专题02 从立体图形到平面图形【六大考点+知识串讲】-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题02 从立体图形到平面图形 考点类型 考点一遍过 考点1：从不同方向看几何体 典例1：一个几何体由一些完全相同的小立方块搭成，从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下，那么搭成这样一个几何体，最少需要a个这样的小立方块，最多需要b个这样的小立方块，则（） A． B． C．1 D． 【变式1】如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图． 那么构成这个立体图形的小正方体有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式2】用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示． 请从A，B两题中任选一题作答．我选择___________题． A．搭成该几何体的小立方块最少有 个． B．根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出 种不同的图形． 【变式3】如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则从正面、左面、上面看到的形状图没有发生变化的是 ． 考点2：画不同方向看几何体的平面图 典例2：如图是一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． (2)若每个小立方块的边长为1，则该几何体的表面积为______． 【变式1】（1）如图是由7个小正方体（每个小正方体的棱长都是1）所堆成的几何体．请画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图． （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面看和从上面看观察到的形状图不变，最多可以再添加________块小正方体．    【变式2】如图1，在平整的地面上，用8个棱长都为1cm的小正方体堆成一个几何体． (1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图（一个网格为小立方体的一个面）． (2)图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是　　cm2． 【变式3】完成下列各题 (1)图①是由几个大小相同的小立方体搭成的几何体，请在给出的网格中画出从正面看到的这个 几何体的形状图； (2)图②是由几个大小相同的小立方体搭成的几何体，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小立方体的个数．请在给出的网格中画出从左面看到的这个几何体的形状图． 考点3：由展开图计算几何体的表面积 典例3：如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】一个无盖的三棱柱笔筒（底部为直角三角形）的尺寸如图所示（单位：厘米），若要制作这个笔筒至少要用（　　）平方厘米的铁皮． A．1440 B．1536 C．1632 D．1648 【变式2】如图是一个底面为正方形的四棱柱的展开图，图上的数字代表棱柱各条棱的长度（单位：cm），则该棱柱的表面积是 cm2．         【变式3】如图，这是一个长方体的表面展开图．（单位：cm）    （1）这个长方体的表面有 个完全相同的长方形． （2）它的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米． 【变式4】如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图 从正面看    从左面看   从上面看 (1)这个几何体的名称是______； (2)由图中数据计算此几何体的侧面积（结果保留） (3)画出该几何体的大致展开图． 【变式5】某种包装盒的形状是长方体，长比高的三倍多2，宽的长度为3分米，它的展开图如图所示（不考虑包装盒的黏合处） (1)设该包装盒的高为分米，则该长方体的长为______分米，边的长度为______分米；（用含的式子表示） (2)若的长为12分米，现对包装盒外表而涂色，每平方分米涂料的价格是0.5元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色） 考点4：由展开图计算几何体的体积 典例4：如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 【变式1】如图，这是一个长方体形状包装盒的表面展开图，折叠制作完成后得到的长方体的容积是（包装材料厚度不计）（    ）    A． B． C． D． 【变式2】某小组开展“无盖长方形纸盒制作”的综合实践活动，他们准备在一张长为，宽为的长方形纸板上按照如图的方式进行裁剪，剪去阴影部分后，再将剩余纸板沿虚线折合．若，则折合后的无盖纸盒体积为 ． 【变式3】如图是一个长方体的展开图，此长方体的底面为正方形，根据图中标示的长度，此长方体的体积是 ． 【变式4】如图所示，在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子．请回答下列问题： (1)剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为________； (2)如果设原来这张正方形纸片的边长为acm，所折成的无盖长方体盒子的高为hcm，那么这个无盖长方体盒子的容积可以表示为________(用含a，h的代数式表示，无需化简．) (3)如果原正方形纸片的边长为20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm 时，计算折成的无盖长方体盒子的容积得到下表，请补全表格． 