第三讲 分数除法（单元讲义）-2024-2025学年六年级上册数学举一反三变式拓展（人教版）学生版+教师版

2024-2025学年六年级上册数学举一反三变式拓展（人教版） 第三讲 分数除法 （导图+知识精讲+高频易错点+六大考点讲练+难度分层练） 教学目标： 1.引导学生建构本单元知识网络，进一步掌握倒数的意义和分数除法的意义、计算方法及用分数除法解决实际问题的方法； 2.经历整理归纳的过程，将所学的知识系统化，加深知识的理解与沟通；获得复习的方法与经验； 3.提高系统学习知识的意识，增强学好数学的信心，体会数学与生活的密切联系。 重点：整理归纳知识点，培养学生的综合运算能力，提高学生解决问题的能力。 难点：培养学生的综合运算能力，提高学生解决问题的能力。 知识梳理精讲 2 高频易错点拨 3 考点一：倒数的认识 4 考点二：除数是整数的分数除法 5 考点三：除数是分数的分数除法 7 考点四：分数除法与分数加减法的混合运算 9 考点五：分数四则混合运算及应用 11 考点六：分数除法的应用 16 考点六：分数平均分及应用 17 中等题真题训练 18 拔高题真题训练 23 知识梳理精讲 知识点01：倒数的认识 1.倒数的意义 乘积是1的两个数互为倒数。倒数具备两个条件：一是两个数；二是乘积是1。 2.互为倒数的两个数特点 如果两个数都是分数，那么两个分数的分子和分母正好颠倒了位置；如果一个是整数，则另一个分数的分子是1，分母是这个整数。 3.求一个数倒数的方法 （1）通过计算，乘积是1的两个数互为倒数。 （2）交换这个数的分子和分母的位置。 4.特殊的 1的倒数是1，0没有倒数。 知识点02：分数除法运算 1、分数除法的计算法则 一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 2、分数四则混合运算规律 1. 只有乘、除法， 按照从左到右的顺序依次进行计算。 2. 在没有括号的算式里，既有加、减法又有乘、除法，要先算乘、除法，再算加、减法。 3. 在一个有小括号的算式里，应该先算小括号里面的，后算小括号外面的。 知识点03：分数除法的实际应用 1.解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题，一般方法： 方程法：（1）找出单位“1”，设未知量为x； （2）找出题中的等量 关系式； （3）列出方程并解答； （4）检验并写出答案。 2. “已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这数”的问题的解法： 方程法：根据题中的等量关系： “单位‘1’的量×（1±几分之几）＝已知量”或 “单位‘1’的量±单位‘1’的量×几分之几＝已知量”， 设单位“1”的量为 x，列方程解答。 3. 已知两个量的和（差），其中一个量是另一个量的几分之几，求这两个量的问题的解法： 有两个量都是未知的，先把谁看作单位“1”都可以，设其中一个量为未知数x，用这个量表示另一个量，然后找出等量关系，列方程解答出一个量，再解答第二个量。 4. 利用抽象的“1”解决实际问题： 工程问题是分数问题的特例，工作总量与工作效率都不是具体的数，而是用抽象的分数来表示。一般地，工作总量用单位“1”来表示，工作效率则用完成总量所需时间的倒数来表示。 高频易错点拨 易错知识点01：分数除以整数的理解误区 易错点：学生可能直接将分数除以整数理解为分数的分子除以整数的结果作为新的分子，分母不变。 原因：这种错误源于对分数除法概念的不清晰理解。实际上，分数除以整数应转化为分数乘以该整数的倒数。 易错知识点02： 整数除以分数的计算方法错误 易错点：学生可能将整数除以分数直接理解为整数乘以分数的分子，再除以分母。 原因：这种错误同样源于对分数除法运算规则的不熟悉。正确的做法是将整数转化为分数（即整数除以1得到的分数），再与另一个分数相乘。 易错知识点03：分数除以分数的计算方法混淆 易错点：学生在处理分数除以分数的运算时，容易混淆运算顺序或忘记转化为乘法。 原因：分数除以分数的运算需要两步转换：首先，将“除以”转化为“乘以”除数的倒数；其次，按照分数乘法的规则进行计算。 易错知识点04：运算顺序的错误 易错点：在包含分数除法的混合运算中，学生可能不遵循“先乘除后加减”的运算顺序。 原因：这主要是对数学基本运算顺序（即四则运算的优先级）掌握不牢固所致。在含有分数除法的混合运算中，同样需要严格遵循这一规则。 易错知识点05：结果的简化与约分问题 易错点：学生在得出分数除法的结果后，可能忘记进行结果的简化或约分。 原因：分数的简化与约分是分数运算中的重要步骤，它有助于得到最简形式的答案。然而，由于步骤繁琐或疏忽，学生可能在这一环节出错。 易错知识点06：分数除法与实际问题结合时的理解偏差 易错点：当分数除法与实际问题（如分蛋糕、分配任务等）结合时，学生可能难以将实际问题抽象为分数除法的数学模型。 原因：这种错误源于学生对分数除法实际意义的理解不够深入。在实际问题中，学生需要理解“每份是多少”或“可以分成多少份”等概念，并将其转化为分数除法的运算。 考点一：倒数的认识 【精讲题】（2023·南坪）80%的倒数是　 　，1 的倒数是　 　。 【答案】1.25；0.6 【规范解答】解：第一问：80%即为 ，它的倒数即为 ，也就是1. 25。（2）1 即为 ，它的倒数即为 ，也就是0.6. 故答案为：1.25；0.6 【思路点拨】乘积是1的两个数互为倒数，可以把百分数化成分数来判断倒数，把带分数化成假分数后判断它的倒数. 【精练题1】（2023六下·伊犁哈萨克期末）a是一个整数，它的倒数一定是 。