或者不清楚平角和周角的定义。 解析：锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°且小于180°的角。平角是等于180°的角，周角是等于360°的角。学生需要明确这些定义，并能准确判断角的类型。 易错知识点04：角的性质 放大镜不能放大角： 易错点：学生可能认为放大镜可以放大角的大小。 解析：放大镜可以改变物体的大小，但无法改变角的大小。因为角的大小是由两条边叉开的大小决定的，与边的长短或粗细无关。 易错知识点05：角的画法 画角的步骤和标注： 易错点：学生在画角时可能忘记标注角的符号和度数，或者画出的角不符合要求。 解析：画角时，需要按照“定线、定点、连线、标注”的步骤进行。同时，要确保画出的角符合题目要求的角度，并标注好角的符号和度数。 考点一：角的概念和表示 【精讲题】（2024•延庆区）如图是拉筋斜踏板，要使坡度变大，就需要让变大，下面说法正确得是　　 A．增加的长度。 B．增加的长度。 C．将点移到点，和开口变大。 D．将点移到点，和开口变大。 【思路点拨】根据角的大小与边的长短无关，与角的两边的开口大小有关。 【规范解答】解：要让变大，将点移到点，和开口变大。 故选：。 【思路点拨】本题考查了影响角的大小的因素。 【精练题1】（2023秋•沛县期末）大龙湖草坪进行放风筝比赛，规定用40米长的线，如果把每根风筝线的一端固定在地面上，风筝线与地面形成的夹角如图，风筝放的最高的是　　 A． B． C． 【思路点拨】线的长度是固定的，都是40米，那么谁与地面的夹角接近90度，谁的高度就高，由此判断。 【规范解答】解：风筝放得最高的是。 故选：。 【思路点拨】此题考查了线段与角的综合的应用。 3．（2024春•大同期末）如图图形各有几个角？ 　1　个 　　个 　　个 【思路点拨】角是由一个顶点引出的两条射线所组成的图形；据此根据角的特征出即可。 【规范解答】解： 1个 6个 4个 故答案为：1；6；4。 【思路点拨】本题考查了角的特征及认识。 【精练题2】（2023秋•湘西州期末）观察下图，按要求填一填，画一画。 （1）朝阳路和人民路的夹角是 　60　度，它是一个 　　角。 （2）从实验小学到人民路，铺一条与朝阳路平行的排水管道，请在图中画出来。 （3）从实验小学到朝阳路，修一条最近的公路，请在图中画出来。说说你这样画的想法。 【思路点拨】（1）根据角的度量、角的分类知识，解答即可。 （2）根据平行线的画法，解答即可。 （3）根据点到直线之间垂线段最短，所以过实验小学到朝阳路画垂线段即可。 【规范解答】解：（1）朝阳路和人民路的夹角是60度，它是一个锐角。 （2）从实验小学到人民路，铺一条与朝阳路平行的排水管道，在图中画出来。如图： （3）从实验小学到朝阳路，修一条最近的公路，因为点到直线之间垂线段最短，所以过实验小学到朝阳路画垂线段即可。在图中画出来，如图。 故答案为：60，锐。 【思路点拨】本题考查了角的度量、角的分类、平行线和垂线知识，结合题意分析解答即可。 考点二：角的分类（锐角直角钝角） 【精讲题】（2023秋•巨鹿县期末）3时整，时针和分针组成的较小的角是直角，再过2小时，时针和分针组成的较小的角是　　 A．平角 B．锐角 C．钝角 【思路点拨】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，钟面上3时整，再过2个小时，就是5时，利用5乘即可。 【规范解答】解：（时 的角是钝角。 答：3时整，时针和分针组成的较小的角是直角，再过2小时，时针和分针组成的较小的角是钝角。 故选：。 【思路点拨】本题考查了钟面角的认识，解题的关键是明白两个大格之间的夹角是30度。 【精练题1】（2024春•大同期末）分一分，填序号。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 锐角：　②⑥　，直角：　　，钝角：　　。 【思路点拨】锐角小于90度，直角等于90度，钝角大于90度小于180度，据此解答。 【规范解答】解：锐角：②⑥，直角：①④，钝角：③⑤。 故答案为：②⑥；①④；③⑤。 【思路点拨】本题考查了锐角、直角及钝角的特征。 【精练题2】（2023秋•密云区期末）如图中的角是 　60　度。请你在下面画出一个角，这个角的度数与如图角的度数合起来是平角。 【思路点拨】看一下角的两边度数是多少，利用大度数减去小度数即可，平角等于180度，利用180度减去图中的角的度数即可求出所画角的度数；先画一条射线使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合；在量角器角刻度线的地方点一个点；以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个的角。 