剪去的小正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 折成的无盖长方体的容积 324 576 500 384 252 128 36 0 (4)观察表格，当剪去的小正方形边长为整数，且等于________cm时，折成的无盖长方体盒子的容积最大． 【变式5】综合与实践 某兴趣小组利用长为a 厘米，宽为b 厘米的长方形纸板制作长方体纸盒，做了以下尝试：（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)如图1，若，先在纸板四角剪去4个同样大小边长为c 厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．此时，b与c的数量关系为_______ (2)如图2，若，先在纸板四角剪去4个同样大小边长为c 厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒，为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满，此时，b与 c的数量关系为_______． (3)若，在纸板四角剪去4个同样大小边长为c 厘米的小正方形，恰好可以制作成一个无盖的长方体纸盒，请你通过列表研究，c取何整数时，所得长方体的体积V最大？ 1 2 3 4 5 180 256 252 192 100 考点5：求展开图上两点折叠后的距离 典例5：如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【变式1】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 【变式3】如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ． 考点6：截一个几何体 典例6：如图，木工师父要用一个平面从圆柱形木段的上底面截至下底面，截面的形状不可能是（　　）    A．   B．   C．   D．   【变式1】如图，用虚线所示平面切割一块长方体的铁块，则截面形状是（   ） A． B． C． D． 【变式2】将如图所示的长方体用过的平面切割，得到的两个几何体是 ． 【变式3】如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面有 个面．    考点7：平面图形形状的识别 典例6：正方形纸片剪去一个角后，得到的图形不可能是（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式1】将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（　　）    A．   B．   C．   D．   【变式2】如图所示的纸带，( )是莫比乌斯带，图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，( )（填“能”或“不能”）吃到纸带内的面包屑． 【变式3】如图所示，分别将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为E，F，G，H的四个图形，则剪前与剪后拼接的图形的对应关系是：A与 对应，B与 对应，C与 对应，D与 对应． 考点6：用七巧板拼图形 典例6：七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形就是由七巧板拼成的．下面四个选项中，不正确的是（    ）    A．用一副七巧板之中的三块板可以拼出一个正方形 B．用一副七巧板之中的四块板可以拼出一个正方形 C．用一副七巧板之中的五块板可以拼出一个正方形 D．用一副七巧板之中的六块板可以拼出一个正方形 【变式1】下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的“七巧板”拼成的，则不是小明拼成的那幅图是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图1，分割边长的正方形，制作一副七巧板，图2是用这副七巧板拼成的“小房子”，其中阴影部分的面积为 ． 【变式3】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图1，图1的轮廓是一个边长为a的正方形，其中，小等腰直角三角板M的面积为，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼成一个新的图形，其轮廓和M板的位置如图2所示，则图2的面积为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 从立体图形到平面图形 考点类型 考点一遍过 考点1：从不同方向看几何体 典例1：一个几何体由一些完全相同的小立方块搭成，从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下，那么搭成这样一个几何体，最少需要a个这样的小立方块，最多需要b个这样的小立方块，则（） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了几何体的三视图，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．由图可得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可，最后将的值代入即可求解． 【详解】解：综合主视图和俯视图，这个几何体的底层有4个小正方体， 第二层最少有2个，最多有4个， 因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为∶(个)， 至多需要小正方体木块的个数为∶(个)， 故选∶A． 【变式1】如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的三种视图． 