（ ）判断对错 【答案】错误 【规范解答】当a≠0时，整数a的倒数是 ，当a＝0时，整数a没有倒数，所以本题是错误的，故本题的答案是错误。 【思路点拨】根据倒数的意义，非零的整数a，它的倒数是 ，据此即可解答问题。 【精练题2】（2023六上·奉化期末）在算式÷中，如果a、b互为倒数，那么算式的结果是　 　。 【答案】 【规范解答】因为a、b互为倒数，所以a×b=1， ÷=×==。 故答案为：。 【思路点拨】乘积是1的两个数互为倒数，根据题意，先把除法变成乘法，再进行计算。 【精练题3】（2023六上·南召期末）如果的倒数等于3，那么a=　 　；40分钟：0.4小时的比值是　 　 【答案】5； 【规范解答】解：的倒数是，等于3，那么a=5； 40分钟：0.4小时=40分钟：24分钟=40÷24=。 故答案为：5；。 【思路点拨】化简比和求比值的方法：单位不统一的，先统一单位，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数，把比化为最简单的整数比；然后用比的前项除以比的后项，得到的商就是比值。 考点二：除数是整数的分数除法 【精讲题】（2024六上·三门期末）王阿姨调了四杯蜂蜜水，（　　）杯蜂蜜水最甜。 A．第1杯，蜂蜜与水的比是1：10 B．第2杯，蜂蜜占蜂蜜水的 C．第3杯，用20克蜂蜜配成200克蜂蜜水 D．第4杯，水是蜂蜜的8倍 【答案】D 【规范解答】解：A项中，1÷（1+10）=，所以蜂蜜占蜂蜜水的； C项中，20÷200=，所以蜂蜜占蜂蜜水的； D项中，1÷（1+8）=。 <<<，所以第4杯水最甜。 故答案为：D。 【思路点拨】A项中，蜂蜜占蜂蜜水的几分之几=蜂蜜占的份数÷（蜂蜜占的份数+水占的份数） C项中，蜂蜜占蜂蜜水的几分之几=蜂蜜的质量÷水的质量； D项中，蜂蜜占蜂蜜水的几分之几=蜂蜜表示的份数÷（蜂蜜表示的份数+水表示的份数） 最后比较4杯水中蜂蜜占蜂蜜水的几分之几即可。 【精练题1】（2023六上·中原期中）一辆汽车每行6千米耗油千克，平均每千克汽油可以行　 　千米，行1千米需耗油　 　千克。 【答案】10； 【规范解答】解：6÷=10（千米）； ÷6=（千克）。 故答案为：10；。 【思路点拨】平均每千克汽油可以行驶的路程=行驶的路程÷用汽油的质量；行驶1千米的耗油量=用汽油的质量÷行驶的路程。 【精练题2】（2023六上·博兴期中）在横线上填上“>”“<”或“=”。 ÷2　 　× ×　 　 13÷　 　13 6×　 　6 【答案】=；<；>；> 【规范解答】解：÷2=×；<1，所以×<； <1，所以13÷>13；>1，所以6×>6。 故答案为：=；<；>；>。 【思路点拨】除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数； 一个非0数乘比0大比1小的数，所得的结果比这个数小； 一个非0数除以比0大比1小的数，所得的结果比这个数大； 一个非0数乘比1大的数，所得的结果比这个数大。 【精练题3】玲玲将一个数除以5看成乘5，计算出的结果是，正确的结果应该是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：÷5÷5 =÷5 = 故答案为：A。 【思路点拨】一个数×5=，所以用除以5求出这个数，用这个数除以5即可求出正确的结果。 考点三：除数是分数的分数除法 【精讲题】（2024六上·三门期末）下面说法中，正确的有（　　）个。 ①一个零件的重量是千克，也可以说成是40%千克。 ②某种商品的价格先涨了10%，后又降了10%，现价与涨价前价格相比，不变。 ③从商场到学校小丽要7分钟，小林要6分钟，小丽和小林所行速度比是6：7。 ④一袋5千克的大米，平均每天吃去这袋米的。这袋米正好能吃40天。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【规范解答】解：①千克不可以说成是40%千克，故错误； ②1×（1+10%）×（1-10%）=0.99<1，故错误； ③小丽和小林所行速度比是6：7，故正确； ④1÷=8（天），所以这袋米正好能吃8天，故错误。 故答案为：A。 【思路点拨】①百分数表示一个量是另一个量的百分之几，后面不能带单位； ②现价=原价×（1+先涨价百分之几）×（1-再降价百分之几），然后将现价和原价进行比较即可； ③路程一定，速度和时间成反比； ④这袋米吃的天数=1×平均每天吃去这袋米的几分之几。 【精练题1】（2024六上·巴南期末）在横线上填上“>”“<”或“=”。 　 　 　 　 　 　150%× 　 　÷4 【答案】<；>；=；> 【规范解答】解：因为＜1，所以＜； 因为＜1，所以＞； =150%×； 因为＜4，所以＞÷4。 故答案为：<；>；=；>。 【思路点拨】一个数（0和负数除外）除以小于1的数，所得的商大于原来的数；反之，商小于原来的数；一个数（0和负数除外）乘小于1的数，所得的积小于原来的数，反之，积大于原来的数。 【精练题2】（2023六上·玉环期中）只列式不计算。 （1）某商站运进一批红糖，卖出340千克，正好卖出了这批红糖的，这批红糖有多少千克？ 列式： （2）学校图书馆购进科技书80本，比购进的故事书少。学校图书馆购进故事书多少本？ 列式： （3）学校篮球社团有学生45人，足球社团的学生人数是篮球社团的，是羽毛球社团的，羽毛球社团有学生多少人？ 列式： （4）农场有小牛40头，正好是大牛的，小牛比大牛少多少头？ 