【规范解答】解： 因此图中的角是 60度。 如图： 故答案为：60。 【思路点拨】本题考查了角的度量方法及角画法。 【精练题3】（2023秋•淅川县期中）填一填。 （1）　4　个锐角 　　个直角　　个钝角。 （2）　　条线段 　　条射线 　　条直线。 【思路点拨】（1）锐角直角钝角，据此解答。 （2）只有端点相同且延伸方向相同的射线才是同一条射线，根据线段、射线、直线的定义解答。 【规范解答】解（1）4个锐角，2个直角，2个钝角。 （2）3条线段，6条射线，1条直线。 故答案为：（1）4，2，2。（2）3，6，1。 【思路点拨】本题考查角的分类、线段、射线、直线的定义。 考点三：角的画法 【精讲题】（2020秋•拱墅区期末）用一副三角尺拼组后不能画出的钝角度数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先明确一副三角板的六个角共有四个度数：，，，。然后进行加减运算，找到符合条件的角，据此即可解答。 【规范解答】解：、，能用一副三角尺拼画； 、不能用一副三角尺拼画； 、，能用一副三角尺拼画； 、，能用一副三角尺拼画。 故选：。 【思路点拨】本题考查了学生用一副三角尺拼成角度情况的掌握。 【精练题1】（2022秋•汉南区期末）明明用一副三角板拼出了几个钝角，想一想：他是怎么拼的？然后在下边的量角器上画出其中一个钝角。 【思路点拨】钝角大于90度小于180度，一副三角板的六个角共有四个度数，，，，，然后进行加法运算，找到符合条件的角。然后利用量角器画钝角即可。 【规范解答】解： 一共可以拼出4种钝角。 如图： （画法不唯一） 【思路点拨】本题考查了钝角的特征、三角板 的认识及量角器的使用。 【精练题2】（2021秋•舞钢市期末）（1）以点为顶点，用你自己喜欢的方法以为角的一条边，画一个的角。 （2）经过点画出边的平行线和垂线。 （3）量一量，点到边的距离是 　3　厘米。（取整厘米） 【思路点拨】（1），的角既可用量角器画，也可用三角板中角和角画。 （2）把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线紧靠的一边经过已知点时，沿这边画直线，这条直线就是经过点画出的边的平行线；把三角板的一直角边靠紧直线，沿直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过点画出的边的垂线。 （3）用刻度尺即可量出点到边的距离（点到垂足间的线段的长度）。 【规范解答】解：（1）以点为顶点，用你自己喜欢的方法以为角的一条边，画一个的角（如图）。 （2）经过点画出边的平行线（如图红线）和垂线（如图绿线）。 （3）点到边的距离是3厘米。 故答案为：3。 【思路点拨】此题考查的知识点：画角、过已知直线外一点作已知直线的平行线和垂线、点到直线的距离、线段的度量等。 【精练题3】（2022秋•临泉县期中）连一连。 【思路点拨】根据锐角、钝角、直角、平角的含义进行解答：锐角：大于小于的角；钝角：大于小于的角；直角：等于的角；平角：等于的角；周角是等于的角，据此解答即可。 【规范解答】解：解答如下： 【思路点拨】此题考查了角的分类知识，理解和掌握锐角、钝角、直角、平角、周角的含义，是解答此题的关键。 考点四：角的度量 【精讲题】（2023秋•郑州期末）明明用这个破损的量角器量出了下面这个角的度数，如图中这个角的度数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】与这个角的两边重合的量角器上同一圈上的刻度之差，就是这个角的度数。结合角的分类知识解答即可。 【规范解答】解： 答：这个角的度数是。 故选：。 【思路点拨】通常用量角器量角时，把量角器的刻度线与角的一边重合，与另一边重合的度数，就是被量角的度数，如果角的两边都不与量角器的刻度重合，量角器同一圈上与角的两边重合的刻度之差，就是被量角的度数。总之量角器的正确、熟练使用是关键。 【精练题1】（2023秋•玄武区期末）如图是某街区的示意图。 （1）用量角器量出　40　。 （2）解放路在胜利小学的西北面，与和平路平行，并且在图上量得胜利小学与解放路的距离是1厘米。在图上利用一条直线表示解放路。 （3）胜利小区铺设天然气管道，主管道在华山路，怎么铺最节省材料？ 把它画出来。 【思路点拨】（1）根据角的度量方法，用量角器量出的度数即可。 （2）根据“上北下南左西右东”的图上方向，结合长度测量的方法以及平行线知识，解答即可。 （3）根据点到直线之间，垂线段最短，解答即可。 【规范解答】解：（1）用量角器量出。 （2）解放路在胜利小学的西北面，与和平路平行，并且在图上量得胜利小学与解放路的距离是1厘米。在图上利用一条直线表示解放路。如图： （3）胜利小区铺设天然气管道，主管道在华山路，想要最节省材料，把它画出来，如图： 故答案为：40。 【思路点拨】本题考查了角的度量、方向与位置、平行线的画法以及点到直线之间，垂线段最短知识，结合题意分析解答即可。 【精练题2】（2023秋•东城区期末）滑梯是小朋友喜欢的游乐项目之一。请你先阅读如表资料，再当个小小设计师，为幼儿园的小朋友设计一款安全又好玩的滑梯。请在如图方框中画出攀登梯架和滑道的示意图，并标出角度。 【资料】滑梯要根据儿童的年龄和体型来设计，才能有益于他们的健康成长。一般在为幼儿园小朋友设计时，滑梯攀登梯架倾角为左右，双侧设扶手栏杆。滑道倾角，两侧还有围板保护安全。（倾角：指攀登梯架或滑道与地面的夹角） 【思路点拨】根据角的画法，分别设计滑梯攀登梯架倾角为左右，双侧设扶手栏杆。滑道倾角，两侧还有围板保护安全。据此解答即可。 【规范解答】解：如图： （画法不唯一，合理即可。 【思路点拨】本题考查了角的画法知识，结合题意分析解答即可。 【精练题3】（2023秋•鼓楼区期末）写出下面角的度数。 【思路点拨】根据各图形中已知的角的度数，灵活求出各角的度数： 中把钟面看作周角，一共平均分成了12个大格，每个大格的度数为，所求的角有两个大格，用乘2即可； 中所求的角是由三角板上角和角组合而成，所以用加即可； 中所求的角由一个直角和直角的一半组成，所以用加上的商即可； 中所求的角和角组成直角，所以用减即可。 【规范解答】解：由分析可知： ； 所以，角的度数分别为：；；；。 故答案为：60；120；135；15。 【思路点拨】本题考查的是角的度量的应用。 考点五：画指定度数的角 【精讲题】（2023秋•忠县期末）在如图中以点为顶点画一个的角，以点为顶点画一个的角，组成一个三角形，量出这个三角形的第三个角为 　90　度。 【思路点拨】用量角器的圆点和顶点、分别重合，0刻度线和重合，在量角器和的刻度上点上点，过、两个点和刚作的点画射线，相交于点就组成了一个三角形。 【规范解答】解：（1）以为顶点画的角， （2）以为顶点画的角，与以为顶点画的角同侧， （3）两条射线的交点，就是三角形的顶点， （4）量出这个三角形的第三个角的度数是。 画图如下： 故答案为：90。 【思路点拨】本题考查了学生画角的能力。 【精练题1】（2024春•莱阳市期末）以为顶点画出一个的角，以为项点画一个的角，形成一个三角形，用量角器量出三角形另外一个角的度数，并标注。 【思路点拨】根据角的画法，量角器的中心和点重合，零刻度线和线段重合，在量角器角刻度线的地方点一个点，以点为端点，通过刚画的点，画一条射线即可作成一个的角； 同理，量角器的中心和点重合，零刻度线和线段重合，在线段的同一边，在量角器角刻度线的地方点一个点，以点为端点，通过刚画的点，画一条射线即可作成一个的角；两条射线相交于点，三角形就是要画的三角形，然后根据角的度量方法，用量角器量出三角形另外一个角的度数，并标注即可。 【规范解答】解：如图： 【思路点拨】本题考查了角的画法以及角的度量知识，结合题意分析解答即可。 【精练题2】（2023秋•峄城区期末）操作。 （1）过点画射线的垂线。 （2）以点为顶点，以射线为一条边，画一个的角并标上角的度数。 【思路点拨】（1）过直线外一点画垂线的方法：把三角尺的一条直角边与射线重合，让三角尺的另一条直角边通过点，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是射线的垂线。 （2）首先把量角器放在所画角的上面，使量角器的中心和射线的端点点重合，零刻度线和射线重合，在量角器的地方点一个点，然后以量角器的中心为端点，通过刚刚画的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是我们所要画的角。 【规范解答】解：（1）过点画射线的垂线。如图： （2）以点为顶点，以射线为一条边，画一个的角并标上角的度数。如图： 【思路点拨】本题考查了过直线外一点画垂线的方法以及角的画法，结合题意分析解答即可。 【精练题3】（2023秋•沛县期末）（1）以为顶点，已知射线为一条边，在它的下面画一个的角。 （2）过点分别向角的两边画垂线。 （3）围成的四边形中有1个是钝角，这个钝角的度数是 　105　。 