那么构成这个立体图形的小正方体有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查了三视图的掌握和运用能力，根据图形易得图形一共有2层，俯视图得第一层个数，主视图和左视图得第二层个数，记住口诀：俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违规即可解题． 【详解】解：由俯视图可知，图形最底层有4个，第二层有1个正方体， ∴共有个正方体． 故选：B． 【变式2】用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示． 请从A，B两题中任选一题作答．我选择___________题． A．搭成该几何体的小立方块最少有 个． B．根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出 种不同的图形． 【答案】 6 7 【分析】A．根据从左面看和从上面看的图形，在从上面看的图形上相应位置标出摆放的数量即可； B．分别在从上面看到的图形上标出摆放的各种不同的情况即可． 【详解】解：A．如图，是符合条件的其中一种摆放方法， 共需要6个小立方体， 故答案为：6； B．将不同情况的摆放方式，在俯视图上标注出来如下： 共有7种不同的摆放方式， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了从不同方向看简单组合体，理解视图的定义，掌握简单组合体的画法及形状是正确解答的前提． 【变式3】如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则从正面、左面、上面看到的形状图没有发生变化的是 ． 【答案】左面和上面 【分析】此题考查了从不同方向看几何体，根据从不同方向看到的图可得． 【详解】解：从上面看得到的图形都是第一层三个小正方形，第二层是一个小正方形，从左边看都是第一层是一个小正方形，第二层两个小正方形， 故答案为：左面和上面． 考点2：画不同方向看几何体的平面图 典例2：如图是一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． (2)若每个小立方块的边长为1，则该几何体的表面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，求几何体的表面积等，正确识图是解题的关键． （1）根据从三个方向看到的小正方形的个数作图即可； （2）根据从各个方向看到的小正方形的个数，再乘以每个小正方形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：该几何体的表面积为：． 【变式1】（1）如图是由7个小正方体（每个小正方体的棱长都是1）所堆成的几何体．请画出这个几何体从正面、左面、上面三个方向看到的形状图． （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从左面看和从上面看观察到的形状图不变，最多可以再添加________块小正方体．    【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体： （1）根据所给几何体，画出其从三个方向看到的图形即可； （2）保持从左面看和从上面看观察到的形状图不变，找到每个位置小正方体最多的数量的情况即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求；    （2）如图所示，保持从左面看和从上面看观察到的形状图不变，每个位置上小正方体最多的数量如下所示：    ∴最多可以再添加块小正方体． 【变式2】如图1，在平整的地面上，用8个棱长都为1cm的小正方体堆成一个几何体． (1)请利用图2中的网格画出这个几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图（一个网格为小立方体的一个面）． (2)图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是　　cm2． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】此题考查了不同方向看几何体所得的形状图，解题的关键是确定几何体在不同方向上的形状图． （1）根据正面、左面和上面三个方向看几何体的形状，画图即可； （2）分前后，左右，上下三个方向统计正方形的个数即可． 【详解】（1）解：从正面看、从左面看和从上面看到的形状图如图所示： ； （2）解：表面积． 故答案为：32． 【变式3】完成下列各题 (1)图①是由几个大小相同的小立方体搭成的几何体，请在给出的网格中画出从正面看到的这个 几何体的形状图； (2)图②是由几个大小相同的小立方体搭成的几何体，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小立方体的个数．请在给出的网格中画出从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了从不同方向看，理解不同方向看的意义，画图即可 （1）根据从正面看的意义，画图即可； （2）理解从从左面看的意义，画图即可； 【详解】（1）根据题意，画图如下： （2）根据题意，画图如下： 考点3：由展开图计算几何体的表面积 典例3：如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆柱的有关计算，本题中半圆形截面的弧长就是塑料薄膜的一边，弄清了这点，计算薄膜的面积就容易多了．由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积，半圆形截面弧长为：，再加上前后两个半圆面积，进而得出塑料膜的面积． 【详解】解：塑料膜的面积． 故选：C． 【变式1】一个无盖的三棱柱笔筒（底部为直角三角形）的尺寸如图所示（单位：厘米），若要制作这个笔筒至少要用（　　）平方厘米的铁皮． A．1440 B．1536 C．1632 D．1648 【答案】B 【分析】计算三棱柱的无盖表面积即可． 【详解】解：由题意知，笔筒的表面积为：（平方厘米）． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了几何体的表面积．