专题06 实数易错必刷题型专训（69题23个考点）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题06 实数易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 求一个数的算术平方根】 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）64的算术平方根是（    ） A．±8 B．8 C．±4 D．4 2．（23-24八年级上·全国·单元测试），则 ． 3．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）计算：． 【易错必刷二 利用算术平方根的非负性解题】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）设点 ，且，则点P的坐标是（　　） A．   B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）当代数式取最大值时，x的值为 ． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）若，求的平方根． 【易错必刷三 估计算术平方根的取值范围】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）估算的值（    ） A．在0到1之间 B．在1到2之间 C．在2到3之间 D．在3到4之间 2．（2024·福建厦门·二模）我国清代数学家戴煦在《对数简法》中给出了求正数的算术平方根的公式：设被开方数为x，常数a（a为整数）和r满足，，则，用该公式求87的算术平方根，则公式中的 ， ． 3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【易错必刷四 求算术平方根的整数部分和小数部分】 1．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知，若是整数，则a＝ ． 3．（23-24八年级上·山西运城·期中）定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；，． (1) ， ． (2)如果，，求的平方根． 【易错必刷五 平方根概念理解】 1．（23-24七年级下·福建·期末）下列式子中表示“16的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）一个正数有 个平方根； 有 个平方根，是 ；负数 平方根． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知与是个非负数的两个平方根，求这个非负数的值． 【易错必刷六 求一个数的平方根】 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．3是的一个平方根 B．是3的算术平方根 C．3的平方根就是3的算术平方根 D．的平方根是3 2．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）正数的平方根记作 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【易错必刷七 求代数式的平方根】 1．（23-24八年级上·河南开封·阶段练习）在实数范围内，若，则与的积的算术平方根是（    ） A．0 B．10 C． D． 2．（23-24九年级上·四川自贡·期中）若，则= ． 3．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【易错必刷八 己知一个数的平方根，求这个数】 1．（23-24七年级下·四川广安·期末）已知与是同一个正数的平方根，则m的值是（    ） A．4 B． C．或 D．5 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如果一个正数的平方根为和，则 ；这个正数为 ． 3．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）已知一个正数的平方根是和，求这个正数及的平方根． 【易错必刷九 立方根概念理解】 1．（23-24七年级下·广西百色·期中）在实数范围内，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24七年级下·广东·期末）若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ． 3．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为．求的算术平方根． 【易错必刷十 求一个数的立方根】 1．（22-23八年级上·河南开封·期末）下列说法不正确的是（    ） A．的立方根是 B． C．的平方根是 D．0没有算术平方根 2．（22-23八年级上·广西桂林·期末）化简的结果是 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中的x． (1) (2)． 【易错必刷十一 己知一个数的立方根，求这个数】 1．（22-23八年级上·湖南衡阳·期中）若，，则（    ） A． B．或 C． D．5或11 2．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）已知的立方根是，则 ． 3．（22-23八年级上·河南驻马店·开学考试）已知是64的立方根． (1)求的值； (2)求的值． 【易错必刷十二 立方根的实际应用】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）一个正方体木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，每个小正方体木块的棱长是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）正方体的体积为7，则正方体的棱长为 ． 3．（22-23八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【易错必刷十三 无理数】 1．（23-24八年级上·山西临汾·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 2．（23-24七年级下·云南昆明·期末）实数，，4，，，中，其中无理数有 个 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是，两边平方，得______________ ∴含有因数5，设，∴____________ ∴______________，∴含有因数5，∴____________ 这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数而是无理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 （填上序号） ①；②；③含有因数5；④ 【易错必刷十四 实数概念理解】 1．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）下列实数中，是无理数的为（    ） A． B．3.1415 C． D． 2．（23-24七年级下·山东滨州·期中）在下列语句中:①实数不是有理数就是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④根号的数都是无理数；⑤两个无理数之和一定是无理数；⑥所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数.正确的是 (填序号). 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）求下列各数的相反数和绝对值： ，，，，，． 【易错必刷十五 实数的分类】 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 2．