【思路点拨】（1）用量角器的圆点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点，画射线即可。 （2）将三角板的一条直角边和角的一边重合，然后平移三角板，让其另一条直角边与点重合，过点和三角板的直角顶点作直线，就是这条边的垂线；同样的方法即可作出过点的角的另一条边的垂线。 （3）根据垂直的定义可知，围成的四边形中有2个直角，因为四边形的内角和是360度，所以另外两个角的度数之和是180度，已知一个角是75度，则另一个角就是105度，据此即可解答。 【规范解答】解：（1）（2）根据题干分析画图如下： （3）由分析知， 这个钝角的度数是。 故答案为：105。 【思路点拨】本题考查了画角、画垂线的方法及求四边形的内角。 考点六：用三角尺画30°，45°，60°，90°角 【精讲题】（2023秋•渭滨区期末）用一副三角尺不能画出　　的角。 A． B． C． D． 【思路点拨】一副三角尺中的各个角的度数分别是、、、。将它们进行组合，可得到的角有，，，，，。据此解答。 【规范解答】解：．，一副三角尺能画出的角。 ．一副三角尺不能画出的角。 ．，一副三角尺能画出的角。 ．，一副三角尺能画出的角。 故选：。 【思路点拨】本题考查了图形拼组知识，结合三角尺的认识解答即可。 【精练题1】（2023秋•平桥区期末）如图的三幅图都是由一副三角尺拼成的，、、各是多少度？ 　　；　　；　　。 【思路点拨】根据对角分类还有三角尺的认识，平角是，一个三角尺三个角的度数分别为：、、，另一个三角尺的度数分别为：、、，据此解答即可。 【规范解答】解： 故答案为：；；。 【思路点拨】本题首先要认识平角，其次要对三角尺的度数熟悉掌握。 【精练题2】（2023秋•解放区校级月考）小刚在做作业时要画一个15度的角，他没有量角器，只有一副三角板．怎样利用这副三角板画15度的角？你有哪些方法？ 【思路点拨】根据题干分析可得：①利用直角三角板中的的角即可作出；②用个三角板中60度角与另一个三角板中的45度角的顶点和一条边重和，两条另一条边形成的角，即即可作出． 【规范解答】解：画角如下： 【思路点拨】本题主要考查利用作图工具熟练作图． 【精练题3】（2017秋•新晃县期末）不用量角器，用一副三角尺分别画出、、的角．（在图中注明是由哪几个度数的角拼成的） 【思路点拨】因一副三角板中的各个角的度数分别是、、、，把它们进行组合可得到的角有，，，据此解答． 【规范解答】解：根据题干分析，可以画图如下： （1） （2） （3） ． 【思路点拨】此题主要考查的是角的画法即画角的步骤． 考点七：线段与角的综合 【精讲题】（2023秋•临漳县期末）如图中，，下列结论不正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】用直角的度数减去的度数，即可求出的度数； 根据平角的意义可知； 根据平角的意义可知，；可知。 根据平角的意义可知直角。所以是错误的。 【规范解答】解：根据平角的意义可知直角。所以是错误的。 所以结论不正确的是选项。 故选：。 【思路点拨】本题考查角度的计算，理解平角和直角的度数是解决本题的关键。 26．（2024春•海城区期末）如图，，　30　，　　，　　。 【思路点拨】根据三角形内角和定理及直角的意义做题即可。 【规范解答】解： 答：，，。 故答案为：30，60，60。 【思路点拨】本题主要考查三角形内角和定理的应用和直角的意义及应用。 【精练题1】（2023秋•丰南区期末）如图中，已知，是直角，则　　，按照这样的方法推理计算　　，　　。 【思路点拨】用平角的度数减去直角和的度数，即可求出的度数； 用平角的度数减去直角和的度数，即可求出的度数； 用平角的度数减去的度数，即可求出的度数。 【规范解答】解： 答：，，。 故答案为： 【思路点拨】本题考查角度的计算，理解平角和直角的度数是解决本题的关键。 【精练题2】（2024春•唐河县期末）求图形中未知角的度数。 【思路点拨】用三角形内角和减去两个已知角的度数，即可求出三角形中第三个角的度数，用平角的度数减去三角形中第三个角的度数，即可求出未知角的度数； 用四边形内角和减去三个已知角的度数，即可求出四边形中第四个角的度数，用平角的度数减去四边形中第四个角的度数，即可求出未知角的度数。 【规范解答】解： 【思路点拨】本题考查三角形和四边形角度的计算。理解三角形内角和以及四边形内角和度数是解决本题的关键。 考点八：钟面上的角 【精讲题】（2024春•贵阳期末）钟面上的时针从9起走到12，经过的部分是一个圆心角　　的扇形。 A． B． C． 