1.4.2 充要条件(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.4.2　充要条件 情境导入 课程标准 我们学习了充分条件与必要条件,知道了导致结论成立的条件可能不唯一,同样的条件也可能得出不同的结论,还有条件和结论唯一的结构,在我们生活中,也有很多类似的问题,如开关A闭合与B灯亮的关系,让我们一探究竟吧! 通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系. 知识点一　充要条件 【知识梳理】 (1)将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题. (2)如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. 提醒:p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”. 【例1】　在下列各题中,试判断p是q的什么条件. (1)p:a=b,q:ac=bc; (2)p:a+5是无理数;q:a是无理数; (3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0; (4)p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA. 解　(1)因为a=b⇒ac=bc,而ac=bc不能推出a=b,所以p是q的充分条件,但不是必要条件. (2)因为a+5是无理数⇒a是无理数,并且a是无理数⇒a+5是无理数,所以p是q的充要条件. (3)因为a2+b2=0⇒a=b=0,并且a=b=0⇒a2+b2=0,所以p是q的充要条件. (4)因为A∩B=A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB,并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B=A,所以p是q的充要条件. 　　(1)判断p是q的充分必要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件. (2)在已知充要条件的前提下,充分条件是不确定的,只要保证是充要条件的一个子集即可,而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集. 【训练1】　(1)a,b中至少有一个不为零的充要条件是(D) A.ab=0 B.ab>0 C.a2+b2=0 D.a2+b2>0 解析　a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.故选D. (2)设集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则A⊆(A∩B)的充要条件为 a≤9 ;一个充分不必要条件可为 6≤a≤9(答案不唯一) .  解析　A⊆(A∩B)⇔A⊆B,B={x|3≤x≤22}.若A=⌀,则2a+1>3a-5,解得a<6;若A≠⌀,则A⊆B⇔⇔6≤a≤9.综上可知,A⊆(A∩B)的充要条件为a≤9;一个充分不必要条件可为6≤a≤9. 知识点二　充要条件的证明 【例2】　证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.证明　(1)充分性:因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,<0.所以方程ax2+bx+c=0有两个实数根.设方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1,x2,则x1x2=<0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根. (2)必要性:因为一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,所以Δ=b2-4ac>0,x1x2=<0,所以ac<0.故一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 充要条件的证明思路 (1)在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时,要注意:若证明“p的充要条件是q”,那么“充分性”是q⇒p,“必要性”是p⇒q;若证明“p是q的充要条件”,则与之相反. (2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立.若不易直接证明,可根据命题之间的关系进行等价转换,然后加以证明. 提醒:证明时一定要注意证明的方向性,分清充分性与必要性的证明方向. 【训练2】　已知a+b≠0,证明:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.证明　充分性:若a+b=1,则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0,即充分性成立.必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0,则(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0.因为a+b≠0,所以a+b-1=0,即a+b=1,必要性成立.综上,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1. 知识点三　条件关系判定的常用结论 【知识梳理】 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q,且qp 充分不必要条件 q⇒p,且pq 必要不充分条件 p⇒q,且q⇒p 充要条件 pq,且qp 既不充分也不必要条件 【例3】　已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解　p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0).因为p是q的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件,即{x|1-m≤x≤1+m}⫋{x|-2≤x≤10},故有解得m≤3.又因为m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 【变式】　本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 解　若p是q的充要条件,则m不存在.故不存在实数m,使得p是q的充要条件. 　　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 【训练3】　(1)“-<x<3”的一个必要不充分条件是(C) A.-<x<3 B.-3<x< C.-1<x<6 D.-<x<0 解析　根据题意,-<x<3的一个必要不充分条件即-<x<3为所求结果的真子集,根据选项可得-<x<3是-1<x<6的真子集,通过-<x<3,可推出-1<x<6,通过-1<x<6不可推出-<x<3,故-1<x<6是-<x<3的一个必要不充分条件.故选C. (2)设p:2<x<3,q:x>a,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 a≤2 .  解析　因为p是q的充分不必要条件,所以{x|2<x<3}⫋{x|x>a},所以a≤2,即实数a的取值范围是a≤2. 当|堂|检|测 1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的(A) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若x=1,则x2-2x+1=0;若x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,则x=1.故选A. 2.设p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数,则p是q成立的(B) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　p⇒q,但qp.故选B. 3.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是 a<0 .  解析　由题意知|x|>a恒成立,因为|x|≥0,所以a<0. 4.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的 充分不必要 条件.  解析　若“四边形ABCD为菱形”,则“对角线AC⊥BD”成立;而若“对角线AC⊥BD”成立,则“四边形ABCD不一定为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件. 课外阅读　“结构不良”问题 【典例】　请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面横线处,若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由. 已知集合A={x|-2≤x≤6},B={x|1-m≤x≤1+m,m>0},若x∈A是x∈B成立的　　　　条件,判断实数m是否存在?  【解】　若选择条件①,即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,集合A是集合B的真子集,则有解得m≥5,所以实数m的取值范围是{m|m≥5}. 若选择条件②,即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件,集合B是集合A的真子集,则有解得0<m≤3,所以实数m的取值范围是{m|0<m≤3}. 若选择条件③,即x∈A是x∈B成立的充要条件,则集合A等于集合B,则有方程组无解.所以不存在满足条件的实数m. 解结构不良问题的两点思考 (1)迅速确定所选条件,避免时间浪费. (2)解答知充分、必要条件求参数范围问题,关键是将已知条件转化为集合之间的包含关系. 【变式训练】　在①A∪B=B;②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件;③A∩B=⌀,这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,求解下列问题. 问题:已知集合A={x|a-1≤x≤a+1},B={x|-1≤x≤3}. (1)当a=2时,求A∪B; (2)若　　　　,求实数a的取值范围.  解　(1)当a=2时,集合A={x|1≤x≤3},B={x|-1≤x≤3},A∪B={x|-1≤x≤3}. (2)若选择①,A∪B=B,则A⊆B,因为A={x|a-1≤x≤a+1},所以A≠⌀.又B={x|-1≤x≤3},所以解得0≤a≤2,所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}. 若选择②,“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则集合A为集合B的真子集,即A⫋B.因为A={x|a-1≤x≤a+1},所以A≠⌀,又B={x|-1≤x≤3},所以解得0≤a≤2.当a=0时,A={x|-1≤x≤1},当a=2时,A={x|1≤x≤3},均满足A⫋B.所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤2}. 若选择③,A∩B=⌀,根据题意可知A≠⌀,又因为A={x|a-1≤x≤a+1},B={x|-1≤x≤3},所以a-1>3或a+1<-1,解得a>4或a<-2.所以实数a的取值范围是{a|a<-2,或a>4}. 学科网（北京）股份有限公司 $$