（23-24七年级下·河南商丘·期末）在下列说法中： ①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数； ③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数； 错误的序号是 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各数填在相应的大括号内． ，，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），． 有理数： ； 无理数： ； 正数： 整数： ； 非负数： ； 分数： ． 【易错必刷十六 实数的性质】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）的相反数是 ． 3．（22-23七年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【易错必刷十七 实数与数轴】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）下列语句中，正确的是 （    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数分为正无理数、0和负无理数 C．实数与数轴上的点是一一对应的 D．无理数的平方一定是有理数 2．（22-23七年级上·河南平顶山·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴正方向滚动一周，此时点A表示的数是 （保留）． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是 ，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为 ； (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 【易错必刷十八 实数的大小比较】 1．（2024·河南周口·模拟预测）下列各数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ，，，． 【易错必刷十九 实数的混合运算】 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知有理数a，b满足，则 ． 3．（23-24七年级上·四川内江·期末）计算： (1)； (2)． 【易错必刷二十 程序设计与实数运算】 1．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入的时，输出的值是（    ） A．4 B． C． D．2 2．（2024七年级下·全国·专题练习）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，输出的值是 ． 3．（23-24七年级上·福建厦门·期中）小明在研究数学问题时发现一个有趣的现象： (1)请你对照示例写一个这种操作； (2)请你在草稿纸上用不同的三位数再做做，发现什么有趣的现象？用你所学过的知识解释． 【易错必刷二十一 新定义下的实数运算】 1．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）设[x)表示大于x的最小整数，如，则下列结论：①；②的最小值是0；③的最大值是1；④存在实数x，使成立；⑤如，则不大于a的最大整数一定是奇数．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．③④ D．③④⑤ 2．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）定义运算：，则 ． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）当， 都是实数，且满足，就称点为“友好点”． (1)判断点是否为“友好点”，并说明理由； (2)若点是“友好点”，且，为有理数，求，的值． 【易错必刷二十二 实数运算的实际应用】 1．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 2．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 3．（23-24七年级上·福建厦门·期中）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）①3与 是关于1的平衡数；②4﹣x与 是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）． （2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【易错必刷二十三 与实数运算相关的规律题】 1．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南商丘·期中）将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ． 3．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习），，…，．将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：___________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)探究并计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 实数易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 求一个数的算术平方根】 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）64的算术平方根是（    ） A．±8 B．8 C．±4 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根必须是非负数成为解题的关键． 直接根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：64的算术平方根是． 故选B． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，根据算术平方根的概念即可求解，理解概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴则，解得：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、绝对值、算术平方根，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【易错必刷二 利用算术平方根的非负性解题】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）设点 ，且，则点P的坐标是（　　） A．   B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的非负性、二次根式的非负性，根据非负性可得到的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）当代数式取最大值时，x的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根为非负数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴代数式取最大值时，取得最小值， 即当时原式有最大值， 故答案为：0． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）若，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，以及算术平方根的非负性，先根据算术平方根的非负性得出，即，再代入，然后进行平方根，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 则， ∴的平方根是． 【易错必刷三 估计算术平方根的取值范围】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）估算的值（    ） A．在0到1之间 B．在1到2之间 C．在2到3之间 D．