【思路点拨】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆心角是，即每两个相邻数字间的夹角是，即指针从一个数字走到下一个数字时，绕中心轴旋转了。根据生活经验可知，时针从9起走到12，经过了3个大格，是，据此解答即可。 【规范解答】解： 答：钟面上的时针从9起走到12，经过的部分是一个圆心角的扇形。 故选：。 【思路点拨】此题考查了钟表的认识、圆的认识、扇形的认识以及旋转知识，结合分针从一个数字走到相邻的另一个数字绕中心旋转了，解答即可。 【精练题1】（2024春•海城区期末）钟面上时针从3时按顺时针方向旋转到 　6　时。体育课上，老师喊口令“立正，向左转”时，学生应按 　　时针方向旋转 　　。 【思路点拨】钟面上一个大格是，从3时按顺时针方向旋转，即为旋转3个大格，即为（时；根据生活经验解答“立正，向左转”的意义。 【规范解答】解：（个 （时 答：钟面上时针从3时按顺时针方向旋转到6时。体育课上，老师喊口令“立正，向左转”时，学生应按逆时针方向旋转。 故答案为：6；逆；90。 【思路点拨】本题考查钟面上角度的计算以及旋转的意义。 【精练题2】（2023秋•沈北新区期末）钟面上9时整，时整和分针成 　直　角；8时整，时针和分针较小的夹角是 　　角。 【思路点拨】钟面上一个大格是，9时，分针指向12，时针指向9，3个大格，根据角的分类，可知9时，时针和分针的夹角是直角； 8时整，分针指向12，时针指向8，大于3个大格，8时整，时针和分针所成的夹角是一个钝角角。 【规范解答】解：钟面上9时整，时整和分针成直角；8时整，时针和分针较小的夹角是钝角。 故答案为：直，钝。 【思路点拨】本题考查钟面上角的认识以及角的分类。 【精练题3】（2023秋•渌口区期末）小明写作业时，钟面上的时间如图。这时分针和时针形成的角是 　钝　角；一小时后，分针与时针形成的角是 　　角。 【思路点拨】时针指向5，分针指向12，钟面上显示的时间是5时整； 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，钟面上5时整时，时针和分针之间相差5个大格数，时针与分针形成的角是，大于小于的角，叫做钝角； 从5时整起经过1小时就是6时整，6时整时，时针指向6，分针指向12，时针和分针之间相差6个大格数，时针与分针形成的角是，等于的角叫做平角；据此解答。 【规范解答】解： 答：小明写作业时，钟面上的时间如图。这时分针和时针形成的角是钝角；一小时后，分针与时针形成的角是平角。 故答案为：钝；平。 【思路点拨】本题主要靠钟面上角的认识及角的分类及应用 中等题真题训练 1．（2024四上·天台期末）下面各选项的角，不能用一副三角尺拼出的是（　　）。 A．15° B．20° C．135° D．150° 【答案】B 【规范解答】解：A：用45°和30°能拼成15°； B：不能拼成20°； C：用90°和45°能拼成135°； D：用90°和60°能拼成150°。 故答案为：B。 【思路点拨】一副三角尺上有两个直角，另外的锐角是45°、30°、60°，用这些角可以拼成15°、75°、105°、135°、150°等的角。 2．（2024四上·惠来期末）将一张圆形纸对折三次，得到的角是（　　）。 A．45° B．60° C．90° 【答案】A 【规范解答】解：360°÷2÷2÷2 =180°÷2÷2 =90°÷2 =45° 故答案为：A。 【思路点拨】 周角=360°，对折一次后得到的角是360°÷2=180°，对折两次后得到的角是180°÷2=90°，对折三次后得到的角是90°÷2=45°。 3．（2024四上·沐川期末）已知∠1＝25°，∠3＝（　　）。 A．25° B．65° C．155° D．165° 【答案】C 【规范解答】解：∠3=180°-∠1=180°-25°=155° 故答案为：C。 【思路点拨】观察图可知，∠1和∠3组成一个平角，平角是180°，180°-∠1=∠3。 4．（2024四上·金东期末）钟面上3时整，时针和分针形成的角是　 　角，再过3时，时针和分针形成的角是　 　角。 【答案】直；平 【规范解答】解：3时整，时针与分针之间有3大格，夹角是：30°×3=90°，所以钟面上3时整，时针和分针形成的角是直角； 再过3时是6时整，时针与分针之间有6大格，夹角是：30°×6=180°，所以再过3时，时针和分针形成的角是平角； 故答案为：直；平。 【思路点拨】3时整，分针指向12，时针指向3，时针与分针之间有3大格，钟面上每个大格是30°，因此，3时整，时针和分针之间的夹角是3个30°，用乘法计算；再过3时是6时整，分针指向12，时针指向6，时针与分针之间有6大格，因此，再过3时，时针和分针之间的夹角是6个30°，用乘法计算；分别求出夹角度数，再根据角的大小分类即可。 