（篇一）第一单元圆·概念认识篇【八大考点】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版(1)

1 / 13 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8 月 16 日 2 / 13 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元圆·概念认识篇【八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元圆·概念认识篇 专题内容 本专题包括圆的基础概念、直径和半径的关系、关于圆的作 图等。 总体评价 讲解建议 建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】圆的概念认识 ...................................................................................................3 【考点二】圆的对称性 .......................................................................................................4 【考点三】圆与图案设计 ...................................................................................................5 【考点四】直径和半径的关系问题其一 ..............................................................6 【考点五】直径和半径的关系问题其二 ..............................................................7 【考点六】圆的数量问题 ...................................................................................................9 【考点七】最圆问题 .......................................................................................................... 9 【考点八】关于圆的作图 .................................................................................................10 3 / 13 【第三篇】典型例题篇 【考点一】圆的概念认识。 【方法点拨】 1.圆的定义。 一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条封闭的 曲线，这条封闭的曲线叫做圆。 2.圆的各部分。 3.直径经过圆心，是圆内最长的线段，在同一个圆内，有无数条半径，无数条直 径，其中圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 【典型例题】 将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是 ( )。 【对应练习 1】 ( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。 【对应练习 2】 在研究“圆的认识”一课时，亮亮用直尺从点 O出发依次画出很多条长度为 4厘米 的线段，形成一个近似的圆。这一想法，正好体现我们古代著名教育家墨子在 2400多年前写的一句话：“圆，( )也”。 【对应练习 3】 用圆规画圆时，针尖所在的点叫做( )，连接圆心和圆上任意一点的 ( )叫做半径，通过圆心并且两端都在( )的线段叫做直径。 4 / 13 【考点二】圆的对称性。 【方法点拨】 如果一个图形沿着一条虚线对折，两侧的图形完全重合，这个图形叫做轴对称图 形，这条虚线叫做对称轴，在有圆的组合图形中，经过圆心的直径就是它的对称 轴。 【典型例题 1】圆的对称轴。 圆是轴对称图形，它有( )条对称轴，每条对称轴都经过( )。 【对应练习 1】 下图有( )条对称轴。 【对应练习 2】 请你根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的轴对称图 形名称。 ( )、正方形、( )、长方形、( )。 【对应练习 3】 如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第( )个图形，有( ) 条对称轴。 【典型例题 2】作出对称轴。 画出下面图形的对称轴，并填空。 ( )条 5 / 13 【对应练习 1】 画出下面轴对称图形的一条对称轴。 【对应练习 2】 画出下列图形的所有的对称轴。 【对应练习 3】 在下列各图形中，你能分别画出几条对称轴？ 【考点三】圆与图案设计。 【方法点拨】 图案设计需要运用轴对称或平移或旋转进行设计，需要结合自己的生活经验，展 开想象。 【典型例题】 请你用一个圆形和一个正方形设计一个有四条对称轴的组合图形。 6 / 13 【对应练习 1】 用圆规和尺作图，画一个与下图一样的图案。（正方形边长 4厘米） 【对应练习 2】 请你在下面的空白处画一个和下图形状一样的图案（大小可以不一样）。 【对应练习 3】 利用圆规和三角尺，你能画出下面这些美丽的图形吗？试试看。 【考点四】直径和半径的关系问题其一。 【方法点拨】 1.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 2.在同一个圆内，直径的长度是半径的 2倍，半径的长度是直径的一半。 3.用字母表示为：d＝2r r＝d÷2 用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2。 【典型例题】 将一个圆形纸片对折，量得折痕长 10cm，那么这个圆的直径是( )cm， 半径是( )cm。 7 / 13 【对应练习 1】 用圆规画一个直径是 3厘米的圆，它两脚张开的距离是( )厘米。 【对应练习 2】 一个圆的半径是 4.6厘米，它的直径是( )厘米。 【对应练习 3】 在同一个圆里，直径与半径的比是( )，比值是( )。 【考点五】直径和半径的关系问题其二。 【方法点拨】 1.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 2.在同一个圆内，直径的长度是半径的 2倍，半径的长度是直径的一半。 3.用字母表示为：d＝2r r＝d÷2 用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2。 【典型例题】 看图填一填。 (1) 半圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 (2) 长方形的长是( )m，周长是( )m。 【对应练习 1】 看图填空（单位：cm）。 (1)d＝( )cm 8 / 13 (2)d＝( )cm (3)r＝( )cm (4)d＝( )cm 【对应练习 3】 看图填空。 （1） r＝( )cm，d＝( )cm。 （2） r＝( )cm，d＝( )cm。 （3） 长方形的宽是( )cm，长方形的长是( )cm。 （4） 长方形的长是( )cm，长方形的宽是( )cm。 9 / 13 【考点六】圆的数量问题。 【方法点拨】 以固定直径在长方形或正方形内画圆，只能画整圆，因此需要计算出长、宽两边 各能画多少个圆，再将数量相乘。 【典型例题】 1. 把一张边长是 8分米的正方形纸片剪成半径是 0.5分米的圆片，一共可以剪 ( )个。 2. 在长 12.4cm、宽 7.2cm的长方形纸中，剪半径是 1cm的圆，能剪( ) 个。 【对应练习 1】 在一块长 42厘米、宽 35厘米的长方形铁皮上，剪下半径是 3.5厘米的圆，最多 能剪( )个。 【对应练习 2】 在一张长 19厘米，宽 13厘米的长方形纸中，剪直径是 2厘米的圆片，最多能剪 几( )个。 【对应练习 3】 一块长 30分米，宽 20分米的长方形硬纸板，最多可剪( )个半径是 20 厘米的圆。 【考点七】最圆问题。 【方法点拨】 在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； 在长方形里面画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽（较短的一边）。 【典型例题 1】长方形中的最圆。 在一张长 16cm、宽 12cm的长方形纸上画一个圆，圆规两脚间的距离最大是 ( )cm。 【对应练习 1】 在一个长 7厘米，宽 5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是 ( )，半径是( )。 