在3到4之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．（2024·福建厦门·二模）我国清代数学家戴煦在《对数简法》中给出了求正数的算术平方根的公式：设被开方数为x，常数a（a为整数）和r满足，，则，用该公式求87的算术平方根，则公式中的 ， ． 【答案】 10 13 【分析】本题考查了无理数的估算．估算得出常数a的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：10，13． 3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【答案】(1)81 (2)的算术平方根在之间 【分析】本题考查了平方根及算术平方根： （1）根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：， ∴， 这个正数是81． （2）由（1）得：， ， ∵， ∴， 的算术平方根在之间． 【易错必刷四 求算术平方根的整数部分和小数部分】 1．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知，若是整数，则a＝ ． 【答案】2或﹣2或﹣1 【分析】利用是整数可判断a为整数且a≥﹣2，则利用a2≤得到﹣7＜a＜7且a为整数，然后找出满足条件的整数a的值即可． 【详解】解：∵是整数， ∴a为整数且a≥﹣2， ∵a2≤， ∴﹣7＜a＜7且a为整数， ∴当a＝﹣2或﹣1或2时，是整数． 故答案为2或﹣2或﹣1． 【点睛】本题考查了估算无理数大小的知识，难度不大，注意夹逼法的运用． 3．（23-24八年级上·山西运城·期中）定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；，． (1) ， ． (2)如果，，求的平方根． 【答案】(1)3，； (2)． 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）利用算术平方根估算，即可求解； （2）先利用算术平方根估算和，得出a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴，， 故答案为：3，； （2）解：∵2，， ，， ， ， ∴的平方根是． 【易错必刷五 平方根概念理解】 1．（23-24七年级下·福建·期末）下列式子中表示“16的平方根是”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根的定义及表示方法．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．即一个非负数a的平方根为，据此即可判断． 【详解】解：表示16的平方根是， 故选：B． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）一个正数有 个平方根； 有 个平方根，是 ；负数 平方根． 【答案】 1 0 没有 【分析】根据平方根的性质进行解答，本题主要考查了平方根的性质． 【详解】解：一个正数有个平方根； 有1个平方根，是0；负数没有平方根 故答案为：，1，0，没有． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知与是个非负数的两个平方根，求这个非负数的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，正数有2个平方根，它们互为相反数；据此进行列式计算得出，再代入，从而求出这个非负数的值，即可作答． 【详解】解：∵与是个非负数的两个平方根， ∴， 解得， 把 代入，得出， ∴这个非负数． 【易错必刷六 求一个数的平方根】 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．3是的一个平方根 B．是3的算术平方根 C．3的平方根就是3的算术平方根 D．的平方根是3 【答案】B 【分析】本题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是3的一个平方根，原说法错误，不符合题意； B、是3的算术平方根，正确，符合题意； C、3的正的平方根就是3的算术平方根，原说法错误，不符合题意； D、没有平方根，原说法错误，不符合题意； 故选B． 2．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）正数的平方根记作 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根的定义，理解平方根的定义是解答此题的关键．根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：正数的平方根记作． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根和平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的意义是解题的关键． （1）把带分数化假分数，求出算术平方根即可； （2）把带分数化假分数，求出平方根即可． 【详解】（1）解：； （2）． 【易错必刷七 求代数式的平方根】 1．（23-24八年级上·河南开封·阶段练习）在实数范围内，若，则与的积的算术平方根是（    ） A．0 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根与绝对值的非负性求得的值，再按题目问题要求代入计算即可. 【详解】由题意得， 解得， 故. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平方根与绝对值的非负性，理解掌握两者的性质是解答关键. 2．（23-24九年级上·四川自贡·期中）若，则= ． 【答案】 【分析】因为，所以直接开平方求解即可，注意舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵， ∴，或， ∵，， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，本题开平方后注意是非负的形式，所以要舍去负值，此为易错点，也是解题关键． 3．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 【易错必刷八 己知一个数的平方根，求这个数】 1．（23-24七年级下·四川广安·期末）已知与是同一个正数的平方根，则m的值是（    ） A．4 B． C．或 D．5 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方根，一元一次方程的求解，根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数可得，再解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如果一个正数的平方根为和，则 ；这个正数为 ． 【答案】 49 【分析】由于一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，由此即可得到关于的方程，解方程即可解决问题．此题主要考查了平方根的定义，解决本题的关键是利用一个正数的2个平方根互为相反数． 【详解】解：正数的平方根为和， ， 解这个方程得． 当时，，， 这个正数为49． 故答案为：，49． 3．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）已知一个正数的平方根是和，求这个正数及的平方根． 【答案】这个正数是；的平方根是． 【分析】本题考查了平方根．由题意得，，可求，则这个正数是，再计算的平方根即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ∴， ∴这个正数是， ∴，这个正数是； ∴， ∴的平方根是． 【易错必刷九 立方根概念理解】 1．（23-24七年级下·广西百色·期中）在实数范围内，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘方、立方根，掌握定义与性质是解题的关键． 根据绝对值的定义判断A；根据立方根的性质判断B；根据有理数乘方的意义判断C，D． 