5．（2024四上·平湖期末）下图中角的度数是　 　°。 【答案】65 【规范解答】解：135°-70°=65°， 角的度数是65°。 故答案为：65。 【思路点拨】量角器上一个角的两条边所对着的两个度数的差，就是这个角的度数。 6．（2024四上·乐清期末）将一张长10厘米，宽5厘米的长方形纸如下图进行翻折，梯形ABCD的高是　 　厘米：如果∠1=44°，那么∠2=　 　°。 【答案】5；68 【规范解答】解：梯形ABCD的高是5厘米。 ∠2=（180°-44°）÷2=136°÷2=68°。 故答案为：5；68。 【思路点拨】ABCD是一个直角梯形，AB与CD平行，那么AD就是梯形的高。∠1和另外两个角组成平角，另外两个角大小相等，所以用180°减去∠1的度数，再除以2即可求出∠2的度数。 7．（2024四上·路桥期末）左下图是由一副三角尺拼成，问：∠1=　 　°，∠2=　 　° 【答案】45；135 【规范解答】解：如图：左边的三角形是等腰直角三角形，∠1=∠3=45°， ∠2=180°-∠3=180°-45°=135°， 故答案为：45；135。 【思路点拨】∠2和∠3刚好拼成一个平角，即∠2+∠3=180°，据此解答。 8．（2023四上·期末）已知∠1＝25°，求∠2和∠3的度数。 【答案】解：∠2＝90°－25°＝65° ∠3＝180°－65°＝115° 【思路点拨】因为∠1+∠2=90°，所以∠2=90°-∠1；∠2+∠3=180°，所以∠3=180°-∠2。 9．（2024四上·天台期末）根据A、B、C三个点，按要求画图。 （1）画出射线AB； （2）过点C，作射线AB的垂线； （3）以A为顶点，射线AB为一条边，画一个的角。 【答案】（1）解： （2）解： （3）解： 【思路点拨】（1）射线只有一个端点，以A为端点，经过B点画出一条射线； （2）利用三角板的直角边过C点画出射线的垂线； （3）用量角器的中心点与射线AB的端点重合，0刻度线与射线重合，在量角器边缘70°处点一个点，过这个点画出一条射线与原来的射线组成一个70°的角。 10．（2024四上·玉环期末）如图所示，点P、A、B、C都在方格的交点上。 （1）量一量，　 　度。 （2）过点P作线段AB的垂线。 （3）请在图中找一个点D，并连接AD和CD构成等腰梯形ABCD。 （4）在这个等腰梯形中画一条线段，将它分成一个平行四边形与一个三角形。 【答案】（1）55 （2） （3） （4） 【思路点拨】（1）用量角器量角的方法：把量角器放在角的上面，使量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所指的量角器上的刻度就是这个角的度数； （2）用三角尺过直线外一点画已知直线垂线的方法：①把三角尺的一条直角边与已知直线重合；②沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边通过直线外的点，沿这条直角边画一条直线；③在垂足处标出垂直符号； （3）等腰梯形的两腰相等，先找到D点，然后连接AD和CD构成等腰梯形ABCD； （4）过等腰梯形上底的一点，作其中一条腰的平行线，可以将梯形分成一个平行四边形与一个三角形。 11．（2023四上·巴州月考）一个三角形有一个钝角和两个锐角，已知钝角是105°，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，这两个锐角分别是多少度？ 【答案】解：（180°-105°）÷（2＋1） =75°÷3 =25° 25°×2=50° 答：这两个锐角分别是25°和50°。 【思路点拨】三角形的内角和是180°，其中较小的锐角度数=（三角形的内角和-钝角的度数）÷（2＋1），较大锐角的度数=较小的锐角度数×2。 12．下面是一张长方形折起来以后的图形，已知∠1=30°，求∠2的度数。 【答案】解：(180°-30°)÷2 =150°÷2 =75° 答：∠2的度数是75°。 【思路点拨】通过折纸观察不难发现：折痕与边形成的夹角∠3=∠2，所以∠2=（180°－∠1）÷2。 拔高题真题训练 13．（2023四上·丰台期末）下午3时至4 时之间，钟面上时针和分针的夹角出现了1次直角，大约在3时（　　）之间。 A．1分至15分 B．16分至30分 C．31分至45分 D．46分至59分 【答案】C 【规范解答】解：设从下午3时开始，经过了x分钟，钟面上时针和分针的夹角成直角。 