第04讲 认识无理数（1个知识点+1种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第04讲 认识无理数（1个知识点+1种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 题型强化 题型一．无理数 1．（2023秋•甘州区校级期末）下列各数中，无理数是　　 A． B． C．0 D． 2．（2022秋•蒲城县期末）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是 　　． 3．请说出下列数学名词的定义： （1）无理数； （2）直角三角形； （3）角平分线． 分层练习 一、单选题 1．下列各数中，不是无理数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列一组数（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 4．在，，，2022这四个数中，无理数是（    ） A． B．1.414 C． D．2022 5．在实数4.21，π，，，2，， 中，无理数有 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．在 ，， ，2这五个数中，无理数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．如图，在的正方形网格中有一个不规则的四边形，则该四边形中边长为无理数的边共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 9．小正方形边长为，下列图中的三角形，三条边长都是无理数的是（   ） A． B． C． D． 10．下列各数：（每两个1之间多1个0），其中是无理数的有（    ）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 11．在，，，0，，中，无理数有 个． 12．下列5个数：0，π，，9，中，其中无理数有 个． 14．在实数，，，，，中，无理数有 ． 15．在，，，，（每两个2之间1的个数逐次加1），中，无理数有 个． 16．下列各数：，，，中，无理数有 个． 17．在实数、5.0101001中，无理数有 个． 18．如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么这些线段中，有 条线段的长度为无理数．    三、解答题 19．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段．试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段． 20．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数； (2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2，． 21．下列各数中，0.351，，，3.14159，，…（相邻两个2之间3的个数逐次加1)，0. (1)有理数有，__________； (2)无理数有：__________； (3)分数有：____________； (4)正数有：____________. 22．在下列网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶点均在格点上，且满足：    （1）三边均为有理数；（2）其中只有一边为无理数． 23．把下列各数填入相应的横线里： ，，，0，0.8，，， 正有理数集合： ； 整数集合： ； 负分数集合： ； 无理数集合： ． 24．把下列各数写入相应的集合中：-，，0.1，，，，0，0.1212212221．．． （相邻两个1之间2的个数逐次加1）   （1）正数集合{                                   }； （2）有理数集合{                                   }； （3）无理数集合{                                  }． 25．(1)在如下6×6的网格中（每个小正方形边长均为1）．画出一个面积为10的正方形； (2)在如图所示数轴上找到表示的点（保留画图痕迹）． 26．阅读与应用： 下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2022年9月22日                                                            天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍为原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： (1)“拓展思考”中，线段的长为______，的长为______；点B表示的数为______，点表示的数为______． (2)请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M，N； B．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 认识无理数（1个知识点+1种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数． 无理数常见的三种类型 （1）开不尽的方根，如等． （2）特定结构的无限不循环小数， 如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）． （3）含有π的绝大部分数，如2π． 注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 题型强化 题型一．无理数 1．（2023秋•甘州区校级期末）下列各数中，无理数是　　 A． B． C．0 D． 【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：、，是整数，属于有理数，不符合题意；， 、是无理数，符合题意 、0是整数，属于有理数，不符合题意； 、是分数，属于有理数，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 2．（2022秋•蒲城县期末）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是 　（答案不唯一）　． 【分析】此时是一道开放型的题目，答案不唯一，根据无理数的定义得出即可． 【解答】解：无理数为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数是指无限不循环小数． 3．请说出下列数学名词的定义： （1）无理数； （2）直角三角形； （3）角平分线． 【分析】（1）根据无理数的定义解答； （2）根据直角三角形的定义解答； （3）根据角平分线的定义解答． 【解答】解：（1）无理数是无限不循环小数； （2）有一个内角等于的三角形叫做直角三角形； （3）从一个角的顶点出发的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫这个角的平分线． 【点评】本题主要考查了无理数，直角三角形以及角平分线，熟记相关定义是解答本题的关键． 分层练习 一、单选题 1．下列各数中，不是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数定义，解题的关键是熟记无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐项判定即可． 