【详解】解：A、若，则，故本选项错误，不符合题意； B、若，则，故本选项正确，符合题意； C、若，则，故本选项错误，不符合题意； D、若，则，a不一定大于b，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级下·广东·期末）若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查立方根的概念和性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 【详解】立方根是它本身的数有个，分别是或或 故答案为：或或 3．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）已知某正数的两个不同的平方根是和；的立方根为．求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根、立方根的定义，解题的关键是理解正数的平方根有两个，且互为相反数；会求平方根和立方根． 利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到的值，根据立方根的定义求出的值，根据平方根的定义求出的算术平方根． 【详解】解：某正数的两个不同的平方根是和， ， ， 的立方根为， ， ， ， 其算术平方根为． 【易错必刷十 求一个数的立方根】 1．（22-23八年级上·河南开封·期末）下列说法不正确的是（    ） A．的立方根是 B． C．的平方根是 D．0没有算术平方根 【答案】D 【分析】根据立方根，平方根的定义及其特性解答即可． 本题考查了立方根，任意实数都有立方根，非负性有平方根，熟练掌握定义和条件是解题的关键． 【详解】A．的立方根是，正确，不符合题意；     B．，正确，不符合题意； C．的平方根是，正确，不符合题意；     D．0算术平方根是0，错误，符合题意； 故选：D． 2．（22-23八年级上·广西桂林·期末）化简的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查立方根，关键是立方根定义的熟练掌握． 根据立方根的定义：若，则a叫b的立方根，直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中的x． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解： ， ∴； （2） ， ∴． 【易错必刷十一 己知一个数的立方根，求这个数】 1．（22-23八年级上·湖南衡阳·期中）若，，则（    ） A． B．或 C． D．5或11 【答案】B 【分析】根据已知条件，分别求出a、b的值，即可求出的值． 【详解】解： 当，时 当，时 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根、立方根、实数的混合运算等知识点，熟知平方根和立方根的运算是解题的关键． 2．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）已知的立方根是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·河南驻马店·开学考试）已知是64的立方根． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)81 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根． （1）根据算术平方根和立方根求值即可； （2）把的值代入计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∵是64的立方根， ∴； （2）把，代入， 得． 【易错必刷十二 立方根的实际应用】 1．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）一个正方体木块的体积是，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，每个小正方体木块的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的计算，先计算每个立方体的体积，再求立方根计算即可． 【详解】解：一个正方体木块的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块， 则每个小正方体木块的体积为， 所以每个小正方体木块的棱长是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）正方体的体积为7，则正方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据正方体体积公式及立方根定义解答． 【详解】解：设这个正方体的棱长为，根据题意得， ， ， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）或；（2） 【分析】本题主要考查了平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根的定义进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可化为，根据平方根的定义可得，计算即可得出答案； （2）根据题意可化为，根据立方根的定义可得，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， 或， 或； （2）， ， ， ， ． 【易错必刷十三 无理数】 1．（23-24八年级上·山西临汾·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数为无理数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、是负整数，不是无理数，故该选项是错误的； B、0是整数，不是无理数，故该选项是错误的； C、是正分数，不是无理数，故该选项是错误的； D、是无限不循环小数，是无理数，故该选项是正确的； 故选：D． 2．（23-24七年级下·云南昆明·期末）实数，，4，，，中，其中无理数有 个 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，有限小数或无限循环小数是有理数，正确理解无理数的概念是解题的关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：是有理数，是无理数， ∴无理数有2个． 故答案为：2． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题． 证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是，两边平方，得______________ ∴含有因数5，设，∴____________ ∴______________，∴含有因数5，∴____________ 这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数而是无理数． 将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 （填上序号） ①；②；③含有因数5；④ 【答案】④②①③ 【分析】本题考查了无理数的证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，等式两边平方得到，由此可得可得含有因数5，可设，则，即可证明q也有因数5，这与假设矛盾，由此即可证明结论． 【详解】证明：设不是无理数而是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是，两边平方，得 ∴含有因数5，设，∴ ∴，∴含有因数5，∴含有因数5 这样，有公因数5，不互质，这与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数而是无理数． 故答案为：④②①③． 【易错必刷十四 实数概念理解】 1．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）下列实数中，是无理数的为（    ） A． B．3.1415 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 【详解】解：A．，是有理数，不符合题意； B．