第1章 1.1 第2课时 集合的表示(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第2课时　集合的表示 情境导入 课程标准 　　 语言是人类交流思想的工具,我们学习了集合那自然就有集合语言,集合语言与其他语言的关系及构成如图所示。 1.掌握集合的表示方法——列举法、描述法和区间表示法,培养数学抽象素养。 2.能进行自然语言与集合语言间的相互转换。 新知自主学习 一、列举法 把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{　}”内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}。 二、描述法 (1)通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法。一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}。 (2)具体步骤: ①在花括号内写出集合中元素的一般符号及范围。 ②画一条竖线。 ③在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征。 三、集合的分类 含有有限个元素的集合叫作有限集,含有无限个元素的集合叫作无限集。把不含任何元素的集合叫作空集,记作⌀。 四、区间及其表示 区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表: 设a,b是两个实数,且a<b。 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a,b] {x|x≥a} — [a,+∞) {x|x>a} — (a,+∞) {x|x≤b} — (-∞,b] {x|x<b} — (-∞,b) 　 微提醒 描述法表示集合时的3个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号,如数或点等。 (2)说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数式或几何图形等。 (3)不能出现未被说明的字母。 微思考 1.{(x,y)|y=x2+2}能否写为{x|y=x2+2}或{y|y=x2+2}呢? 提示:不能,(x,y)表示集合的元素是有序实数对或点,而x或y则表示集合的元素是数,所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么。 2.(1)区间(a,b)中,a与b有什么关系? (2)“∞”是一个数吗? 提示:(1)a<b。 (2)不是,∞是一个符号,表示无穷大。 课堂合作探究 　 类型一　用列举法表示集合 　　【例1】　用列举法表示下列集合: (1)方程(x-1)2(x-2)=0的解组成的集合; (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合; (3)函数y=2x-1的图象与坐标轴交点组成的集合。 解　(1)方程(x-1)2(x-2)=0的解为1或2,因此可以用列举法表示为{1,2}。 (2)由于“Welcome”中包含的字母有W,e,l,c,o,m,共6个元素,因此可以用列举法表示为{W,e,l,c,o,m}。 (3)函数y=2x-1的图象与x轴的交点为,与y轴的交点为(0,-1),因此可以用列举法表示为。 　　用列举法表示集合的三个注意点 (1)用列举法表示集合时,首先要注意元素是数、点,还是其他的类型,即先定性。 (2)列举法适合表示有限集,当集合中元素个数较少时,用列举法表示集合比较方便。 (3)弄清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键。 　　【训练1】　用列举法表示下列集合: (1)不大于10的非负偶数集; (2)由+(a,b∈R)所确定的实数集合; (3)求方程组的解集。 解　(1)因为不大于10是小于或等于10;非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}。 (2)关键是根据绝对值的意义化简,设x=+,当a>0,b>0时,x=2;当a<0,b<0时,x=-2;当a,b异号时,x=0,故用列举法表示为{-2,0,2}。 (3)解方程组 故此方程组的解集为{(1,-1)}。 类型二　用描述法表示集合 　　【例2】　用描述法表示下列集合,并指明是有限集还是无限集。 (1)大于5小于10的所有有理数组成的集合; (2)被3除余2的正整数组成的集合; (3)反比例函数y=的自变量的值组成的集合; (4)三角形的全体组成的集合。 解　(1)设元素为x,则大于5小于10的有理数为5<x<10且x∈Q,组成的集合用描述法可表示为{x∈Q|5<x<10};无限集。 (2)设元素为x,则x=3k+2,k∈N,因此用描述法表示集合为{x|x=3k+2,k∈N};无限集。 (3)函数y=的自变量应满足x≠1,组成的集合用描述法可表示为{x∈R|x≠1};无限集。 (4)设元素为x,则用描述法表示为{x|x是三角形};无限集。 　　描述法表示集合的步骤 (1)确定集合中元素的特征。 (2)给出其满足的性质。 (3)根据描述法的形式写出其满足的集合。 　　【训练2】　(1)用描述法表示下列集合: ①; ②被5除余1的正整数组成的集合; ③坐标平面内坐标轴上的点集。 (2)方程组的解集用描述法怎样表示? 解　(1)①集合。 ②根据被除数=商×除数+余数,故此集合可表示为{x|x=5n+1,n∈N}。 ③注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0,故可表示为{(x,y)|xy=0,x∈R,y∈R}。 (2){(x,y)|x-y=2,2x+y=1}或{(x,y)|x=1,y=-1}。 类型三　用区间表示集合 　　【例3】　(1)①数集{x|x≤-2}用区间表示为　　　　　　;  ②数集{x|x>7}用区间表示为　　　　　　;  ③数集{x|0<x≤3}用区间表示为　　　　。  答案　①(-∞,-2]　②(7,+∞)　③(0,3] (2)不等式3x-5>x的解集用区间表示为　　　　。  解析　原不等式可化为x>5,即x>2。所以原不等式的解集为(2,+∞)。 答案　(2,+∞) 　　用区间表示数集要首先弄清区间的含义,掌握区间的四种形式所对应的数集;其次要特别注意数集中的符号“≤”“≥”“<”“>”与区间中的符号“[”“]”“(”“)”的对应关系。 　　【训练3】　(1)用区间表示数集{x|x≤5}为　　　　　　。  答案　(-∞,5] (2)用区间表示不等式2x->x的解集为　　　　。  解析　由2x->x知x>,所以用区间表示为。 答案　 类型四　集合表示方法的应用 　　【例4】　若集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A。 解　当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2。此时集合A={2}。 当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1。 此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意。 综上所述,实数k的值为0或1。 当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}。 　　(1)解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点。 (2)解集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果。需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用。 　　【训练4】　(1)例4中,若集合A中含有2个元素,求实数k的取值集合; (2)例4中,若集合A中至多有1个元素,求实数k的取值集合。 解　(1)由题意得 解得k<1,且k≠0。所以实数k的取值集合为{k|k<1,且k≠0}。 (2)①当集合A中含有1个元素时,由例4知,k=0或k=1。 ②当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解, 即 解得k>1。 综上,实数k的取值集合为{k|k=0或k≥1}。 随堂达标检测 　 1.(多选题)已知集合A={x∈N|x<6},则下列关系式成立的是(　　) A.0∈A B.1.5∉A C.-1∉A D.6∈A 解析　由题意知A={0,1,2,3,4,5}。故选ABC。 答案　ABC 2.集合{-1,1}用描述法可以表示为　　　　　　　　。  解析　开放题,找出集合的一个特征性质即可。 答案　{x||x|=1}(答案不唯一) 3.集合A={(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为　　　　　　　　　。  答案　A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}。 4.分别用描述法和列举法表示下列集合: (1)方程x2-x-2=0的解组成的集合; (2)大于1且小于5的所有整数组成的集合。 解　(1)集合用描述法表示为{x|x2-x-2=0};由于方程x2-x-2=0的解分别为-1,2,故方程的解组成的集合用列举法表示为{-1,2}。 (2)集合用描述法表示为{x|1<x<5,x∈Z};用列举法表示为{2,3,4}。 学科网（北京）股份有限公司 $$