列式： 【答案】（1）解：340÷ （2）解：80÷（1-） （3）解：45×÷ （4）解：40÷-40 【思路点拨】（1）这批红糖的质量=卖出的质量÷卖出的分率； （2）学校图书馆购进故事书的本数=购进科技书的本数÷（1-少的分率） ； （3）羽毛球社团有学生的人数=学校篮球社团有学生的人数×÷； （4）小牛比大牛少的头数=大牛的头数-小牛的头数；其中，大牛的头数=小牛的头数÷。 【精练题3】（2023六上·五华月考）一个制药厂每天可以提炼t药材，现因业务需要，计划提炼t药材。则提炼这批药材需要多少天？ 【答案】解： ＝7.5（天） 答：提炼这批药材需要7.5天。 【思路点拨】提炼这批药材需要的天数=提炼药材的总质量÷平均每天提炼药材的质量。 考点四：分数除法与分数加减法的混合运算 【精讲题】连接相应的条件和算式。 公园的工地上运来红砖1200块（　　），运来青砖多少块? ①青砖比红砖多 ②红砖是青砖的 ③红砖比青砖多 ④青砖是红砖的 ⑤青砖比红砖少 ⑥红砖比青砖少 【答案】解： 【思路点拨】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算；单位“1”未知，求单位“1”，用除法计算；求比单位“1”多或少几分之几的数是多少，用乘加或乘减计算。已知比单位“1”多或少几分之几的数是多少，用除加或除减计算。 【精练题1】（2024六上·确山期末）实验二小五、六年级共有36名同学参加了少先队大队委的竞选活动。其中五年级参选的同学是六年级的，五、六年级各有多少名同学参加了竞选活动? 【答案】解：36÷（1+） =36÷ =20（人） 20×=16（人） 答：五年级有16名同学参加了竞选活动，六年级有20名同学参加了竞选活动。 【思路点拨】五年级参选的同学是六年级的，把六年级同学人数看作单位“1”，五年级与六年级的总人数一共是六年级人数的“1+”，五六年级总参选人数÷五六年级的总参选人数一共是六年级参选人数的分率=六年级参选人数，六年级参选人数×=五年级参选人数。 【精练题2】（2024六上·中山期末）修一条高速公路，甲队单独修需要16天，乙队单独修需要 20天。两队合作多少天可以修完？ 【答案】解：1÷（＋） =1÷ =（天） 答：两队合作天可以修完。 【思路点拨】两队合作修完需要的天数=工作总量÷工作效率的和。 【精练题3】（2023六上·丘北月考）文具店昨天卖出的两个书包的价格都是90元，其中一个赚了，另一个亏了，文具店卖出的这两个书包总的来说是亏本还是盈利？ 【答案】解：90÷(1+) +90÷(1-) =72+120 =192 (元) 90×2=180 (元) 192> 180 答：亏本了。 【思路点拨】赚了的书包的进价=书包卖出的钱数÷（1+赚了几分之几），亏了的书包的进价=书包卖出的钱数÷（1-亏了几分之几），然后把两个数的进价和与卖出的价钱进行比较即可。 考点五：分数四则混合运算及应用 【精讲题】（2024六上·天台期末）用合适的方法计算下面各题。 【答案】解： =+ = =（+-1）×0.69 =0×0.69 =0 =×21×23+×21×23 =23+84 =107 =（-）÷0.25 =0.1875÷0.25 =0.75 【思路点拨】在没有小括号，既有加减法，又有乘除法的计算中，要先算乘除法，再算加减法； 乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c）； 在有小括号的计算中，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。 【精练题1】（2024六上·深圳期末）用你喜欢的方法计算，要写出计算过程。 【答案】解：+÷ =+× =+ = （-）÷ =÷ =× = ×-× =×（-） =×1 = （+）÷（+） =÷ =× =5 【思路点拨】观察算式可知，算式中有除法和加法，先算除法，后算加法； 观察算式可知，算式中有小括号，先算小括号里面的减法，再计算小括号外面的除法； 观察数据可知，此题应用乘法分配律简算； 观察算式可知，算式中有小括号，先同时计算两个小括号里面的，再计算小括号外面的。 【精练题2】（2024六上·黔江期末） 计算下面各题，能简算的要简算。 【答案】解： 【思路点拨】第一题可以利用乘法分配律进行简便计算；第二题先将除法转化成乘法，再利用乘法分配律进行简便计算；第三题按照四则混合运算顺序进行计算；第四题再按照四则混合运算顺序进行计算；第五题利用乘法分配律进行简便计算；第六题按照四则混合运算顺序进行计算。 【精练题3】（2024六上·亭湖期末）计算下面各题，能简便的要用简便方法计算。 【答案】解：×＋× ＝×（ ＋ ） ＝×1 ＝ ＝4－－ ＝4－（＋） =3 ＝÷（×） ＝÷ ＝ 【思路点拨】乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c）； 连续减去两个数，等于减去这两个数的和； 在既有小括号，又有中括号的计算中，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。 考点六：分数除法的应用 【精讲题】（2023六上·德城期中）要修一条6千米的路，某工程队15天修了全程的，照这样的速度，修完这条路共需要多少天？ 【答案】解：1÷（÷15） =1×4×15 =60（天） 答：修完这条路共需要60天。 【思路点拨】某工程队15天修了全程的，根据工作效率=工作总量÷工作时间，用除以15即可求出每天修全程的几分之几，即工作效率。把这条路的全长看作单位“1”，根据工作时间=工作总量÷工作效率，用1除以这个工程队的工作效率，即可求出修完这条路共需要多少天。 【精练题1】（2023六上·榕城期中）六年级有三好学生68人，是六年级学生人数的 ，六年级学生人数占全校学生人数的 ，全校有学生多少人？ 