3.1415是有限小数，是有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．是分数，是有理数，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东滨州·期中）在下列语句中:①实数不是有理数就是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④根号的数都是无理数；⑤两个无理数之和一定是无理数；⑥所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数.正确的是 (填序号). 【答案】① ③ 【详解】分析： 根据实数的相关概念一一判断即可. 详解：①实数不是有理数就是无理数；正确，②无限不循环小数是无理数，故错误，③无理数都是无限小数；正确，④开方开不尽的数都是无理数；故错误，⑤两个无理数之和不一定是无理数；故错误，⑥所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示实数,故错误. 故答案为① ③. 点睛：考查实数的相关概念.根据有理数，无理数的相关概念判断即可. 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）求下列各数的相反数和绝对值： ，，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了实数的性质，相反数和绝对值的意义，熟练掌握相反数和绝对值的意义是解本题的关键． 根据实数的性质，分别求其相反数和绝对值即可． 【详解】∵， ∴的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是1，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是． 【易错必刷十五 实数的分类】 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南商丘·期末）在下列说法中： ①无理数都是开方开不尽的数；②无理数都是实数； ③两个无理数的和仍是无理数；④循环小数是有理数； 错误的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查实数、有理数、无理数，根据实数的分类逐项判断即可． 【详解】解：无理数包括开方开不尽的数、无限不循环小数、含的数等，故①错误； 实数包括无理数、有理数，因此无理数都是实数，故②正确； 两个无理数的和不一定是无理数，如，故③错误； 循环小数是有理数，故④正确； 综上可知，错误的序号是①③， 故答案为：①③． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各数填在相应的大括号内． ，，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），． 有理数： ； 无理数： ； 正数： 整数： ； 非负数： ； 分数： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是实数的概念和分类，掌握实数的分类方法是解题的关键．根据实数的概念和分类解答． 【详解】解：，， 有理数：，，，，，，，； 无理数：，，，（每相邻两个之间依次多个），； 正数： ，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），； 整数：，，，； 非负数：，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），； 分数：，，，， ． 【易错必刷十六 实数的性质】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质，涉及求一个数的绝对值，根据正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：的绝对值是， 故选：C． 2．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）的相反数是 ． 【答案】 【分析】该题主要考查实数的相反数，解答的关键是掌握数a的相反数是． 根据无理数求解相反数的方法求解即可； 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据求算术平方根和立方根化简，再进行有理数的加减运算即可； （2）利用实数的加减法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查实数的运算，考查计算能力，掌握运算法则是解题关键． 【易错必刷十七 实数与数轴】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）下列语句中，正确的是 （    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数分为正无理数、0和负无理数 C．实数与数轴上的点是一一对应的 D．无理数的平方一定是有理数 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系．根据有理数、无理数、实数与数轴上点的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．熟知实数的相关知识是关键． 【详解】解：A、无限小数中，无限循环小数就是有理，所以选项说法错误； B、无理数分为正无理数、负无理数，0是有理数；选项说法错误； C、实数与数轴上的点是一一对应的，选项正确； D、无理数的平方一定是有理数说法错误．比如是无理数，的平方不是有理数，选项错误． 故选：C． 2．（22-23七年级上·河南平顶山·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴正方向滚动一周，此时点A表示的数是 （保留）． 【答案】 【分析】本题考查的是实数与数轴，关键在于找到圆滚动的距离就是其周长，注意滚动方向是数轴正方向． 圆滚动的距离为圆的周长，所以此时点表示的数是． 【详解】解：圆滚动的距离为圆的周长， 圆沿着数轴正方向滚动一周， 此时点表示的数是． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网． (1)方格网中格点正方形的面积是 ，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为 ； (2)按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查无理数、实数与数轴，先根据网格特点，求出正方形的面积，再根据无理数的表示和正方形的面积公式求得，进而可得求解； （2）先构造为边的正方形，求得它的面积，进而利用正方形的面积公式以及无理数的表示求解即可． 【详解】（1）解：由题意，方格网中格点正方形的面积是，则， ∴， ∴点B表示的数为， 故答案为：． （2）解：如图，构造为边的格点正方形， 则格点正方形的面积为，则， ∴． 【易错必刷十八 实数的大小比较】 1．（2024·河南周口·模拟预测）下列各数中，最大的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据负数正数判断即可． 【详解】解：根据题意有：， ∴最大的数为：， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． ，，，． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了利用数轴比较实数的大小，关键是利用数形结合，把抽象的问题转化成直观的问题处理即可．先在数轴上描出各点，再根据数轴上右边的数大于左边的数即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 故． 【易错必刷十九 实数的混合运算】 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的混合运算，先化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）已知有理数a，b满足，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了实数的运算，代数式求值，将式子变形为，可以求出的值，代入求解即可． 