10 / 13 【对应练习 2】 在一个长 6厘米，宽 4厘米的长方形里画一个最大的圆，圆的直径是( ) 厘米。画一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )厘米。 【对应练习 3】 在一个长 10厘米，宽 8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是( ) 厘米；如果在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是 ( )厘米。 【典型例题 2】正方形中的最圆。 在一个边长是 2厘米的正方形里面，画一个最大的圆，圆的直径是( )厘 米。 【对应练习 1】 从一张边长为 20cm的正方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的直径是 ( )cm。 【对应练习 2】 在一个周长为 20cm的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是 ( )cm。 【对应练习 3】 在一个周长为 100厘米的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是 ( )厘米。 【考点八】关于圆的作图。 【方法点拨】 圆规画圆。 定好两脚之间的距离，把带有针尖的脚固定在一点上，把装有铅笔的脚旋转一周， 就画出了一个圆。 【典型例题 1】圆规画圆。 画一个直径是 5厘米的圆，并用字母标出圆心和半径。 11 / 13 【对应练习 1】 画一个半径是 2厘米的圆，并标出它的圆心 O和半径 r。 【对应练习 2】 请画出一个直径是 6厘米的半圆，并标出它的圆心和对称轴。 【对应练习 3】 画一个半径是 1.5厘米的圆，并标出这个圆的圆心 O，然后画出一条半径和一条 直径，并用字母表示出来。 【典型例题 2】确定圆心。 请想办法找出一个圆的圆心，用画图的方式呈现思考过程。 【对应练习 1】 确定下面圆的圆心和直径。（保留作图痕迹） 【对应练习 2】 请你找出下列圆的圆心和直径。 12 / 13 【典型例题 3】画出最圆。 在下面正方形内画一个最大的圆，先找到圆心，再画圆，并标出圆心和半径。（保 留作图痕迹） 【对应练习 1】 如图，在正方形中画一个最大的圆，并用字母标出圆心和半径，同时保留找圆心 的作图痕迹。 【对应练习 2】 按要求作图。 在下面的正方形里画一个最大的圆，并用字母标出圆心 O和半径 r。（保留作图 痕迹） 13 / 13 【对应练习 3】 以点 0为圆心，在长方形中画出最大的圆，并画出整个图形的所有对称轴。 1 / 31 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8 月 16 日 2 / 31 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元圆·概念认识篇【八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元圆·概念认识篇 专题内容 本专题包括圆的基础概念、直径和半径的关系、关于圆的作 图等。 总体评价 讲解建议 建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】圆的概念认识 ...................................................................................................3 【考点二】圆的对称性 .......................................................................................................5 【考点三】圆与图案设计 .................................................................................................10 【考点四】直径和半径的关系问题其一 ............................................................ 13 【考点五】直径和半径的关系问题其二 ............................................................ 14 【考点六】圆的数量问题 .................................................................................................19 【考点七】最圆问题 ........................................................................................................ 21 【考点八】关于圆的作图 .................................................................................................24 3 / 31 【第三篇】典型例题篇 【考点一】圆的概念认识。 【方法点拨】 1.圆的定义。 一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条封闭的 曲线，这条封闭的曲线叫做圆。 2.圆的各部分。 3.直径经过圆心，是圆内最长的线段，在同一个圆内，有无数条半径，无数条直 径，其中圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 【典型例题】 将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是 ( )。 【答案】圆 【分析】一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，根据点动成线的原理 即可理解。 【详解】将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图 形是（圆）。 【点睛】此题考查了对圆的认识。一个端点不动，就是圆心，一条线段就是半径， 另一端点旋转一周，其轨迹所形成的图形就是圆。 【对应练习 1】 ( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。 【答案】 圆心 半径 4 / 31 【详解】 画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O表示。连 接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母 r表示。圆心决定圆的位置， 半径决定圆的大小。 【对应练习 2】 在研究“圆的认识”一课时，亮亮用直尺从点 O出发依次画出很多条长度为 4厘米 的线段，形成一个近似的圆。这一想法，正好体现我们古代著名教育家墨子在 2400多年前写的一句话：“圆，( )也”。 【答案】一中同长 【分析】圆这种图形，有一个中心，从这个中心到圆上各点都一样长。数学意义： 圆有一个圆心，圆心到圆上各点的距离（即半径）都相等，即在同一个圆里，有 无数条半径，所有半径长度都相等。早在 2400多年前，我国古代著名教育家墨 子就曾写过这样一句话“圆，一中同长也”，正是诠释了圆的这一特征。 【详解】根据分析得，亮亮的想法正好体现我们古代著名教育家墨子在 2400多 年前写的一句话：“圆，一中同长也”。 【点睛】此题的解题关键是认识理解圆的特征。 【对应练习 3】 用圆规画圆时，针尖所在的点叫做( )，连接圆心和圆上任意一点的 ( )叫做半径，通过圆心并且两端都在( )的线段叫做直径。 【答案】 圆心 线段 圆上 【分析】根据圆的半径和直径的含义及圆的特征：从圆心到圆上任意一点的线段 叫半径．通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径；在同一个圆里有无数条半径， 有无数条直径，据此解答。 【详解】用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，连接圆心和圆上任意一点的线 段叫做半径，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 5 / 31 【点睛】此题考查了圆的半径和直径的含义及圆的特征。 【考点二】圆的对称性。 【方法点拨】 如果一个图形沿着一条虚线对折，两侧的图形完全重合，这个图形叫做轴对称图 形，这条虚线叫做对称轴，在有圆的组合图形中，经过圆心的直径就是它的对称 轴。 【典型例题 1】圆的对称轴。 圆是轴对称图形，它有( )条对称轴，每条对称轴都经过( )。 