【答案】解：68÷÷ =408÷ =1836（人） 答：全校有学生1836人。 【思路点拨】全校有学生的人数=六年级的学生人数÷；其中，六年级的学生人数=六年级三好学生的人数÷ 。 【精练题2】（2023六下·顺德）一艘客轮从乙港开往甲港，开到距甲港 时，离甲港还有20千米，甲乙两港相距（　　） A．8千米 B．25千米 C．50千米 D．40千米 【答案】C 【规范解答】解：20÷=50(千米) 故答案为：C 【思路点拨】以两港的距离为单位“1”，根据分数除法的意义，用离甲港的路程除以距离甲港的分率即可求出两港的距离. 【精练题3】（2023六上·期中）六（1）班参加兴趣班的学生人数有12人，占全班人数的 ，六（1）班学生人数占六年级人数的 。六年级有学生多少人？ 【答案】解：12÷÷ =12×4×6 =288（人） 答：六年级有学生288人。 【思路点拨】兴趣班人数÷兴趣班人数占全班人数的分率=六（1）班人数，六（1）班人数÷六（1）班人数占六年级人数的分率=六年级人数。 考点六：分数平均分及应用 【精讲题】把 米的竹竿平均分成3段，每段占全长的　 　，每段长　 　米。 【答案】； 【规范解答】解：把米的竹竿平均分成3段，每段占全长的，每段长×=米。 故答案为：；。 【思路点拨】把竹竿平均分成几段，每段占全长的几分之一，每段的长度=竹竿的长度×几分之一。 【精练题1】（2021六上·微山期末）把一根3米长的绳子平均分成5段，每段的长度是1米的 。（　　）判断对错 【答案】正确 【规范解答】把一根3米长的绳子平均分成5段，每段的长度是：3÷5＝（米）也就是1米的。 故答案为：正确。 【思路点拨】一根3米长的绳子平均分成5段，每段长3÷5＝（米），1米的是1×＝（米）。 【精练题2】（2019六上·永嘉期末）下图中正方形代表单位“1”，阴影部分表示出了它的 ，请你在下图上补充完整“ ÷4=？”。 【答案】解： 【思路点拨】根据题意可知，把大正方形看作单位“1”，先平均分成5份，阴影部分表示它的，再把阴影部分平均分成4份，其中的一份涂色，据此解答。 【精练题3】（2019六上·罗山期末）把 米绳子平均分成2份，求每份是多少，可以看作求 米的 是多少。（　　） 【答案】正确 【规范解答】÷2=（米），所以每份是米。 ×=（米），所以米的是米。 故答案为：正确。 【思路点拨】求每份是多少米即是总米数除以分成的份数；求米的几分之几是多少米即用总米数乘以几分之几即可。本题据此计算再进行比较即可。 中等题真题训练 1．（2023六上·邢台期中）a是一个不为0的自然数，在下面的各算式中，（　　）的得数最小． A．a× B．a÷ C．a÷ 【答案】B 【规范解答】解：A项中，a×=a÷，因为>>，所以B项的得数最小。 故答案为：B。 【思路点拨】除以不为0的数，除数越大，所得的得数越小。 2．（2023六上·榆林月考）水果店运来一批水果，第一天卖出总数的，第二天卖出88千克，这时还剩下总数的没有卖出，水果店共运来水果（　　）千克。 A．140 B．160 C．190 D．240 【答案】B 【规范解答】解：88÷（1--） =88÷ =160（千克） 故答案为：B。 【思路点拨】这批水果的总重量为单位“1”，第二天卖出的重量占总重量的（1--），根据分数除法的意义求出运来水果的总重量。 3．（2023六上·五华月考）一袋大米，第一周吃了总数的，第二周比第一周多吃了总数的，还剩下17kg。这袋大米一共有（　　）kg。 A．56 B．39 C．73 D．48 【答案】A 【规范解答】解：17÷（1---） =17÷（--） =17÷（-） =17÷ =56（千克）。 故答案为：A。 【思路点拨】这袋大米一共的质量=还剩下的质量÷（1-第一周吃总数的分率-第二周吃总数的分率） 。 4．（2024六上·瑶海期末）小云倒出一瓶饮料的，刚好装满一个容量是240毫升的玻璃杯。她把这瓶饮料分给了客人，分给客人　 　毫升，还剩　 　毫升。 【答案】960；120 【规范解答】解：原来：240÷=1080(毫升)； 分给客人：1080×=960(毫升)； 还剩：1080-960=120(毫升)； 故答案为：960；120。 【思路点拨】由题意可知，一瓶饮料的是240毫升，先用除法求出这瓶饮料有多少毫升；再用这瓶饮料乘即可求出分给客人多少毫升；求还剩多少毫升，用原来的减去分给客人的即可。 5．（2023六上·河北期中） 公顷的 是　 　公顷．　 　米的 是100米． 【答案】；250 【规范解答】解： × = （公顷） 100÷ =250（米） 故填 ，250． 【思路点拨】（1）分析条件“ 公顷的 ”可知，在这里的单位“1”是 公顷，求它的 ，要用乘法计算．（2）分析第二题的条件可知，100米相当于原数的 ，在这里把原数看作单位“1”，求原数（即单位“1”）要用除法计算． 6．（2023六上·福田月考）水结成冰，体积比原来增加了，这里是把　 　看作“单位1”。如果冰的体积是36立方米，原来的水有　 　 立方米。 【答案】水的体积；33 【规范解答】解：水结成冰，冰体积比水的体积增加了，这里是把水的体积看作“单位1”； 36÷（1+） =36× =33（立方米） 故答案为：水的体积；33。 【思路点拨】第一空：“比”后面的一般是单位1； 第二空：冰的体积÷冰的体积对应水的体积的分率=水的体积。 7．