【详解】解：，a，b都为有理数， ， ，， ， 故答案为：1． 3．（23-24七年级上·四川内江·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减即可． 【详解】（1）解：． （2）． 【易错必刷二十 程序设计与实数运算】 1．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）有一个数值转换器，原理如下图所示，当输入的时，输出的值是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根和有理数、无理数的判别，根据数值转换器，输入，进行计算，一直到是无理数则输出即可． 【详解】解：当输入的时， 第一次计算，，为有理数， 第二次计算，为有理数， 第三次计算，为无理数， ∴, 故选：B． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键． 根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案． 【详解】解：，，2的算术平方根是， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·福建厦门·期中）小明在研究数学问题时发现一个有趣的现象： (1)请你对照示例写一个这种操作； (2)请你在草稿纸上用不同的三位数再做做，发现什么有趣的现象？用你所学过的知识解释． 【答案】(1)见解析． (2)发现最后结果总是1089，解释见解析． 【分析】（1）根据题意即可求解． （2）分析题意列出相关算式计算加以证明即可求解，注意三位数的表示方法：每位上的数字乘以位数再相加． 【详解】（1）答案不唯一，如，任写一个三位数614，交换百位数字与个位数字得到416，做差得到614-416=198，交换差的个位数和百位数得到891，做加法891+198=1089． （2）发现最后结果总是1089． 设原数的百位数字为a，十位数字为b， 则原数为， 交换后为， 做差得， 做加法， ∴最后结果总是1089． 【点睛】本题考查了列代数式．认真读题，理解题意是解题的关键． 【易错必刷二十一 新定义下的实数运算】 1．（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）设[x)表示大于x的最小整数，如，则下列结论：①；②的最小值是0；③的最大值是1；④存在实数x，使成立；⑤如，则不大于a的最大整数一定是奇数．其中正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．③④ D．③④⑤ 【答案】D 【分析】此题考查了新定义，正确理解新定义是解本题的关键．根据新定义逐个算式分析即可． 【详解】解：①∵表示大于的最小整数， ∴， ∴不正确； ②∵表示大于的最小整数， ∴， ∴的最小值是0不正确； ③∵表示大于的最小整数，设(n为整数)，则，， ∴，即的最大值是1，正确； ④∵表示大于的最小整数， ∴当x的小数部分为0.5时，， ∴存在实数，使，正确； ∵表示大于x的最小整数，，则， ∴不大于a的最大整数一定是奇数，正确； 故选：D． 2．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）定义运算：，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是算术平方根的计算，把，代入中计算即可． 【详解】解：， ∴． 故答案为：6． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）当， 都是实数，且满足，就称点为“友好点”． (1)判断点是否为“友好点”，并说明理由； (2)若点是“友好点”，且，为有理数，求，的值． 【答案】(1)点不是为“友好点”，理由见解析 (2)， 【分析】本题考查新定义问题，点的坐标， （1）根据“友好点”的定义判断即可； （2）根据“友好点”的概念得到，，得到，，然后由得到，然后根据，为有理数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵，， ∴ ∴点不是为“友好点”； （2）∵点是“友好点”， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，为有理数， ∴为有理数， ∴ ∴． 【易错必刷二十二 实数运算的实际应用】 1．（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 2．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 3．（23-24七年级上·福建厦门·期中）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数． （1）①3与 是关于1的平衡数；②4﹣x与 是关于1的平衡数（用含x的代数式表示）． （2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1）①-1，②x﹣2；（2）不是，见解析 【分析】（1）①根据平衡数的定义，可得3与﹣1是关于1的平衡数，②4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数； （2）将两式相减得出a+b≠2，根据平衡数的定义，即可进行判断． 【详解】解：（1）①∵2-3=（﹣1）， ∴3与﹣1是关于1的平衡数； ②∵ ∴4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数． 故答案为：﹣1；x﹣2； （2）a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4＝﹣x2﹣3x﹣4， b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝x2+3x+2， a+b＝（﹣x2﹣3x﹣4）+（x2+3x+2）＝﹣2≠2． 因此，a与b不是关于1的平衡数． 【点睛】本题为材料理解题，理解平衡数的意义是解题的关键． 【易错必刷二十三 与实数运算相关的规律题】 1．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知整数，，，，……满足下列条件：，，，，……依此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值以及实数计算中的规律问题，用所给的计算方式，依次计算出等，观察规律即可解决问题． 【详解】 由此可见，和（为偶数）相等，且都等于 所以． 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南商丘·期中）将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律的探究问题，解题的关键是根据题意，找到规律，进行解答，涉及有理数的乘方等知识． 【详解】第一排的个数为：，前一排的总数为：； 第二排的个数为：，前两排的总数为：，从右往左依次增大排列； 第三排的个数为：，前三排的总数为：，从左往右依次增大排列； 第四排的个数为：，前四排的总数为：，从右往左依次增大排列； ……， ∴第排的个数为：个，前排的总数为：个；奇数排从左往右依次增大排列；偶数排从右往左依次增大排列， ∵，， ∴在第排，即；第排为奇数排，从左往右依次增大排列； ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习），，…，．将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：___________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)① ② (3) 【分析】本题主要考查了与实数运算相关的规律题． （1）归纳总结得到一般性规律，写出即可. （2）①两式利用得出的规律变形，计算即可得到结果；②总结规律即可． （3）先探索当分母为连续偶数时如何写成差的形式，再计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）① 故答案为：． ② 故答案为：． （3） 学科网（北京）股份有限公司 $$