【答案】 无数 圆心 【分析】根据轴对称图形的定义以及圆的特征，分析填空即可。 【详解】圆是轴对称图形，它有无数条对称轴；因为圆的对称轴是直径所在的直 线，又因为通过圆心、并且两端都在圆上的线段，叫做直径，所以圆的对称轴一 定通过圆心。 【点睛】本题考查了圆，掌握圆的特征是解题的关键。 【对应练习 1】 下图有( )条对称轴。 【答案】4 【分析】如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图 形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。分别找到圆和正方形的对称 轴，再寻找组合图形的对称，据此解答。 【详解】正方形有 4条对称轴，圆有无数条对称轴，所以题干中的组合图形有 4 条对称轴。 【点睛】本题需要根据正方形和圆的特征去找组合图形的对称轴。 【对应练习 2】 6 / 31 请你根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的轴对称图 形名称。 ( )、正方形、( )、长方形、( )。 【答案】 圆 等边三角形 等腰梯形 【分析】我们学过三角形、正方形、长方形、梯形和圆等平面图形，其中等边三 角形有 3条对称轴，正方形有 4条对称轴，长方形有 2条对称轴，等腰梯形有 1 条对称轴，圆有无数条对称轴。据此，结合题意分析填空即可。 【详解】根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的轴对 称图形名称。 圆、正方形、等边三角形、长方形、等腰梯形。 【点睛】本题考查了对称轴的数量，熟记常见图形的对称轴数量是解题的关键。 【对应练习 3】 如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第( )个图形，有( ) 条对称轴。 【答案】 3 无数 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全 重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次找出对称轴即可。 【详解】 第一个图形有 5条对称轴； 第二个图形有 3条对称轴； 第三个图形是个圆，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条直径，所以有无 数条对称轴。 7 / 31 从左边数，对称轴条数最多的是第 3个图形，有无数条对称轴。 【点睛】此题考查了轴对称图形的意义，要寻找对称轴，就看图形对折后两部分 是否完全重合。 【典型例题 2】作出对称轴。 画出下面图形的对称轴，并填空。 （ ）条 【答案】画图见详解； 1 【分析】如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那 么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。画对称轴时要用虚线。此图 是由一个大圆和两个大小相同的小圆组成的，过大圆的圆心和两个小圆相交处画 直线，直线两旁的部分能够完全重合。 【详解】如下图。 把大圆的圆心和两个小圆相交处相连并延长，可以画出对称轴，所以这个图形有 1条对称轴。 【点睛】找组合图形的对称轴时，要把这些图形看作一个整体，仔细观察，发现 对称轴的位置。 【对应练习 1】 画出下面轴对称图形的一条对称轴。 8 / 31 【答案】见详解 【分析】轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都 能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴。 【详解】作图如下： （画法不唯一）。 【点睛】此题考查了轴对称的意义及在实际当中的运用。 【对应练习 2】 画出下列图形的所有的对称轴。 【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图 形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】如图： 9 / 31 【点睛】利用轴对称图形的特点，找出轴对称图形的所有对称轴是解题的关键。 【对应练习 3】 在下列各图形中，你能分别画出几条对称轴？ 【答案】见详解 【分析】画对称轴的步骤：（1）找出轴对称图形的任意一组对称点。（2）连结 对称点。（3）画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。 据此画出各图形对称轴并确定对称轴的数量即可。 【详解】 【点睛】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做 轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 10 / 31 【考点三】圆与图案设计。 【方法点拨】 图案设计需要运用轴对称或平移或旋转进行设计，需要结合自己的生活经验，展 开想象。 【典型例题】 请你用一个圆形和一个正方形设计一个有四条对称轴的组合图形。 【答案】见详解 【分析】画一个正方形，再以这个正方形的对角线的交点为圆心，以正方形边长 的一半为半径，所画出的图形就符合要求；或者先画一个圆，再画这个圆的两条 互相垂直的直径，分别连接两条直径与圆的交点，所形成的四边形就是正方形， 且这个正方形和这个圆所组成的图形有四条对称轴。 【详解】依据分析画图如下： 或者 【点睛】此题主要考查圆的画法以及轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个 图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图 形，这条直线就是其对称轴。 【对应练习 1】 ．用圆规和尺作图，画一个与下图一样的图案。（正方形边长 4厘米） 11 / 31 【答案】见详解 【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖 的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个 圆。 用画垂线或平行线的方法，先画一个边长 4厘米的正方形，以正方形每条边的中 点为圆心，分别画出 4个直径是 4厘米的半圆即可。 【详解】 【点睛】关键是掌握画正方形和圆的方法，能利用圆规画出圆。 【对应练习 2】 请你在下面的空白处画一个和下图形状一样的图案（大小可以不一样）。 【答案】见详解 【分析】先测量出原图中大圆的半径，再确定所画大圆的圆心，根据测量结果画 出大圆，然后在大圆中画两条互相垂直的直径，以所画半径的中点为圆心，半径 的一半为半径画出四个小圆，最后根据原图形涂出阴影部分，据此解答。 【详解】分析可知： 12 / 31 【点睛】画圆时，圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，掌握圆的画法是解答 题目的关键。 【对应练习 3】 利用圆规和三角尺，你能画出下面这些美丽的图形吗？试试看。 【答案】见详解 【分析】 ，先画出一个正方形，一正方形每条边的中心为圆心，正 方形边长的一半为半径，分别画出 4个半圆即可； ，先画出大圆，再画出两条垂直的直径，以大圆半径的中心为圆心， 分别画出 4个半圆即可； ，先画出大圆，以大圆直径上的两条半径中心为圆心，上下各画两 个半圆弧即可； 13 / 31 ，先画出大圆，再画出两条垂直的半径，分别以大圆半径的中心为 圆心，画出 4个半圆弧即可； 【详解】 【点睛】关键是看懂图例，掌握画圆的方法。 【考点四】直径和半径的关系问题其一。 【方法点拨】 1.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 2.在同一个圆内，直径的长度是半径的 2倍，半径的长度是直径的一半。 3.用字母表示为：d＝2r r＝d÷2 用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2。 【典型例题】 将一个圆形纸片对折，量得折痕长 10cm，那么这个圆的直径是( )cm， 半径是( )cm。 【答案】 10 5 【分析】根据直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径；据此可 知折痕就是圆的直径；再根据半径＝直径÷2，据此解答即可。 【详解】将一个圆形纸片对折，量得折痕长 10cm，则这个圆的直径是 10cm； 10÷2＝5（cm）。 则半径是 5cm。 【对应练习 1】 用圆规画一个直径是 3厘米的圆，它两脚张开的距离是( )厘米。 【答案】1.5 【分析】圆规两脚张开的距离相当于圆的半径，圆的直径相当于半径的两倍，用 3÷2即可求出半径。 14 / 31 【详解】3÷2＝1.5（厘米） 圆规两脚张开的距离是 1.5厘米。 【点睛】本题主要考查了圆的认识，明确直径和半径之间的关系是解答本题的关 键。 