（2024六上·英山期末）下面各题怎样简便就怎样算 （＋）×48 23×＋8× 8.7×－3.2÷ 80× ÷（＋） ×1.8＋0.25×8.9－25%×0.7 【答案】解：（＋）×48 =×48+×48 =36+30 =66 23×＋8× =23×+23× =23×（+） =23× = 8.7×－3.2÷ =10.44-3.84 =6.6 80× =（81-1）× =81×-1× =79- = ÷（＋） =÷ = ×1.8＋0.25×8.9－25%×0.7 =0.25×1.8+0.25×8.9-0.25×0.7 =0.25×（1.8+8.9-0.7） =0.25×10 =2.5 【思路点拨】观察数据可知，此题应用乘法分配律简算； 观察数据可知，先把算式23×＋8×变换成23×+23×，再应用乘法分配律简算； 观察算式可知，算式中有乘除法和减法，先同时计算乘除法，再计算减法； 观察数据可知，先把80看成（81-1）再利用乘法分配律简算； 观察算式可知，算式中有小括号，先算小括号里面的，再计算小括号外面的； 观察算式可知，先把分数、百分数化成小数，再利用乘法分配律简算。 8．（2023六上·期末）夕阳红旅行团乘车从乌鲁木齐到天池行驶4小时，冬令营旅行团乘车从天池到乌鲁木齐行驶3小时，两车同时分别从乌鲁木齐和天池出发，几小时后相遇？ 【答案】解：1÷（+） =1÷ =（小时） 答：小时后相遇。 【思路点拨】夕阳红旅行团乘车从乌鲁木齐到天池行驶4小时，每小时行驶全程的；冬令营旅行团乘车从天池到乌鲁木齐行驶3小时，每小时行驶全程的；总路程÷两个旅行团的速度和=相遇时间。 9．（2023六上·期末）有着3500多年历史的盘龙城遗址是我国商代前期的城址，是武汉的城市之根。盘龙城国家考古遗址公园的核心保护区面积为1.39平方千米，比公园规划占地面积的多0.08平方千米，公园规划占地面积是多少平方千米？ 【答案】解：（1.39-0.08）÷ =1.31÷ =1.31×5 =6.55（平方千米） 答：公园规划占地面积是6.55平方千米。 【思路点拨】公园规划占地面积×+0.08平方千米=国家考古遗址公园的核心保护区面积，据此可以推出：公园规划占地面积=（国家考古遗址公园的核心保护区面积-0.08平方千米）÷。 拔高题真题训练 10．有甲、乙两堆玻璃球，从甲堆玻璃球中拿出给乙堆，这时两堆玻璃球的数量相等，那么原来乙堆玻璃球是甲堆玻璃球的（　　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：1--=，÷1=，所以原来乙堆玻璃球是甲堆玻璃球的。 故答案为：C。 【思路点拨】把原来甲堆玻璃球看成单位“1”，所以原来乙堆玻璃=1-从甲堆玻璃球中拿出几分之几-从甲堆玻璃球中拿出几分之几，那么原来乙堆玻璃球是甲堆玻璃球的几分之几=原来乙堆玻璃÷原来甲堆玻璃球，据此作答即可。 11．（2023六上·鹿邑期末）一桶洗衣液重5千克，用去它的后，又倒入剩余洗衣液的，现在桶里的洗衣液比5千克（　　）｡ A．多 B．少 C．一样多 D．无法确定 【答案】B 【规范解答】解：用去的质量：5×=0.5（千克） 剩余：5-0.5=4.5（千克） 又倒入的质量：4.5×=0.45（千克） 现在桶里质量：4.5+0.45=4.95（千克） 现在桶里的洗衣液比5千克少。 故答案为：B。 【思路点拨】用去了5千克的；又倒入4.5千克的，用去的多，倒入的少，现在桶里的洗衣液比5千克少。 12．（2021六上·京山期末）一辆汽车从甲地到乙地，行了全程的 ，离中点还有30千米，全程是（　　）。 A．300千米 B．150千米 C．75千米 D．50千米 【答案】A 【规范解答】解：30÷（-） =30÷ =300（千米）。 故答案为：A。 【思路点拨】全程的一半用表示，全程的长度=离中点的路程÷（-行驶的分率）。 13．（2023六上·玉龙月考）甲数比乙数多，则乙数与甲数的比是　 　，乙数比甲数少　 　。 【答案】4：5； 【规范解答】解：1＋= 1：=4：5 ÷=。 故答案为：4：5；。 【思路点拨】把乙数看作单位“1”，甲数是1＋=，乙数与甲数的比=乙数：甲数；乙数比甲数少的分率=÷甲数。 14．（2023六上·黄岛期末）小明和小亮手中都有一些卡片，小明给了小亮10张后，小亮的卡片是小明的。已知小亮原有50张卡片，小明原来有　 　张卡片。 【答案】115 【规范解答】解：4÷（7＋4） =4÷11 = （50＋10）÷ =60÷ =165（张） 165-50=115（张）。 故答案为：115。 【思路点拨】小明原来有卡片的张数=原来两人一共的张数-小亮原有卡片的张数； 其中，原来两人一共的张数=（小亮原有卡片的张数＋小明给小亮的张数）÷现在小亮的卡片占总张数的分率；其中，现在小亮的卡片占总张数的分率4÷（7＋4）=。 15．一根铁丝，第一次剪去了全长的，第二次剪去所剩铁丝的，第三次剪去所剩铁丝的， 第次剪去所剩铁丝的，这时量得所剩铁丝为米，那么原来的铁丝长　 　米。 【答案】2009 【规范解答】解：1÷（1-） =1÷ =（米） ÷（1-） =÷ =×（米） ××···×=2009（米）。 故答案为：2009。 【思路点拨】第2007次剪去后剩下的铁丝长度=单位“1”÷（单位“1”-第2008次剪去所剩铁丝的分率），第2006次剪去后剩下的铁丝长为 ÷ （1-），依次可以得出，原来的铁丝长=××···×=2009米。 16．客车与货车同时从甲地开往乙地，当客车行了全程的时，货车行了120千米，当客车到达乙地时，货车行了全程的。甲乙两地相距　 　千米。 【答案】400 【规范解答】解：：1=3：4，120÷3×4=160（千米），160÷=400（千米），所以甲乙两地相距400千米。 故答案为：400。 【思路点拨】当客车到达乙地时，货车行了全程的，把这个全程看成单位“1”，那么相同时间，货车和客车的路程比=当客车到达乙地时货车行了全程的几分之几：1，所以客车行了全程的时，客车行驶的距离=客车行了全程的时货车行驶的距离÷货车行驶的路程占的份数×客车行驶的路程占的份数，那么甲乙两地之间的距离=客车行了全程的时客车行驶的距离÷。 