解题的关键在于正确的运算． 【变式2】如图是一个底面为正方形的四棱柱的展开图，图上的数字代表棱柱各条棱的长度（单位：cm），则该棱柱的表面积是 cm2．         【答案】66 【分析】本题主要考查简单几何体的展开与折叠，根据棱柱展开图的特征来计算表面积即可． 【详解】解：由题图可知，该棱柱的底面是边长为的正方形，侧面由四个长，宽的长方形组成，所以侧面积为：，底面积为：表面积为． 故答案为：66． 【变式3】如图，这是一个长方体的表面展开图．（单位：cm）    （1）这个长方体的表面有 个完全相同的长方形． （2）它的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米． 【答案】 4 256 256 【分析】（1）由长方体的表面展开图可直接得出答案； （2）根据长方体的表面积公式和体积公式列式计算即可． 【详解】解：由长方体的表面展开图可知：长方体的底面是边长为的正方形，高为； （1）这个长方体的表面有4个完全相同的长方形； （2）它的表面积是平方厘米，体积是立方厘米； 故答案为：（1）4；（2）256，256． 【点睛】本题考查了简单几何体的平面展开图，熟记长方体的表面积公式和体积公式是解题的关键． 【变式4】如图所示的是从不同方向观察一个几何体得到的形状图 从正面看    从左面看   从上面看 (1)这个几何体的名称是______； (2)由图中数据计算此几何体的侧面积（结果保留） (3)画出该几何体的大致展开图． 【答案】(1)圆柱 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，以及几何体的展开图，理解圆柱的特征是解答本题的关键． （1）根据从不同方向看到的图形判断即可； （2）根据圆柱的侧面积公式计算即可； （3）根据圆柱的特征画出展开图即可． 【详解】（1）由从不同方向看到的形状可知该几何体是圆柱． 故答案为：圆柱； （2）由图可知，圆柱体的底面直径为2，高为3， 所以侧面积． （3）如图， 【变式5】某种包装盒的形状是长方体，长比高的三倍多2，宽的长度为3分米，它的展开图如图所示（不考虑包装盒的黏合处） (1)设该包装盒的高为分米，则该长方体的长为______分米，边的长度为______分米；（用含的式子表示） (2)若的长为12分米，现对包装盒外表而涂色，每平方分米涂料的价格是0.5元，求为每个包装盒涂色的费用是多少？（注：包装盒内壁不涂色） 【答案】(1)， (2)为每个包装盒涂色的费用是23元 【分析】根据长比高的三倍多2，及展开图即可求解， 根据的长为12分米，可求的值，进而求出表面积，根据每平方分米涂料的价格即可求解， 本题考查了几何体的展开图，求几何体的表面积，解题的关键是：确定几何体的长宽高． 【详解】（1）解：长比高的三倍多2，， ，， 故答案为：，， （2） 的长为12分米， ，解得：， （分米），（分米）， 长方体的表面积为：（平方分米）， 费用为：（元）， 故答案为：为每个包装盒涂色的费用是23元． 考点4：由展开图计算几何体的体积 典例4：如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 【答案】D 【分析】本题主要考查长方体体积的计算方法，熟练根据图求出长、宽、高是解题关键．利用图形求出长方体的宽及长即可． 【详解】解：∵长方体的底面为正方形，由图可知底面周长为12， ∴长方体的底面边长为：， ∴长方体的高为：， ∴长方体箱子的体积为，， 故选：D． 【变式1】如图，这是一个长方体形状包装盒的表面展开图，折叠制作完成后得到的长方体的容积是（包装材料厚度不计）（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表面展开图确定长方体的长、宽、高，进而求解容积． 【详解】解：由展开图，知长方体的长、宽、高分别为：70、40、80， ∴容积为； 故选：D 【点睛】本题考查几何体的表面展开图，由表面展开图确定长方体的长、宽、高是解题的关键． 【变式2】某小组开展“无盖长方形纸盒制作”的综合实践活动，他们准备在一张长为，宽为的长方形纸板上按照如图的方式进行裁剪，剪去阴影部分后，再将剩余纸板沿虚线折合．若，则折合后的无盖纸盒体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和折叠的性质．设，，则，解得，再根据长方体的体积公式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴折合后的无盖纸盒体积为， 故答案为：． 【变式3】如图是一个长方体的展开图，此长方体的底面为正方形，根据图中标示的长度，此长方体的体积是 ． 【答案】81 【分析】本题考查几何体的展开图，根据展开图，可以求得原来长方体的底面的边长和高，然后根据长方体的体积公式计算即可． 【详解】解：设展开图中的长方形的长为a，宽为b, ， 解得， ∴此长方体的体积是：． 故答案为：81． 【变式4】如图所示，在一张正方形纸片的四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子．请回答下列问题： (1)剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为________； (2)如果设原来这张正方形纸片的边长为acm，所折成的无盖长方体盒子的高为hcm，那么这个无盖长方体盒子的容积可以表示为________(用含a，h的代数式表示，无需化简．) (3)如果原正方形纸片的边长为20cm，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，8cm，9cm，10cm 时，计算折成的无盖长方体盒子的容积得到下表，请补全表格． 剪去的小正方形的边长/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 折成的无盖长方体的容积 324 576 500 384 252 128 36 0 (4)观察表格，当剪去的小正方形边长为整数，且等于________cm时，折成的无盖长方体盒子的容积最大． 