【对应练习 2】 一个圆的半径是 4.6厘米，它的直径是( )厘米。 【答案】9.2 【分析】同一个圆内，直径＝半径×2，据此分析。 【详解】4.6×2＝9.2（厘米） 【点睛】关键是熟悉圆的特征。 【对应练习 3】 在同一个圆里，直径与半径的比是( )，比值是( )。 【答案】 2∶1 2 【分析】在同一个圆里，直径＝半径×2，把半径看作 1份，直径 2份，根据比的 意义即可解答。 【详解】在同一个圆里，直径＝半径×2，把半径看作 1份，直径 2份， 直径与半径的比是：2∶1 2∶1＝2÷1＝2 【点睛】此题考查的是同圆中，直径与半径的关系，掌握直径＝半径×2是解题 关键。 【考点五】直径和半径的关系问题其二。 【方法点拨】 1.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 2.在同一个圆内，直径的长度是半径的 2倍，半径的长度是直径的一半。 3.用字母表示为：d＝2r r＝d÷2 用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2。 【典型例题】 看图填一填。 15 / 31 (1) 半圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 (2) 长方形的长是( )m，周长是( )m。 【答案】(1) 7 14 (2) 10 28 【分析】（1）根据图意可知，半圆的半径等于长方形的宽，也就是 7cm，直径 等于半径的 2倍，用半径长度乘 2即可求出直径长度。 （2）根据图形可知，圆的直径为 4m，半径为（4÷2）m，长方形的长＝两个圆 的直径＋一个圆的半径，宽等于 4m，根据长方形的周长公式即可求出长方形的 周长。 【详解】（1）7×2＝14（cm） 即半圆的半径是 7cm，直径是 14cm。 （2）4＋4＋4÷2 ＝8＋2 ＝10（m） （10＋4）×2 ＝14×2 ＝28（m） 即长方形的长是 10m，周长是 28m。 【点睛】本题主要考查圆的半径和圆的直径之间的关系以及长方形的长、宽与圆 的半径、直径之间的关系。 【对应练习 1】 看图填空（单位：cm）。 16 / 31 (1)d＝( )cm (2)d＝( )cm (3)r＝( )cm (4)d＝( )cm 【答案】(1)12 (2)8.6 (3)4.5 (4)2.4 【分析】（1）在同一个圆中，直径是半径的 2倍，d＝2r； （2）梯形的高等于圆的半径，d＝2r； （3）如图所示，正方形的边长等于圆的直径 d，半径 r＝d÷2； （4）如图所示，3个圆的半径是 3.6cm，半径 r＝3.6÷3，直径 d＝2r；据此解答。 【详解】（1）d＝2×6＝12（cm） （2）d＝2×4.3＝8.6（cm） （3）r＝9÷2＝4.5（cm） （4）r＝3.6÷3＝1.2（cm） 17 / 31 d＝1.2×2＝2.4（cm） 【点睛】本题考查圆的特征、同圆或等圆中直径与半径的关系以及正方形的特征。 【对应练习 2】 看图填空。 r＝( )cm d＝( )cm r＝( )cm d＝( )cm 【答案】 3 8 10 9.6 【分析】根据圆的半径＝直径÷2，直径＝半径×2，计算后填空即可。 【详解】6÷2＝3（cm）、4×2＝8（cm）、4.8×2＝9.6（cm） 【点睛】关键是熟悉圆的特征，知道直径和半径之间的关系。 【对应练习 3】 看图填空。 （1） r＝( )cm，d＝( )cm。 （2） r＝( )cm，d＝( )cm。 （3） 长方形的宽是( )cm，长方形的长是( )cm。 18 / 31 （4） 长方形的长是( )cm，长方形的宽是( )cm。 【答案】 4 8 6 12 10 25 12 8 【分析】（1）由图可知，圆的直径相当于正方形的边长即 8cm，根据半径＝直 径÷2，据此解答。 （2）由图可知，长方形的长相当于圆的半径，根据直径＝半径×2，据此解答即 可。 （3）由图可知：圆的直径是 10cm，长方形的长＝两条圆的直径＋一条半径，宽 就是圆的半径。 （4）由图可知：长方形的长＝一条直径＋一条半径，宽就是圆的直径，据此解 答即可。 【详解】由分析可知： （1）8÷2＝4（cm） r＝（ 4 ）cm，d＝（ 8 ）cm。 （2）6×2＝12（cm） r＝（ 6 ）cm，d＝（ 12 ）cm。 （3）10×2＋10÷2 ＝20＋5 ＝25（cm） 长方形的宽是（ 10 ）cm，长方形的长是（ 25 ）cm。 （4）4×2＝8（cm） 4×2＋4 ＝8＋4 ＝12（cm） 长方形的长是（ 12 ）cm，长方形的宽是（ 8 ）cm。 【点睛】本题考查长方形内画圆，圆与长方形的关系，明确它们的关系是解题的 关键。 19 / 31 【考点六】圆的数量问题。 【方法点拨】 以固定直径在长方形或正方形内画圆，只能画整圆，因此需要计算出长、宽两边 各能画多少个圆，再将数量相乘。 【典型例题】 1. 把一张边长是 8分米的正方形纸片剪成半径是 0.5分米的圆片，一共可以剪 ( )个。 【答案】64 【分析】直径＝半径×2，在正方形里剪出的圆片数量相当于在正方形里剪出边长 等于直径的正方形数量，据此分析。 【详解】8×8÷（0.5×2）² ＝64÷1 ＝64（个） 【点睛】关键是熟悉圆的特征，掌握正方形面积公式。 2. 在长 12.4cm、宽 7.2cm的长方形纸中，剪半径是 1cm的圆，能剪( ) 个。 【答案】18 【分析】半径是 1cm的圆，则直径为 2cm，横着可以剪这样的圆的个数为 12.4÷2≈6 个，竖着可以剪这样的圆的个数为 7.2÷2≈3个（用去尾法取近似值，余下的不能 剪 1个就舍去），共 6×3=18个，据此选择即可。 【详解】1×2=2cm， 12.4÷2≈6（个）， 7.2÷2≈3（个）， 6×3=18（个）， 答：能剪 18个这样的圆 【点睛】分别求出在长方形中长和宽各能剪这样的圆多少个，然后相乘，要注意 用去尾法取近似值。 【对应练习 1】 在一块长 42厘米、宽 35厘米的长方形铁皮上，剪下半径是 3.5厘米的圆，最多 20 / 31 能剪( )个。 【答案】30 【分析】最多能剪圆的个数＝长边剪的个数×宽边剪的个数；其中，长边剪的个 数＝长÷圆的直径，宽边剪的个数＝宽÷圆的直径，直径＝半径×2，据此解答。 【详解】3.5×2＝7（厘米） 42÷7＝6（个） 35÷7＝5（个） 6×5＝30（个） 所以最多能剪 30个半径是 3.5厘米的圆。 【对应练习 2】 在一张长 19厘米，宽 13厘米的长方形纸中，剪直径是 2厘米的圆片，最多能剪 几( )个。 【答案】54 【分析】圆片的直径是 2厘米，根据长方形的长是 19厘米，宽是 13厘米，可分 别用长方形的长和宽除以圆直径就可得出长和宽分别可以剪出多少个圆片，最后 再相乘就是所求的答案，列式解答。 【详解】19÷2＝9（个）……1（厘米） 13÷2＝6（个）……1（厘米） 9×6＝54（个） 最多可以剪 54个。 【点睛】解答此题的关键是明确长方形切割成圆形的方法。不可用长方形的面积 除以圆的面积，因为圆不能密铺。 【对应练习 3】 一块长 30分米，宽 20分米的长方形硬纸板，最多可剪( )个半径是 20 厘米的圆。 【答案】35 【分析】先求出圆的直径；再求出长方形的长里面包含几条直径，宽里面包含几 条直径；最后用长里面包含的直径条数乘宽里面包含的直径条数求出最多可剪的 圆的个数。 21 / 31 【详解】30分米＝300厘米，20分米＝200厘米 直径：20×2＝40（厘米） 300÷40＝7（条）……20（厘米） 200÷40＝5（条） 7×5＝35（个） 所以最多可剪 35个半径是 20厘米的圆。 【点睛】因为圆不能密铺，所以求圆的个数不能用长方形的面积除以圆的面积。 【考点七】最圆问题。 【方法点拨】 在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； 在长方形里面画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽（较短的一边）。 【典型例题 1】长方形中的最圆。 在一张长 16cm、宽 12cm的长方形纸上画一个圆，圆规两脚间的距离最大是 ( )cm。 【答案】6 【分析】在长方形纸上画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，圆规两脚间的距 离是圆的半径，半径＝直径÷2，据此分析解答。 【详解】圆的直径等于长方形的宽是 12厘米，则半径为 12÷2＝6厘米，即圆规 两脚间的距离是 6厘米。 【点睛】此题考查圆直径和半径之间的关系，明确最大的圆的直径等于长方形的 较短边是解题的关键。 【对应练习 1】 在一个长 7厘米，宽 5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是 ( )，半径是( )。 【答案】 5厘米 2.5厘米 【分析】在长方形中画一个最大的圆，圆的直径不能超过长方形的宽，题中告诉 长方形的宽是 5厘米，所以圆的直径是 5厘米，同圆或等圆中，半径是直径的一 半，所以半径是（5÷2）厘米。 