17．（2020六上·东莞期末）脱式计算，能简便的要简便． （1）3 ÷[5 ﹣4.5×（20%+ ）] （2）6 ×0.125+ （3）121×（ ）×141 （4） 【答案】（1）3 ÷[5 ﹣4.5×（20%+ ）] ＝3 ÷[5 ﹣4.5× ] ＝3 ÷[5 ﹣2.4] ＝3 ÷3.35 ＝1 （2）6 ×0.125+ ＝（6 +2 +1）× ＝10× ＝ （3）121×（ ）×141 ＝121×141× ×121×141 ＝ +423 ＝483 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【思路点拨】（1）将百分数化成分数计算，先计算小括号内，再计算中括号内，最后算中括号外； （2）0.125、12.5%都可以化成，则利用乘法分配律简便运算； （3）利用乘法分配律变形为121×141× ×121×141，然后先约分，再计算； （4）方法一：先利用乘法分配律转化为 ，再进一步变形为 进行计算；方法二：将分母分别写成2×4、4×6、6×8……，则可将式子转化为×（-+-+-+-+-）=×（-）。 18．（2024六上·江汉期末）修一段水渠，甲施工队单独修要20天完成，乙施工队单独修要15天完成。两队合修6天后，剩下的任务只安排一个队完成。至少还要多少天可以完成任务? 【答案】解：6×（） =6× = （1-）÷ =÷ =（天） 答：至少还要天可以完成任务。 【思路点拨】完成任务至少还要的天数=（1-6天完成的工作总量）÷工作效率高的乙队的工作效率；其中，6天完成的工作总量=6×（甲的工作效率＋乙的工作效率）。 19．（2023六上·五华月考）一本书，小华已经看了52页，剩下的他准备8天看完，如果每天看的页数相等，3天看的页数正好为全书的，这本书共有多少页？ 【答案】解：52÷（1-÷3×8） ＝52÷（1-） ＝52 ＝132（页） 答：这本书共有132页。 【思路点拨】这本书共有的页数=小华已经看的页数÷（1-3天看的分率÷3×剩下准备看的天数）。 20．一项工作，甲、乙、两三人合作6时可以完成。如果甲工作6时后，乙、丙合作2时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合作3时后，丙做6时，也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合作，需几时完成？ 【答案】解：甲每时完成这项工作的（×2） ÷（6-2）= 丙每时完成这项工作的（×3） ÷（6-3）= 甲、丙合作，需要的时间为1 ÷（）=（时） 答：如果由甲、丙合作，需时完成。 【思路点拨】将甲工作6小时，乙、丙合作2时看做3人合作了2小时，甲独做（6-2）小时，据此求出甲的工作效率，同理，依此方法求得丙的工作效率； 工作时间×工作效率=工作量，工作量÷工作时间=工作效率，工作量÷工作效率=工作时间，据此解答。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级上册数学举一反三变式拓展（人教版） 第三讲 分数除法 （导图+知识精讲+高频易错点+六大考点讲练+难度分层练） 教学目标： 1.引导学生建构本单元知识网络，进一步掌握倒数的意义和分数除法的意义、计算方法及用分数除法解决实际问题的方法； 2.经历整理归纳的过程，将所学的知识系统化，加深知识的理解与沟通；获得复习的方法与经验； 3.提高系统学习知识的意识，增强学好数学的信心，体会数学与生活的密切联系。 重点：整理归纳知识点，培养学生的综合运算能力，提高学生解决问题的能力。 难点：培养学生的综合运算能力，提高学生解决问题的能力。 知识梳理精讲 2 高频易错点拨 3 考点一：倒数的认识 4 考点二：除数是整数的分数除法 4 考点三：除数是分数的分数除法 5 考点四：分数除法与分数加减法的混合运算 6 考点五：分数四则混合运算及应用 7 考点六：分数除法的应用 9 考点六：分数平均分及应用 9 中等题真题训练 10 拔高题真题训练 11 知识梳理精讲 知识点01：倒数的认识 1.倒数的意义 乘积是1的两个数互为倒数。倒数具备两个条件：一是两个数；二是乘积是1。 2.互为倒数的两个数特点 如果两个数都是分数，那么两个分数的分子和分母正好颠倒了位置；如果一个是整数，则另一个分数的分子是1，分母是这个整数。 3.求一个数倒数的方法 （1）通过计算，乘积是1的两个数互为倒数。 （2）交换这个数的分子和分母的位置。 4.特殊的 1的倒数是1，0没有倒数。 知识点02：分数除法运算 1、分数除法的计算法则 一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 2、分数四则混合运算规律 1. 只有乘、除法， 按照从左到右的顺序依次进行计算。 2. 在没有括号的算式里，既有加、减法又有乘、除法，要先算乘、除法，再算加、减法。 3. 在一个有小括号的算式里，应该先算小括号里面的，后算小括号外面的。 知识点03：分数除法的实际应用 1.解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题，一般方法： 方程法：（1）找出单位“1”，设未知量为x； （2）找出题中的等量 关系式； （3）列出方程并解答； （4）检验并写出答案。 