360°÷60=6° 6x-（90＋30×）=90 6x-90-0.5x=90 5.5x=180 x=180÷5.5 x=。 故答案为：C。 【思路点拨】依据等量关系式：钟面上每个小格的度数×经过的时间-（90°＋30°×经过时间占的分率）=90°，列方程，解方程。 14．（2020四上·新疆期末）将一张圆形纸对折三次，得到的角是（　　）度。 A．30 B．45 C．60 【答案】B 【规范解答】360°÷8=45° 故答案为：B。 【思路点拨】圆周角=360°， 将一张圆形纸对折三次，相当于把圆周角平均分成8份，求每份是多少，用除法计算，据此列式解答。 15．（2020四上·盐城期末）将一张圆形纸对折三次后，得到的角的度数是（ ）。 A．120° B．60° C．45° D．30° 【答案】C 【规范解答】360°÷8=45° 故答案为：C。 【思路点拨】圆周角是360°， 将一张圆形纸对折三次后，相当于把圆周角平均分成8份，要求得到的角的度数是多少，用除法计算。 16．（2023四上·杭州）三个正方形的摆放如图。已知∠AOE=40°，∠FOD=25°。∠AOB=　 　°，∠BOC=　 　° 【答案】25；25 【规范解答】解：因为∠AOE+∠AOC=90°，∠AOC+∠COD=90°，所以∠COD=∠AOE=40°， ∠BOC+∠COD+∠FOD=90°， ∠BOC+40°+25°=90° ∠BOC+65°=90° ∠BOC=90°-65° ∠BOC=25° ∠AOE+∠AOB+∠BOC=90° 40°+∠AOB+25°=90° ∠AOB+65°=90° ∠AOB=90°-65° ∠AOB=25° 故答案为：25；25。 【思路点拨】正方形的每个角都是直角，直角=90°，观察图可知，∠AOE+∠AOC=90°，∠AOC+∠COD=90°，所以∠COD=∠AOE=40°，又知“∠BOC+∠COD+∠FOD=90°”，由此可以求出 ∠BOC，然后根据“ ∠AOE+∠AOB+∠BOC=90°”可以将条件代入，求出∠AOB的度数。 17．（2023四上·巴州月考）用量角器量角时，角的一条边没与内圈的0°刻度线对齐，而是与内圈的10°刻度线对齐，然后读内圈刻度读出的度数为80°，这个角的度数是　 　°。 【答案】70 【规范解答】解：80°-10°=70°。 故答案为：70。 【思路点拨】这个角的度数=量角器上内圈较大的度数-较小的度数。 18．（2020四上·沽源期末）量一量，画一画。 （1）上图中∠1=　 　。 （2）以O为顶点，射线OA为一条边，画∠2度数是125°。 （3）过B点分别画OA的平行线和垂线。 【答案】（1）30° （2）解：如图所示： （3）解：如图所示：（红线是平行线，蓝线是垂线） 【思路点拨】（1）量角器量角的方法： ①中心对顶点；（就是说量角器的中心与角的顶点对齐重合） ②零线对一边；（就是说量角器零刻度线与一边起始边对齐重合） ③它边看度数；（就是说角的另一条边所对的是角的度数） ④内外要分辨；（量角器上有两条0刻度线，一条是内圈的，一条是外圈的；0刻度线在内圈，度数就读内圈；零刻度线在外圈，度数就读外圈） （2）量角器画角的方法： ①先画一条射线（本题已知OA）；②把量角器的中心和射线的端点重合，零度刻度线和射线重合；③在量角器125°的刻度线的地方记一个点；④从射线的端点出发，通过新记的点，再画一条射线，这两条射线所夹的角就是125°的角。 （3）用三角板的一条直角边的已知直线（OA）重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B沿直角边向已知直线画直线即可得出垂线； 把三角板的一条直角边与已知直线OA重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板原来已知直线OA重合的直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边画直线即可得出平行线。 19．（2023四上·五华月考）从甲市到乙市的铁路沿线上共有8个站点（包括起点站和终点站），铁路局要准备多少种不同的车票才能满足所有乘客的需求？ 【答案】解：单程：8×（8-1）÷2 =8×7÷2 =28（种） 28×2=56（种） 答：铁路局要准备56种不同的车票才能满足所有乘客的需求。 【思路点拨】n表示点的个数，线段的总条数=n×（n-1）÷2，据此求出单程需要准备的车票数；单程需要准备的车票数×2=往返一共需要准备的车票数。 20．（2021四上·达川月考）A、B两地相距180千米，一辆汽车从A地开往B地，每时行驶90千米。