【详解】在一个长 7厘米，宽 5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的直 22 / 31 径是 5厘米，半径是 2.5厘米。 【对应练习 2】 在一个长 6厘米，宽 4厘米的长方形里画一个最大的圆，圆的直径是( ) 厘米。画一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )厘米。 【答案】 4 3 【分析】如下图，因为 6＞4，所以在长方形里画最大的圆，应以长方形的宽（4 厘米）为直径。6÷2＝3（厘米），3＜4，所以应该以长方形的长为最大半圆的直 径画半圆，再用直径÷2求出这个半圆的半径。 【详解】如上图，长方形中最大圆的直径等于长方形的宽，所以在一个长 6厘 米，宽 4厘米的长方形里画一个最大的圆，圆的直径是 4厘米。 6÷2＝3（厘米），3厘米小于长方形宽 4厘米，所以画一个最大的半圆，这个半 圆的半径是 3厘米。 【点睛】在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；在长方形内画最大 的半圆，当宽大于或等于长的一半时，半径是长的一半。 【对应练习 3】 在一个长 10厘米，宽 8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是( ) 厘米；如果在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是 ( )厘米。 【答案】 4 10 【分析】在长方形上画一个最大的圆，则圆的直径相当于长方形的宽，根据 d＝ 2r，用 8÷2即可求出圆的半径，如果在这个长方形内画一个最大的半圆，则半径 要小于宽，所以以长为半圆的直径可以画出最大的半圆。据此解答。 【详解】8÷2＝4（厘米） 10÷2＝5（厘米） 5＜8 23 / 31 在一个长 10厘米，宽 8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是 4厘米； 如果在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是 10厘米。 【点睛】本题主要考查了圆直径和半径之间的关系，以及长方形和圆的关系。 【典型例题 2】正方形中的最圆。 在一个边长是 2厘米的正方形里面，画一个最大的圆，圆的直径是( )厘 米。 【答案】2 【分析】能画出的最大的圆的直径，和正方形的边长相等。 【详解】在一个边长是 2厘米的正方形里面，画一个最大的圆，圆的直径是 2 厘米。 【点睛】本题考查了画圆，掌握圆的特征是解题的关键。 【对应练习 1】 从一张边长为 20cm的正方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的直径是 ( )cm。 【答案】20 【分析】根据题意，在正方形中画一个最大的圆，则这个圆的直径等于正方形的 边长，据此解答。 【详解】如图： 这个圆的直径是 20cm。 【点睛】掌握在正方形内画最大的圆，圆的直径与正方形的边长之间的关系是解 题的关键。 【对应练习 2】 在一个周长为 20cm的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是 ( )cm。 【答案】2.5 24 / 31 【分析】在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相等，用正方形 的周长除以 4即可求出边长，即圆的直径，再进一步求出半径即可。 【详解】20÷4÷2 ＝5÷2 ＝2.5（cm） 所以，在一个周长为 20cm的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径 是 2.5cm。 【点睛】解答本题的关键是要明确在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径与正方 形边长的关系。 【对应练习 3】 在一个周长为 100厘米的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是 ( )厘米。 【答案】12.5 【分析】在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相等，用正方形 的周长除以 4即可求出边长，即圆的直径，再进一步求出半径即可。 【详解】100÷4÷2 ＝25÷2 ＝12.5（厘米） 【点睛】解答本题的关键是要明确在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径与正方 形边长的关系。 【考点八】关于圆的作图。 【方法点拨】 圆规画圆。 定好两脚之间的距离，把带有针尖的脚固定在一点上，把装有铅笔的脚旋转一周， 就画出了一个圆。 【典型例题 1】圆规画圆。 画一个直径是 5厘米的圆，并用字母标出圆心和半径。 【答案】见详解 【分析】半径＝直径÷2，用 5÷2＝2.5厘米，求出圆的半径；用圆规画圆，有针 25 / 31 的一脚不动，确定圆心的位置；圆规两脚间的距离等于 2.5厘米，有笔头的一脚 旋转一周，即可得到半径是 2.5厘米的圆，并在图中用字母标出圆心 O、半径 r。 【详解】5÷2＝2.5（厘米） 如图： 【对应练习 1】 画一个半径是 2厘米的圆，并标出它的圆心 O和半径 r。 【答案】见详解 【分析】画圆的步骤如下：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径。 （2）把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心。（3）把装有铅笔尖的一只脚旋 转一周，就画出一个圆。 针尖固定的一点是圆心，通常用字母 O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段 是半径，通常用字母 r表示。据此解答。 【详解】 【对应练习 2】 请画出一个直径是 6厘米的半圆，并标出它的圆心和对称轴。 【答案】见详解 【分析】半径＝直径÷2，据此求出半径；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小， 26 / 31 由此画出这个半圆，并用字母标出它的圆心和半径；根据轴对称图形的意义：如 果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴。据此解答。 【详解】6÷2＝3（厘米） 如图： 【对应练习 3】 画一个半径是 1.5厘米的圆，并标出这个圆的圆心 O，然后画出一条半径和一条 直径，并用字母表示出来。 【答案】见详解 【分析】圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小；以点 O为圆心，圆规两脚之 间的距离就是半径，圆心到圆上的长度就是半径用字母 r表示；通过圆心且两个 端点在圆上的线段就是直径用字母 d表示。据此作图即可。 【详解】如图所示： 【典型例题 2】确定圆心。 请想办法找出一个圆的圆心，用画图的方式呈现思考过程。 【答案】见详解 27 / 31 【分析】根据圆的轴对称性，并且圆心是到圆周上任意一点距离都相等的点，把 这个圆看作一张圆形的纸，沿两个不同位置对折，这些折痕相交于圆内的一点就 是圆心的位置；据此解答。 【详解】画图如下： 【点睛】此题考查了圆形的认识与特征，关键理解概念。 【对应练习 1】 确定下面圆的圆心和直径。（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】先连接正方形的 2条对角线，以对角线的交点作为圆的圆心 O；然后画 一条通过圆心且两端都在圆上的线段，即是直径 d。 【详解】如图： 【点睛】本题考查确定圆心位置的方法以及直径的认识。 【对应练习 2】 请你找出下列圆的圆心和直径。 28 / 31 【答案】见详解 【分析】左图，连接正方形的两条对角线，两条对角线的交点即是圆心 O；通过 圆心任意画一条两端都在圆上的线段，即是圆的直径 d。 右图，连接正方形的两条对角线，两条对角线的交点即是圆心 O；因为这两条对 角线的两端都在圆上，所以它们也是圆的直径 d，据此画图即可。 【详解】如图： （答案不唯一） 【点睛】本题考查外方内圆、外圆内方图形找圆心和直径的方法。 【典型例题 3】画出最圆。 在下面正方形内画一个最大的圆，先找到圆心，再画圆，并标出圆心和半径。（保 留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】画出正方形的两条对角线，对角线的交点就是正方形内最大的圆的圆心。 测量正方形的边长，边长的一半就是圆的半径。 画圆的步骤如下： 29 / 31 1、把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径。 2、把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心。 