2. “已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这数”的问题的解法： 方程法：根据题中的等量关系： “单位‘1’的量×（1±几分之几）＝已知量”或 “单位‘1’的量±单位‘1’的量×几分之几＝已知量”， 设单位“1”的量为 x，列方程解答。 3. 已知两个量的和（差），其中一个量是另一个量的几分之几，求这两个量的问题的解法： 有两个量都是未知的，先把谁看作单位“1”都可以，设其中一个量为未知数x，用这个量表示另一个量，然后找出等量关系，列方程解答出一个量，再解答第二个量。 4. 利用抽象的“1”解决实际问题： 工程问题是分数问题的特例，工作总量与工作效率都不是具体的数，而是用抽象的分数来表示。一般地，工作总量用单位“1”来表示，工作效率则用完成总量所需时间的倒数来表示。 高频易错点拨 易错知识点01：分数除以整数的理解误区 易错点：学生可能直接将分数除以整数理解为分数的分子除以整数的结果作为新的分子，分母不变。 原因：这种错误源于对分数除法概念的不清晰理解。实际上，分数除以整数应转化为分数乘以该整数的倒数。 易错知识点02： 整数除以分数的计算方法错误 易错点：学生可能将整数除以分数直接理解为整数乘以分数的分子，再除以分母。 原因：这种错误同样源于对分数除法运算规则的不熟悉。正确的做法是将整数转化为分数（即整数除以1得到的分数），再与另一个分数相乘。 易错知识点03：分数除以分数的计算方法混淆 易错点：学生在处理分数除以分数的运算时，容易混淆运算顺序或忘记转化为乘法。 原因：分数除以分数的运算需要两步转换：首先，将“除以”转化为“乘以”除数的倒数；其次，按照分数乘法的规则进行计算。 易错知识点04：运算顺序的错误 易错点：在包含分数除法的混合运算中，学生可能不遵循“先乘除后加减”的运算顺序。 原因：这主要是对数学基本运算顺序（即四则运算的优先级）掌握不牢固所致。在含有分数除法的混合运算中，同样需要严格遵循这一规则。 易错知识点05：结果的简化与约分问题 易错点：学生在得出分数除法的结果后，可能忘记进行结果的简化或约分。 原因：分数的简化与约分是分数运算中的重要步骤，它有助于得到最简形式的答案。然而，由于步骤繁琐或疏忽，学生可能在这一环节出错。 易错知识点06：分数除法与实际问题结合时的理解偏差 易错点：当分数除法与实际问题（如分蛋糕、分配任务等）结合时，学生可能难以将实际问题抽象为分数除法的数学模型。 原因：这种错误源于学生对分数除法实际意义的理解不够深入。在实际问题中，学生需要理解“每份是多少”或“可以分成多少份”等概念，并将其转化为分数除法的运算。 考点一：倒数的认识 【精讲题】（2023·南坪）80%的倒数是　 　，1 的倒数是　 　。 【精练题1】（2023六下·伊犁哈萨克期末）a是一个整数，它的倒数一定是 。（ ）判断对错 【精练题2】（2023六上·奉化期末）在算式÷中，如果a、b互为倒数，那么算式的结果是　 　。 【精练题3】（2023六上·南召期末）如果的倒数等于3，那么a=　 　；40分钟：0.4小时的比值是　 　 考点二：除数是整数的分数除法 【精讲题】（2024六上·三门期末）王阿姨调了四杯蜂蜜水，（　　）杯蜂蜜水最甜。 A．第1杯，蜂蜜与水的比是1：10 B．第2杯，蜂蜜占蜂蜜水的 C．第3杯，用20克蜂蜜配成200克蜂蜜水 D．第4杯，水是蜂蜜的8倍 【精练题1】（2023六上·中原期中）一辆汽车每行6千米耗油千克，平均每千克汽油可以行　 　千米，行1千米需耗油　 　千克。 【精练题2】（2023六上·博兴期中）在横线上填上“>”“<”或“=”。 ÷2　 　× ×　 　 13÷　 　13 6×　 　6 【精练题3】玲玲将一个数除以5看成乘5，计算出的结果是，正确的结果应该是（　　）。 A． B． C． D． 考点三：除数是分数的分数除法 【精讲题】（2024六上·三门期末）下面说法中，正确的有（　　）个。 ①一个零件的重量是千克，也可以说成是40%千克。 ②某种商品的价格先涨了10%，后又降了10%，现价与涨价前价格相比，不变。 ③从商场到学校小丽要7分钟，小林要6分钟，小丽和小林所行速度比是6：7。 ④一袋5千克的大米，平均每天吃去这袋米的。这袋米正好能吃40天。 A．1 B．2 C．3 D．4 【精练题1】（2024六上·巴南期末）在横线上填上“>”“<”或“=”。 　 　 　 　 　 　150%× 　 　÷4 【精练题2】（2023六上·玉环期中）只列式不计算。 （1）某商站运进一批红糖，卖出340千克，正好卖出了这批红糖的，这批红糖有多少千克？ 列式： （2）学校图书馆购进科技书80本，比购进的故事书少。学校图书馆购进故事书多少本？ 列式： （3）学校篮球社团有学生45人，足球社团的学生人数是篮球社团的，是羽毛球社团的，羽毛球社团有学生多少人？ 列式： （4）农场有小牛40头，正好是大牛的，小牛比大牛少多少头？ 列式： 【精练题3】（2023六上·五华月考）一个制药厂每天可以提炼t药材，现因业务需要，计划提炼t药材。则提炼这批药材需要多少天？ 考点四：分数除法与分数加减法的混合运算 【精讲题】连接相应的条件和算式。 公园的工地上运来红砖1200块（　　），运来青砖多少块? ①青砖比红砖多 ②红砖是青砖的 ③红砖比青砖多 ④青砖是红砖的 ⑤青砖比红砖少 ⑥红砖比青砖少 【精练题1】（2024六上·确山期末）实验二小五、六年级共有36名同学参加了少先队大队委的竞选活动。其中五年级参选的同学是六年级的，五、六年级各有多少名同学参加了竞选活动? 【精练题2】（2024六上·中山期末）修一条高速公路，甲队单独修需要16天，乙队单独修需要 20天。两队合作多少天可以修完？ 【精练题3】（2023六上·丘北月考）文具店昨天卖出的两个书包的价格都是90元，其中一个赚了，另一个亏了，文具店卖出的这两个书包总的来说是亏本还是盈利？ 