【答案】(1)相等 (2) (3)512，588 (4)3 【分析】此题主要考查了几何体的体积求法以及展开图问题，根据题意表示出长方体体积是解题关键． （1）根据折叠图形的几何意义即可解答； （2）根据长方体体积公式即可解答； （3）将，3分别代入体积公式，即可求出，的值； （4）根据材料一定时长方体体积与底面积和高都有关并结合（3）的结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：由折叠可知，剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体盒子的高之间的大小关系为相等； 故答案为：相等； （2）解：这个无盖长方体盒子的容积； 故答案为：； （3）解：当剪去的小正方形的边长取2时，， 当剪去的小正方形的边长取3时，， 故答案为：512，588； （4）解：当剪去的小正方形的边长的值逐渐增大时，所得到的无盖长方体纸盒的容积的值先增大后减小， 当剪去的小正方形的边长为时，所得到的无盖长方体纸盒的容积最大． 故答案为：3． 【变式5】综合与实践 某兴趣小组利用长为a 厘米，宽为b 厘米的长方形纸板制作长方体纸盒，做了以下尝试：（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)如图1，若，先在纸板四角剪去4个同样大小边长为c 厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．此时，b与c的数量关系为_______ (2)如图2，若，先在纸板四角剪去4个同样大小边长为c 厘米的小正方形，再沿虚线折起来就可以做成一个无盖的长方体纸盒，为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满，此时，b与 c的数量关系为_______． (3)若，在纸板四角剪去4个同样大小边长为c 厘米的小正方形，恰好可以制作成一个无盖的长方体纸盒，请你通过列表研究，c取何整数时，所得长方体的体积V最大？ 1 2 3 4 5 180 256 252 192 100 【答案】(1)； (2)； (3)2． 【分析】本题主要考查立方体的性质与展开图及体积，根据高的变化求得对应长和宽的数量关系： （1）根据立方体边之间的关系列等式即可求得b与c之间的数量关系； （2）根据剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满，列出即可求得答案； （3）根据表格中的数据可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵在纸板四角剪去四个同样大小边长为c厘米的小正方形， ∴剩余长为， ∵剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满， ∴此时的长为， ∴， ∴； （3）解：由表格中的数据可知，当时，随着c的增大，体积V逐渐减小，并且当时V的值大于时V的值， ∴当时，所得长方体的体积V最大． 考点5：求展开图上两点折叠后的距离 典例5：如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 【变式1】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 【变式2】如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 【答案】3 【分析】将正方体的展开图叠成一个正方体，A、B刚好是同一个面的对角线，于是可以求出结果． 【详解】将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为两倍对角线为6，那么对角线的长度就是， 即正方体上两点间的距离为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开与折叠，将正方体的展开图正确折叠是解题的关键，难点在于确定A、B两点折叠后的位置． 【变式3】如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是 ． 【答案】2 【分析】将图1折成正方体，然后判断出在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离． 【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键． 考点6：截一个几何体 典例6：如图，木工师父要用一个平面从圆柱形木段的上底面截至下底面，截面的形状不可能是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体，根据用一个平面从圆柱形木段的上底面截至下底面，得出截面的形状即可． 【详解】解：用一个平面从圆柱形木段的上底面截至下底面，得出截面的形状可以是选项A，B，D的图形，不可能是选项C的图形， 故选：C 【变式1】如图，用虚线所示平面切割一块长方体的铁块，则截面形状是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据题意可知截面的四个角是直角，从而可得答案． 【详解】解：根据题意可知，截面是一个长方形， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选C． 【变式2】将如图所示的长方体用过的平面切割，得到的两个几何体是 ． 【答案】三棱柱 【分析】本题考查截一个几何体．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．要利用本题中截面的特殊性求解．解题的关键是根据棱柱的定义进行分析． 【详解】解：如图，如图所示的长方体用过的平面切割，得到两个几何体的两个底面都是三角形，三个侧面都是长方形， ∴得到的两个几何体都是三棱柱． 故答案为：三棱柱． 【变式3】如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面有 个面．    【答案】7 【分析】本题考查了立体图形的认识，截面的形状．