3、把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【详解】 【对应练习 1】 如图，在正方形中画一个最大的圆，并用字母标出圆心和半径，同时保留找圆心 的作图痕迹。 【答案】见详解 【分析】连接两条对角线，两条对角线相交的点即为圆心，边长的一半为半径， 由此画出最大的圆即可。 【详解】画图如下： 【点睛】明确圆心的位置和半径的长度是解答本题的关键。 【对应练习 2】 按要求作图。 在下面的正方形里画一个最大的圆，并用字母标出圆心 O和半径 r。（保留作图 痕迹） 30 / 31 【答案】图形见详解 【分析】连接这个正方形的对角线，对角线的交点就是圆心，然后以正方形的边 长的一半为半径，据此作图即可。 【详解】经测量正方形的边长为 4厘米，则该圆的半径为 4÷2＝2（厘米） 如图所示： 【点睛】此题考查了正方形和圆的画法，抓住正方形内最大圆的特点，是解决本 题的关键。 【对应练习 3】 以点 0为圆心，在长方形中画出最大的圆，并画出整个图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】长方形有 2条对称轴，分别是两组对边中点所在的直线，长方形中最大 的圆是以宽为直径的圆，由此以长方形两条对称轴的交点为圆心，以宽为直径画 圆，由此即可解决问题。 【详解】以长方形两条对称轴的交点为圆心，以宽为直径画圆可画出符合题意的 图形如下： 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月16日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元圆·概念认识篇【八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元圆·概念认识篇 专题内容 本专题包括圆的基础概念、直径和半径的关系、关于圆的作图等。 总体评价 讲解建议 建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】圆的概念认识 3 【考点二】圆的对称性 4 【考点三】圆与图案设计 5 【考点四】直径和半径的关系问题其一 6 【考点五】直径和半径的关系问题其二 7 【考点六】圆的数量问题 9 【考点七】最圆问题 9 【考点八】关于圆的作图 10 【第三篇】典型例题篇 【考点一】圆的概念认识。 【方法点拨】 1.圆的定义。 一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条封闭的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。 2.圆的各部分。 3.直径经过圆心，是圆内最长的线段，在同一个圆内，有无数条半径，无数条直径，其中圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 【典型例题】 将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是( )。 【对应练习1】 ( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。 【对应练习2】 在研究“圆的认识”一课时，亮亮用直尺从点O出发依次画出很多条长度为4厘米的线段，形成一个近似的圆。这一想法，正好体现我们古代著名教育家墨子在2400多年前写的一句话：“圆，( )也”。 【对应练习3】 用圆规画圆时，针尖所在的点叫做( )，连接圆心和圆上任意一点的( )叫做半径，通过圆心并且两端都在( )的线段叫做直径。 【考点二】圆的对称性。 【方法点拨】 如果一个图形沿着一条虚线对折，两侧的图形完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条虚线叫做对称轴，在有圆的组合图形中，经过圆心的直径就是它的对称轴。 【典型例题1】圆的对称轴。 圆是轴对称图形，它有( )条对称轴，每条对称轴都经过( )。 【对应练习1】 下图有( )条对称轴。 【对应练习2】 请你根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的轴对称图形名称。 ( )、正方形、( )、长方形、( )。 【对应练习3】 如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第( )个图形，有( )条对称轴。 【典型例题2】作出对称轴。 画出下面图形的对称轴，并填空。 ( )条 【对应练习1】 画出下面轴对称图形的一条对称轴。 【对应练习2】 画出下列图形的所有的对称轴。    【对应练习3】 在下列各图形中，你能分别画出几条对称轴？ 【考点三】圆与图案设计。 【方法点拨】 图案设计需要运用轴对称或平移或旋转进行设计，需要结合自己的生活经验，展开想象。 【典型例题】 请你用一个圆形和一个正方形设计一个有四条对称轴的组合图形。 【对应练习1】 用圆规和尺作图，画一个与下图一样的图案。（正方形边长4厘米） 【对应练习2】 请你在下面的空白处画一个和下图形状一样的图案（大小可以不一样）。 【对应练习3】 利用圆规和三角尺，你能画出下面这些美丽的图形吗？试试看。 【考点四】直径和半径的关系问题其一。 【方法点拨】 1.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 2.在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 3.用字母表示为：d＝2r     r＝d÷2 用文字表示为：半径=直径÷2     直径=半径×2。 【典型例题】 将一个圆形纸片对折，量得折痕长10cm，那么这个圆的直径是( )cm，半径是( )cm。 【对应练习1】 用圆规画一个直径是3厘米的圆，它两脚张开的距离是( )厘米。 【对应练习2】 一个圆的半径是4.6厘米，它的直径是( )厘米。 【对应练习3】 在同一个圆里，直径与半径的比是( )，比值是( )。 【考点五】直径和半径的关系问题其二。 【方法点拨】 1.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 2.在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 3.用字母表示为：d＝2r     r＝d÷2 用文字表示为：半径=直径÷2     直径=半径×2。 【典型例题】 看图填一填。 (1)     半圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 (2) 长方形的长是( )m，周长是( )m。 【对应练习1】 看图填空（单位：cm）。 (1)d＝( )cm (2)d＝( )cm (3)r＝( )cm (4)d＝( )cm 【对应练习3】 看图填空。 （1） r＝( )cm，d＝( )cm。 （2） r＝( )cm，d＝( )cm。 （3） 长方形的宽是( )cm，长方形的长是( )cm。 （4） 长方形的长是( )cm，长方形的宽是( )cm。 【考点六】圆的数量问题。 【方法点拨】 以固定直径在长方形或正方形内画圆，只能画整圆，因此需要计算出长、宽两边各能画多少个圆，再将数量相乘。 【典型例题】 1. 把一张边长是8分米的正方形纸片剪成半径是0.5分米的圆片，一共可以剪( )个。 2. 在长12.4cm、宽7.2cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，能剪( )个。 【对应练习1】 在一块长42厘米、宽35厘米的长方形铁皮上，剪下半径是3.5厘米的圆，最多能剪( )个。 【对应练习2】 在一张长19厘米，宽13厘米的长方形纸中，剪直径是2厘米的圆片，最多能剪几( )个。 【对应练习3】 一块长30分米，宽20分米的长方形硬纸板，最多可剪( )个半径是20厘米的圆。 【考点七】最圆问题。 【方法点拨】 在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； 在长方形里面画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽（较短的一边）。 【典型例题1】长方形中的最圆。 在一张长16cm、宽12cm的长方形纸上画一个圆，圆规两脚间的距离最大是( )cm。 【对应练习1】 在一个长7厘米，宽5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是( )，半径是( )。 【对应练习2】 在一个长6厘米，宽4厘米的长方形里画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米。画一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )厘米。 