【详解】解：由无理数定义可得： ， 是有理数， ， 都是无理数， 故选：B． 2．下列一组数（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数定义．根据无理数与有理数的概念进行判断即可得． 【详解】解： (相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有： (相邻两个1之间依次增加一个0)，共2个， 故选：C. 3．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数为无理数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、是负整数，不是无理数，故该选项是错误的； B、0是整数，不是无理数，故该选项是错误的； C、是正分数，不是无理数，故该选项是错误的； D、是无限不循环小数，是无理数，故该选项是正确的； 故选：D． 4．在，，，2022这四个数中，无理数是（    ） A． B．1.414 C． D．2022 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．根据无理数的概念判断即可． 【详解】解：在，，，2022这四个数中，无理数是， 故选：C 5．在实数4.21，π，，，2，， 中，无理数有 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：依题意，都不是无理数， ∴在实数4.21，π，，，2，， 中，无理数有， 故选：B． 6．在 ，， ，2这五个数中，无理数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：在 ，， ，2这五个数中，无理数有， 共2个； 故选A． 7．实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】是有理数，不符合题意； 是分数，属于有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； （相邻两个之间1的个数依次加）是无理数，符合题意； ∴无理数有个， 故选：． 8．如图，在的正方形网格中有一个不规则的四边形，则该四边形中边长为无理数的边共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，无理数的判断等知识，运用勾股定理求出每条边，再判断即可． 【详解】解：依题意得：，，，， ∴其中，，是无理数，5是有理数， ∴的长都是无理数，共3条， 故选：C． 9．小正方形边长为，下列图中的三角形，三条边长都是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．此题根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长，然后根据无理数的定义即可得出答案． 【详解】解：A、中的三角形三边长分别是：，，，三条边长都是无理数，故该选项符合题意； B、中的三角形三边长分别是：，，2，只有两条边长是无理数，故该选项不符合题意； C、中的三角形三边长分别是：2，，，只有一条边长是无理数，故该选项不符合题意； D、中的三角形三边长分别是：2，4，，只有一条边长是无理数，故该选项不符合题意． 故选：A． 10．下列各数：（每两个1之间多1个0），其中是无理数的有（    ）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 无理数有：，共4个． 故选：B． 二、填空题 11．在，，，0，，中，无理数有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 【详解】解：无理数为，，，共有3个， 故答案为：3． 12．下列5个数：0，π，，9，中，其中无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查无理数，熟知初中阶段接触的无理数主要有以下三种形式：①开不尽方的数；②含有的数；③像这样有规律但不循环的数．根据无理数即为无限不循环小数进行解答即可． 【详解】解：这5个数中，是无理数的有π，，共2个． 故答案为：2 13．已知实数，0.16，3，，，，其中为无理数的有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了无理数定义．初中范围内学习的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如，等．注意解答此类问题时，常常要结合有理数概念来求解． 【详解】解：，0.16，3，是有理数，，是无理数，共2个无理数， 故答案为：2． 14．在实数，，，，，中，无理数有 ． 【答案】，， 【分析】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数是解答本题的关键． 【详解】解：为有限小数，为无限循环小数，为分数，此三数为有理数， ，，为无理数， 故答案为：，，． 15．在，，，，（每两个2之间1的个数逐次加1），中，无理数有 个． 【答案】 【分析】根据无理数的常见形式①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个），进行逐一判断即可． 【详解】解：由题意得 无理数有：，，（每两个2之间1的个数逐次加1）； 故答案：. 【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数是无理数，掌握无理数的常见形式是解题的关键． 16．下列各数：，，，中，无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的某些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】是分数，属于有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是有限小数，是有理数，不符合题意； ∴无理数有个， 故答案为：． 17．在实数、5.0101001中，无理数有 个． 【答案】2 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】解： 无理数有， 故答案为：2． 18．如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么这些线段中，有 条线段的长度为无理数．    【答案】20 【分析】由题意可得出（且n为正整数），再根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； …； ∴（且n为正整数）， ∴到的长度分别为1，，，…，． ∵当，4，9，16，25时，为有理数， ∴n为其余数时为无理数，有个， ∴有20条线段的长度为无理数． 故答案为：20． 【点睛】本题考查勾股定理，无理数的定义．利用勾股定理求得直角三角形的斜边长，进而发现规律是解本题的关键． 三、解答题 19．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段．试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段． 【答案】见详解． 【分析】根据有理数常见的类别直接作出整数线段即可；无理数包括无限不循环小数和开方不能开尽的数，据此利用勾股定理即可确定无理数线段． 【详解】解：图中线段，的长度能用有理数表示，线段，的长度不能用有理数表示，理由如下： ，，均能用有理数表示； ，，均不能用有理数表示， ∴线段，的长度能用有理数表示，线段，的长度不能用有理数表示（答案不唯一）． 