观察图形，数剩下的几何体的面数和棱数即可． 【详解】解：观察图形可知：剩下的几何体有7个面． 故答案为：7． 考点7：平面图形形状的识别 典例6：正方形纸片剪去一个角后，得到的图形不可能是（  ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】画出图形即可作答． 【详解】有如下裁剪的方式： 裁剪之后，得到的分别是五边形、四边形以及三角形，无法得到六边形， 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的裁剪，读懂题意，正确画出图形，是解答本题的关键． 【变式1】将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来． 【详解】解：将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是： 故选：A． 【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现，同时要注意菱形的判断方法． 【变式2】如图所示的纸带，( )是莫比乌斯带，图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，( )（填“能”或“不能”）吃到纸带内的面包屑． 【答案】 ② 不能 【分析】本题考查了数学常识，根据莫比乌斯带的特点：莫比乌斯带是把纸条儿的一端扭转，再将两端粘在一起，做成只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈．可以判断，图②是莫比乌斯带；根据图①的特点，蚂蚁不爬过纸带的边缘，无法进入纸带的内部，也就无法吃到面包屑，正确识别莫比乌斯带和普通丝带是解题的关键． 【详解】解：根据定义可知如图所示的纸带，②是莫比乌斯带，图①中的蚂蚁如果不爬过纸带的边缘，不能吃到纸带内的面包屑， 故答案为：②；不能． 【变式3】如图所示，分别将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为E，F，G，H的四个图形，则剪前与剪后拼接的图形的对应关系是：A与 对应，B与 对应，C与 对应，D与 对应． 【答案】 G E F H 【分析】根据各图形组成的特征找出对应关系．本题考查了图形的剪拼，解题的关键是找到各图形间的组合关系． 【详解】解：A剪开后是三个三角形， B剪开后是两个直角梯形和一个三角形， C剪开后是一个直角三角形和两个四边形， D剪开后是两个三角形和一个四边形， 因而，A与G对应，B与E对应，C与F对应，D与H对应． 故答案为：G，E，F，H． 考点6：用七巧板拼图形 典例6：七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形就是由七巧板拼成的．下面四个选项中，不正确的是（    ）    A．用一副七巧板之中的三块板可以拼出一个正方形 B．用一副七巧板之中的四块板可以拼出一个正方形 C．用一副七巧板之中的五块板可以拼出一个正方形 D．用一副七巧板之中的六块板可以拼出一个正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了七巧板拼图，正确理解题意画出示意图是解题的关键． 【详解】解：如图所示，用一副七巧板之中的三块或四块或五块都可以拼成正方形，但是六块不可以拼成正方形    故选：D． 【变式1】下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的“七巧板”拼成的，则不是小明拼成的那幅图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形拼接与勾股定理，根据勾股定理求出各图形的边长是解答本题的关键．设正方形的边长为2，则①②都是直角边为的等腰直角三角形，据此还可得到其余图形的各边长；接下来结合勾股定理可判断边长之间的关系，据此可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为2，从而可知①②都是直角边为的等腰直角三角形； ③⑥都是直角边为的等腰直角三角形，斜边为1； ④是两邻边长分别为1和的平行四边形； ⑤是边长为的正方形； ⑦是直角边为1的等腰直角三角形， 观察图形： ③的斜边与④的短边的和为，①的斜边为2，不可能重合，故七巧板构不成图案C． 故选C． 【变式2】如图1，分割边长的正方形，制作一副七巧板，图2是用这副七巧板拼成的“小房子”，其中阴影部分的面积为 ． 【答案】32 【分析】此题主要考查了七巧板问题，以及正方形、三角形的面积的求法，要熟练掌握． 根据图示，可得阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积的一半． 【详解】解：延长对角线到，如图所示： ， 阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积的一半，即， 则由题意得（）， 故答案为：32． 【变式3】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图1，图1的轮廓是一个边长为a的正方形，其中，小等腰直角三角板M的面积为，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼成一个新的图形，其轮廓和M板的位置如图2所示，则图2的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查七巧板，熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系，是解题的关键． 根据七巧板中，各部分的面积关系，利用割补法求出面积即可． 【详解】由图形可知：图1是由大正方形中，这七部分组成的，图2是由这六部分组成的， ∴图2的面积等于图1的面积减去正方形A的面积， ∵，小等腰直角三角板M的面积为， 即：图2的面积 ； 故答案为：7． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$