考点五：分数四则混合运算及应用 【精讲题】（2024六上·天台期末）用合适的方法计算下面各题。 【精练题1】（2024六上·深圳期末）用你喜欢的方法计算，要写出计算过程。 【精练题2】（2024六上·黔江期末） 计算下面各题，能简算的要简算。 【精练题3】（2024六上·亭湖期末）计算下面各题，能简便的要用简便方法计算。 考点六：分数除法的应用 【精讲题】（2023六上·德城期中）要修一条6千米的路，某工程队15天修了全程的，照这样的速度，修完这条路共需要多少天？ 【精练题1】（2023六上·榕城期中）六年级有三好学生68人，是六年级学生人数的 ，六年级学生人数占全校学生人数的 ，全校有学生多少人？ 【精练题2】（2023六下·顺德）一艘客轮从乙港开往甲港，开到距甲港 时，离甲港还有20千米，甲乙两港相距（　　） A．8千米 B．25千米 C．50千米 D．40千米 【精练题3】（2023六上·期中）六（1）班参加兴趣班的学生人数有12人，占全班人数的 ，六（1）班学生人数占六年级人数的 。六年级有学生多少人？ 考点六：分数平均分及应用 【精讲题】把 米的竹竿平均分成3段，每段占全长的　 　，每段长　 　米。 【精练题1】（2021六上·微山期末）把一根3米长的绳子平均分成5段，每段的长度是1米的 。（　　）判断对错 【精练题2】（2019六上·永嘉期末）下图中正方形代表单位“1”，阴影部分表示出了它的 ，请你在下图上补充完整“ ÷4=？”。 【精练题3】（2019六上·罗山期末）把 米绳子平均分成2份，求每份是多少，可以看作求 米的 是多少。（　　）判断对错 中等题真题训练 1．（2023六上·邢台期中）a是一个不为0的自然数，在下面的各算式中，（　　）的得数最小． A．a× B．a÷ C．a÷ 2．（2023六上·榆林月考）水果店运来一批水果，第一天卖出总数的，第二天卖出88千克，这时还剩下总数的没有卖出，水果店共运来水果（　　）千克。 A．140 B．160 C．190 D．240 3．（2023六上·五华月考）一袋大米，第一周吃了总数的，第二周比第一周多吃了总数的，还剩下17kg。这袋大米一共有（　　）kg。 A．56 B．39 C．73 D．48 4．（2024六上·瑶海期末）小云倒出一瓶饮料的，刚好装满一个容量是240毫升的玻璃杯。她把这瓶饮料分给了客人，分给客人　 　毫升，还剩　 　毫升。 5．（2023六上·河北期中） 公顷的 是　 　公顷．　 　米的 是100米． 6．（2023六上·福田月考）水结成冰，体积比原来增加了，这里是把　 　看作“单位1”。如果冰的体积是36立方米，原来的水有　 　 立方米。 7．（2024六上·英山期末）下面各题怎样简便就怎样算 （＋）×48 23×＋8× 8.7×－3.2÷ 80× ÷（＋） ×1.8＋0.25×8.9－25%×0.7 8．（2023六上·期末）夕阳红旅行团乘车从乌鲁木齐到天池行驶4小时，冬令营旅行团乘车从天池到乌鲁木齐行驶3小时，两车同时分别从乌鲁木齐和天池出发，几小时后相遇？ 9． （2023六上·期末）有着3500多年历史的盘龙城遗址是我国商代前期的城址，是武汉的城市之根。盘龙城国家考古遗址公园的核心保护区面积为1.39平方千米，比公园规划占地面积的多0.08平方千米，公园规划占地面积是多少平方千米？ 拔高题真题训练 10．有甲、乙两堆玻璃球，从甲堆玻璃球中拿出给乙堆，这时两堆玻璃球的数量相等，那么原来乙堆玻璃球是甲堆玻璃球的（　　）。 A． B． C． D． 11．（2023六上·鹿邑期末）一桶洗衣液重5千克，用去它的后，又倒入剩余洗衣液的，现在桶里的洗衣液比5千克（　　）｡ A．多 B．少 C．一样多 D．无法确定 12．（2021六上·京山期末）一辆汽车从甲地到乙地，行了全程的 ，离中点还有30千米，全程是（　　）。 A．300千米 B．150千米 C．75千米 D．50千米 13．（2023六上·玉龙月考）甲数比乙数多，则乙数与甲数的比是　 　，乙数比甲数少　 　。 14．（2023六上·黄岛期末）小明和小亮手中都有一些卡片，小明给了小亮10张后，小亮的卡片是小明的。已知小亮原有50张卡片，小明原来有　 　张卡片。 15．一根铁丝，第一次剪去了全长的，第二次剪去所剩铁丝的，第三次剪去所剩铁丝的， 第次剪去所剩铁丝的，这时量得所剩铁丝为米，那么原来的铁丝长　 　米。 16．客车与货车同时从甲地开往乙地，当客车行了全程的时，货车行了120千米，当客车到达乙地时，货车行了全程的。甲乙两地相距　 　千米。 17．（2020六上·东莞期末）脱式计算，能简便的要简便． （1）3 ÷[5 ﹣4.5×（20%+ ）] （2）6 ×0.125+ （3）121×（ ）×141 （4） 18．（2024六上·江汉期末）修一段水渠，甲施工队单独修要20天完成，乙施工队单独修要15天完成。两队合修6天后，剩下的任务只安排一个队完成。至少还要多少天可以完成任务? 19．（2023六上·五华月考）一本书，小华已经看了52页，剩下的他准备8天看完，如果每天看的页数相等，3天看的页数正好为全书的，这本书共有多少页？ 20．一项工作，甲、乙、两三人合作6时可以完成。如果甲工作6时后，乙、丙合作2时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合作3时后，丙做6时，也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合作，需几时完成？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$