【点睛】题目主要考查有理数和无理数常见的类别，利用勾股定理确定无理数是解题关键． 20．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数； (2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）借助格点，根据勾股定理构造直角三角形，从而得到三边为无理数的三角形； （2）借助格点，根据勾股定理构造三边长分别为3，2，的三角形 【详解】（1）三边长分别为，如图所示， （2）三边长分别为3，2，如图所示， 【点睛】本题考查利用勾股定理画图．掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，并能根据题中限制条件画图是解题关键． 21．下列各数中，0.351，，，3.14159，，…（相邻两个2之间3的个数逐次加1)，0. (1)有理数有，__________； (2)无理数有：__________； (3)分数有：____________； (4)正数有：____________. 【答案】（1）0.351，，，3.14159，0 （2），（相邻两个2之间3的个数逐次加1) （3）0.351，，，3.14159 （4）0.351,3.14159， 【分析】无限不循环小数是无理数，有限小数或无限循环小数都是有理数，整数和分数统称有理数. 【详解】(1)有理数有:0.351，，，3.14159，0； (2)无理数有：，（相邻两个2之间3的个数逐次加1)； (3)分数有：0.351，，，3.14159； (4)正数有：0.351,3.14159， 故答案为(1). 0.351，，，3.14159，0    (2). ，（相邻两个2之间3的个数逐次加1)    (3). 0.351，，，3.14159    (4). 0.351,3.14159， 【点睛】考核知识点：无理数和有理数.理解相关定义是关键. 22．在下列网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶点均在格点上，且满足：    （1）三边均为有理数；（2）其中只有一边为无理数． 【答案】答案见解析 【分析】（1）由勾股定理得出5，画出图形即可； （2）由勾股定理得出直角边长为2、斜边长为的等腰直角三角形，画出图形即可． 【详解】（1）5， △ABC即为所求， 如图1所示； （2）由勾股定理得： ， △DEF即为所求， 如图2所示． 【点睛】本题考查了勾股定理、实数的定义；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键． 23．把下列各数填入相应的横线里： ，，，0，0.8，，， 正有理数集合： ； 整数集合： ； 负分数集合： ； 无理数集合： ． 【答案】；；；. 【分析】根据无理数的定义，以及有理数的分类进行解答，即可得到答案. 【详解】解：∵，，，0，0.8，，，， ∴正有理数集合：； 整数集合：； 负分数集合：； 无理数集合：； 故答案为：；；；. 【点睛】本题考查了无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是正确的把有理数和无理数进行分类. 24．把下列各数写入相应的集合中：-，，0.1，，，，0，0.1212212221．．． （相邻两个1之间2的个数逐次加1）   （1）正数集合{                                   }； （2）有理数集合{                                   }； （3）无理数集合{                                  }． 【答案】（1）0.1、、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）；（2）、 0.1、 、 、0 ；（3）、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）． 【分析】根据实数的分类标准进行填写即可． 【详解】解：（1）正数集合{0.1、、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）}； （2）有理数集合{ -、 0.1、 、 、0 }； （3）无理数集合{、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1） }． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的概念是解答本题的关键． 25．(1)在如下6×6的网格中（每个小正方形边长均为1）．画出一个面积为10的正方形； (2)在如图所示数轴上找到表示的点（保留画图痕迹）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】此题涉及的知识点是图形的设计和无理数在数轴上的表示，根据要求面积为10的正方形，则边长为，根据勾股定理可以设计，无理数在数轴上的表示，根据作图方法可直接画出 【详解】解：（1）如图，正方形ABCD即为所求. （2）如图，点P即为所求. 【点睛】此题重点考查学生的动手能力，无理数在数轴上的表示方法是解题的关键 26．阅读与应用： 下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 2022年9月22日                                                            天气：晴 无理数与线段长． 今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点． 拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍为原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ 任务： (1)“拓展思考”中，线段的长为______，的长为______；点B表示的数为______，点表示的数为______． (2)请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M，N； B．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M． 【答案】(1)；；； (2)见解析 【分析】（1）记表示的数为1的点（记作C）为圆心作弧，，由等量关系可得，点B，分别在原点的右侧、左侧，注意为负数； （2）选A题：，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，与数轴相交的两个交点即为所求；选B题：以表示的数为2的点为圆心，在圆心的左侧，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后，以为半径画弧，与数轴负半轴相交的点即为所求． 【详解】（1）记表示的数为1的点（记作C）为圆心作弧， ∵圆的半径为，即， ∴；； 又点B，分别在原点的右侧、左侧， ∴点B表示的数为，点表示的数为 （2）选A题：因为，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，如图所示： 选B题：∵，∴点在数轴的负半轴； ，以表示的数为2的点为圆心，在圆心的左侧，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后，以为半径画弧，与数轴负半轴相交的点即为所求，如图所示： 【点睛】本题考查了无理数与数轴上的点的对应关系，作图时通常借助于作直角三角形，利用勾股定理得斜边或直角边． 学科网（北京）股份有限公司 $$