现在是上午8：20，这辆汽车何时能到达B地？在此过程中时针和分针分别走了多少度？ 【答案】解：180÷90=2（小时） 8时20分＋2时=10时20分 30°×2=60° 360°×2=720° 答：这辆汽车10时20分能到达B地，在此过程中时针走了60°，分针走了720°。 【思路点拨】经过时间=路程÷速度；到达B地的时间=开始时间＋经过时间；在此过程中时针走了2个大格，分针走了2圈，钟面上共12个大格，平均每个大格是30°，时针和分针分别走的度数=30°×大格个数。 21．丁俊晖是亚洲首位登上世界第一的台球运动员，并于2017年12月19日获得央视2017年体坛风云人物年度非奥项目最佳运动员奖（提名）。下面两幅图是台球撞击球桌边框时的运动路线，让我们由此来一起探索台球运动中的秘密吧！ （1）测量：∠1=　 　°，∠2=　 　°，∠3=　 　°，∠4=　 　°。 （2）发现：∠1　 　∠2，∠3　 　∠4。 （3）运用：根据上面的发现补全下面台球的运动路线。 【答案】（1）60；60；40；40 （2）=；= （3）解： 【思路点拨】（1）用量角器量角时，把量角器的中心与角的顶点对齐，把角的一条边与量角器上的0刻度线对齐，然后观察另一条边所指的刻度线是几，这个角就是几度； （2）根据（1）中各个角的大小作答即可； （3）先用量角器测量出每个角的度数，再比较各角的度数大小并从中找出规律，可以发现台球撞向球桌边框时的运动路线与球桌边框的夹角大小等于台球从球桌边框弹出时的运动路线与球桌边框的夹角，最后由此规律在题图中补全台球的运动路线即可。 22．（2019四上·景县期中）下图是一张长方形纸折起来以后的图形，其中∠1=60°，你知道∠2等于多少度吗？ 【答案】解：∠2=（180°－60°）÷2=60° 答：∠2等于60度。 【思路点拨】从图中可以看出，两个∠2的度数加上∠1的度数，和是180度，∠2的度数就等于180度减去∠1的度数，再除以2，据此解答。 23．（2019四上·余杭期末）如图中，一个长方形和一个正方形部分重叠。 （1）请比较∠1和∠2的大小：∠1　 　∠2（填“>”“<”或“=”）。 （2）如果∠1+∠2+∠3=122°，那么∠3=　 　度。 【答案】（1）= （2）58 【规范解答】（1）∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，故，∠1=∠2。 （2）122°-90°=32°， 122°-32°×2 =122°-64° =58° 故答案为：（1）=；（2）58。 【思路点拨】（1）∠1和∠2都与∠3构成一个直角，故可知∠1=∠2； （3）先求出∠2的度数，∠2=∠1、∠2和∠3的和-直角。再求出∠3的度数，∠3=三个角的和-∠1与∠2的和。 24．（2020四上·京山期末）石家庄正定机场的位置示意图如下，如果从飞机场修建两条公路，请你设计一下，在图中画出来。 （1）从正定机场到107国道，修一条与338国道平行的公路。 （2）从正定机场到338国道，修一条最近的公路，这条公路与338国道图上的距离是　 　厘米。（保留一位小数） （3）测量107国道和338国道的夹角是　 　度。（取整数） 【答案】（1） （2）1.7 （3）65 【规范解答】解：（2）如图所示： 这条公路与338国道图上的局势约是1.7厘米。 （3）测量107国道和338国道的夹角是65°。 故答案为：（2）1.7；（2）65。 【思路点拨】（1）把三角板的一条直角边与338国道所在的直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和338国道所在直线重合的直角边和正定机场的点重合，过正定机场的点沿三角板的直角边画直线即可； （2）点到直线的距离最短，本题即是过正定机场的点作338国道所在直线的垂线，并用直尺测量长度即可； 用三角板的一条直角边与338国道所在的直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和正定机场的点重合，过正定机场沿直角边向已知直线画直线即可； （3）量角器量角的方法： ①中心对顶点；（就是说量角器的中心与角的顶点对齐重合） ②零线对一边；（就是说量角器零刻度线与一边起始边对齐重合） ③它边看度数；（就是说角的另一条边所对的是角的度数） ④内外要分辨；（量角器上有两条0刻度线，一条是内圈的，一条是外圈的；0刻度线在内圈，度数就读内圈；零刻度线在外圈，度数就读外圈） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$