【对应练习3】 在一个长10厘米，宽8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是( )厘米；如果在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是( )厘米。 【典型例题2】正方形中的最圆。 在一个边长是2厘米的正方形里面，画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米。 【对应练习1】 从一张边长为20cm的正方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的直径是( )cm。 【对应练习2】 在一个周长为20cm的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm。 【对应练习3】 在一个周长为100厘米的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米。 【考点八】关于圆的作图。 【方法点拨】 圆规画圆。 定好两脚之间的距离，把带有针尖的脚固定在一点上，把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。 【典型例题1】圆规画圆。 画一个直径是5厘米的圆，并用字母标出圆心和半径。 【对应练习1】 画一个半径是2厘米的圆，并标出它的圆心O和半径r。 【对应练习2】 请画出一个直径是6厘米的半圆，并标出它的圆心和对称轴。 【对应练习3】 画一个半径是1.5厘米的圆，并标出这个圆的圆心O，然后画出一条半径和一条直径，并用字母表示出来。 【典型例题2】确定圆心。 请想办法找出一个圆的圆心，用画图的方式呈现思考过程。 【对应练习1】 确定下面圆的圆心和直径。（保留作图痕迹） 【对应练习2】 请你找出下列圆的圆心和直径。 【典型例题3】画出最圆。 在下面正方形内画一个最大的圆，先找到圆心，再画圆，并标出圆心和半径。（保留作图痕迹） 【对应练习1】 如图，在正方形中画一个最大的圆，并用字母标出圆心和半径，同时保留找圆心的作图痕迹。 【对应练习2】 按要求作图。 在下面的正方形里画一个最大的圆，并用字母标出圆心O和半径r。（保留作图痕迹）       【对应练习3】 以点0为圆心，在长方形中画出最大的圆，并画出整个图形的所有对称轴。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月16日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元圆·概念认识篇【八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元圆·概念认识篇 专题内容 本专题包括圆的基础概念、直径和半径的关系、关于圆的作图等。 总体评价 讲解建议 建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】圆的概念认识 3 【考点二】圆的对称性 5 【考点三】圆与图案设计 10 【考点四】直径和半径的关系问题其一 13 【考点五】直径和半径的关系问题其二 14 【考点六】圆的数量问题 19 【考点七】最圆问题 21 【考点八】关于圆的作图 24 【第三篇】典型例题篇 【考点一】圆的概念认识。 【方法点拨】 1.圆的定义。 一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周，它的另一端就会画出一条封闭的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。 2.圆的各部分。 3.直径经过圆心，是圆内最长的线段，在同一个圆内，有无数条半径，无数条直径，其中圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 【典型例题】 将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是( )。 【答案】圆 【分析】一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，根据点动成线的原理即可理解。 【详解】将一条线段的一个端点不动，另一个端点旋转一周，其轨迹所形成的图形是（圆）。 【点睛】此题考查了对圆的认识。一个端点不动，就是圆心，一条线段就是半径，另一端点旋转一周，其轨迹所形成的图形就是圆。 【对应练习1】 ( )决定圆的位置，( )决定圆的大小。 【答案】 圆心 半径 【详解】画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 【对应练习2】 在研究“圆的认识”一课时，亮亮用直尺从点O出发依次画出很多条长度为4厘米的线段，形成一个近似的圆。这一想法，正好体现我们古代著名教育家墨子在2400多年前写的一句话：“圆，( )也”。 【答案】一中同长 【分析】圆这种图形，有一个中心，从这个中心到圆上各点都一样长。数学意义：圆有一个圆心，圆心到圆上各点的距离（即半径）都相等，即在同一个圆里，有无数条半径，所有半径长度都相等。早在2400多年前，我国古代著名教育家墨子就曾写过这样一句话“圆，一中同长也”，正是诠释了圆的这一特征。 【详解】根据分析得，亮亮的想法正好体现我们古代著名教育家墨子在2400多年前写的一句话：“圆，一中同长也”。 【点睛】此题的解题关键是认识理解圆的特征。 【对应练习3】 用圆规画圆时，针尖所在的点叫做( )，连接圆心和圆上任意一点的( )叫做半径，通过圆心并且两端都在( )的线段叫做直径。 【答案】 圆心 线段 圆上 【分析】根据圆的半径和直径的含义及圆的特征：从圆心到圆上任意一点的线段叫半径．通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径；在同一个圆里有无数条半径，有无数条直径，据此解答。 【详解】用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 【点睛】此题考查了圆的半径和直径的含义及圆的特征。 【考点二】圆的对称性。 【方法点拨】 如果一个图形沿着一条虚线对折，两侧的图形完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条虚线叫做对称轴，在有圆的组合图形中，经过圆心的直径就是它的对称轴。 【典型例题1】圆的对称轴。 圆是轴对称图形，它有( )条对称轴，每条对称轴都经过( )。 【答案】 无数 圆心 【分析】根据轴对称图形的定义以及圆的特征，分析填空即可。 【详解】圆是轴对称图形，它有无数条对称轴；因为圆的对称轴是直径所在的直线，又因为通过圆心、并且两端都在圆上的线段，叫做直径，所以圆的对称轴一定通过圆心。 【点睛】本题考查了圆，掌握圆的特征是解题的关键。 【对应练习1】 下图有( )条对称轴。 【答案】4 【分析】如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。分别找到圆和正方形的对称轴，再寻找组合图形的对称，据此解答。 【详解】正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴，所以题干中的组合图形有4条对称轴。 【点睛】本题需要根据正方形和圆的特征去找组合图形的对称轴。 【对应练习2】 请你根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的轴对称图形名称。 ( )、正方形、( )、长方形、( )。 【答案】 圆 等边三角形 等腰梯形 【分析】我们学过三角形、正方形、长方形、梯形和圆等平面图形，其中等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆有无数条对称轴。据此，结合题意分析填空即可。 【详解】根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的轴对称图形名称。 圆、正方形、等边三角形、长方形、等腰梯形。 【点睛】本题考查了对称轴的数量，熟记常见图形的对称轴数量是解题的关键。 【对应练习3】 如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第( )个图形，有( )条对称轴。 【答案】 3 无数 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次找出对称轴即可。 【详解】第一个图形有5条对称轴； 第二个图形有3条对称轴； 第三个图形是个圆，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条直径，所以有无数条对称轴。 从左边数，对称轴条数最多的是第3个图形，有无数条对称轴。 【点睛】此题考查了轴对称图形的意义，要寻找对称轴，就看图形对折后两部分是否完全重合。 【典型例题2】作出对称轴。 画出下面图形的对称轴，并填空。 （     ）条 【答案】画图见详解； 1 【分析】如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。画对称轴时要用虚线。此图是由一个大圆和两个大小相同的小圆组成的，过大圆的圆心和两个小圆相交处画直线，直线两旁的部分能够完全重合。 【详解】如下图。 把大圆的圆心和两个小圆相交处相连并延长，可以画出对称轴，所以这个图形有1条对称轴。 【点睛】找组合图形的对称轴时，要把这些图形看作一个整体，仔细观察，发现对称轴的位置。 【对应练习1】 画出下面轴对称图形的一条对称轴。 【答案】见详解 【分析】轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴。 【详解】作图如下： （画法不唯一）。 【点睛】此题考查了轴对称的意义及在实际当中的运用。 【对应练习2】 画出下列图形的所有的对称轴。    【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【详解】如图：    【点睛】利用轴对称图形的特点，找出轴对称图形的所有对称轴是解题的关键。 【对应练习3】 在下列各图形中，你能分别画出几条对称轴？ 【答案】见详解 【分析】画对称轴的步骤：（1）找出轴对称图形的任意一组对称点。（2）连结对称点。（3）画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。 据此画出各图形对称轴并确定对称轴的数量即可。 【详解】 【点睛】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 【考点三】圆与图案设计。 【方法点拨】 图案设计需要运用轴对称或平移或旋转进行设计，需要结合自己的生活经验，展开想象。 【典型例题】 请你用一个圆形和一个正方形设计一个有四条对称轴的组合图形。 【答案】见详解 【分析】画一个正方形，再以这个正方形的对角线的交点为圆心，以正方形边长的一半为半径，所画出的图形就符合要求；或者先画一个圆，再画这个圆的两条互相垂直的直径，分别连接两条直径与圆的交点，所形成的四边形就是正方形，且这个正方形和这个圆所组成的图形有四条对称轴。 【详解】依据分析画图如下： 或者 【点睛】此题主要考查圆的画法以及轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴。 【对应练习1】 ．用圆规和尺作图，画一个与下图一样的图案。（正方形边长4厘米） 【答案】见详解 【分析】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 用画垂线或平行线的方法，先画一个边长4厘米的正方形，以正方形每条边的中点为圆心，分别画出4个直径是4厘米的半圆即可。 【详解】 【点睛】关键是掌握画正方形和圆的方法，能利用圆规画出圆。 【对应练习2】 请你在下面的空白处画一个和下图形状一样的图案（大小可以不一样）。 【答案】见详解 【分析】先测量出原图中大圆的半径，再确定所画大圆的圆心，根据测量结果画出大圆，然后在大圆中画两条互相垂直的直径，以所画半径的中点为圆心，半径的一半为半径画出四个小圆，最后根据原图形涂出阴影部分，据此解答。 【详解】分析可知： 【点睛】画圆时，圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，掌握圆的画法是解答题目的关键。 【对应练习3】 利用圆规和三角尺，你能画出下面这些美丽的图形吗？试试看。 【答案】见详解 【分析】，先画出一个正方形，一正方形每条边的中心为圆心，正方形边长的一半为半径，分别画出4个半圆即可； ，先画出大圆，再画出两条垂直的直径，以大圆半径的中心为圆心，分别画出4个半圆即可； ，先画出大圆，以大圆直径上的两条半径中心为圆心，上下各画两个半圆弧即可； ，先画出大圆，再画出两条垂直的半径，分别以大圆半径的中心为圆心，画出4个半圆弧即可； 【详解】 【点睛】关键是看懂图例，掌握画圆的方法。 【考点四】直径和半径的关系问题其一。 【方法点拨】 1.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 2.在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 3.用字母表示为：d＝2r     r＝d÷2 用文字表示为：半径=直径÷2     直径=半径×2。 【典型例题】 将一个圆形纸片对折，量得折痕长10cm，那么这个圆的直径是( )cm，半径是( )cm。 【答案】 10 5 【分析】根据直径的含义：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径；据此可知折痕就是圆的直径；再根据半径＝直径÷2，据此解答即可。 【详解】将一个圆形纸片对折，量得折痕长10cm，则这个圆的直径是10cm； 10÷2＝5（cm）。 则半径是5cm。 【对应练习1】 用圆规画一个直径是3厘米的圆，它两脚张开的距离是( )厘米。 【答案】1.5 【分析】圆规两脚张开的距离相当于圆的半径，圆的直径相当于半径的两倍，用3÷2即可求出半径。 【详解】3÷2＝1.5（厘米） 圆规两脚张开的距离是1.5厘米。 【点睛】本题主要考查了圆的认识，明确直径和半径之间的关系是解答本题的关键。 【对应练习2】 一个圆的半径是4.6厘米，它的直径是( )厘米。 【答案】9.2 【分析】同一个圆内，直径＝半径×2，据此分析。 【详解】4.6×2＝9.2（厘米） 【点睛】关键是熟悉圆的特征。 【对应练习3】 在同一个圆里，直径与半径的比是( )，比值是( )。 【答案】 2∶1 2 【分析】在同一个圆里，直径＝半径×2，把半径看作1份，直径2份，根据比的意义即可解答。 【详解】在同一个圆里，直径＝半径×2，把半径看作1份，直径2份， 直径与半径的比是：2∶1 2∶1＝2÷1＝2 【点睛】此题考查的是同圆中，直径与半径的关系，掌握直径＝半径×2是解题关键。 【考点五】直径和半径的关系问题其二。 【方法点拨】 1.在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。 2.在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 3.用字母表示为：d＝2r     r＝d÷2 用文字表示为：半径=直径÷2     直径=半径×2。 【典型例题】 看图填一填。 (1)     半圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 (2) 长方形的长是( )m，周长是( )m。 【答案】(1) 7 14 (2) 10 28 【分析】（1）根据图意可知，半圆的半径等于长方形的宽，也就是7cm，直径等于半径的2倍，用半径长度乘2即可求出直径长度。 （2）根据图形可知，圆的直径为4m，半径为（4÷2）m，长方形的长＝两个圆的直径＋一个圆的半径，宽等于4m，根据长方形的周长公式即可求出长方形的周长。 【详解】（1）7×2＝14（cm） 即半圆的半径是7cm，直径是14cm。 （2）4＋4＋4÷2 ＝8＋2 ＝10（m） （10＋4）×2 ＝14×2 ＝28（m） 即长方形的长是10m，周长是28m。 【点睛】本题主要考查圆的半径和圆的直径之间的关系以及长方形的长、宽与圆的半径、直径之间的关系。 【对应练习1】 看图填空（单位：cm）。 (1)d＝( )cm (2)d＝( )cm (3)r＝( )cm (4)d＝( )cm 【答案】(1)12 (2)8.6 (3)4.5 (4)2.4 【分析】（1）在同一个圆中，直径是半径的2倍，d＝2r； （2）梯形的高等于圆的半径，d＝2r； （3）如图所示，正方形的边长等于圆的直径d，半径r＝d÷2； （4）如图所示，3个圆的半径是3.6cm，半径r＝3.6÷3，直径d＝2r；据此解答。 【详解】（1）d＝2×6＝12（cm） （2）d＝2×4.3＝8.6（cm） （3）r＝9÷2＝4.5（cm） （4）r＝3.6÷3＝1.2（cm） d＝1.2×2＝2.4（cm） 【点睛】本题考查圆的特征、同圆或等圆中直径与半径的关系以及正方形的特征。 【对应练习2】 看图填空。 r＝( )cm   d＝( )cm   r＝( )cm   d＝( )cm 【答案】 3 8 10 9.6 【分析】根据圆的半径＝直径÷2，直径＝半径×2，计算后填空即可。 【详解】6÷2＝3（cm）、4×2＝8（cm）、4.8×2＝9.6（cm） 【点睛】关键是熟悉圆的特征，知道直径和半径之间的关系。 【对应练习3】 看图填空。 （1） r＝( )cm，d＝( )cm。 （2） r＝( )cm，d＝( )cm。 （3） 长方形的宽是( )cm，长方形的长是( )cm。 （4） 长方形的长是( )cm，长方形的宽是( )cm。 【答案】 4 8 6 12 10 25 12 8 【分析】（1）由图可知，圆的直径相当于正方形的边长即8cm，根据半径＝直径÷2，据此解答。 （2）由图可知，长方形的长相当于圆的半径，根据直径＝半径×2，据此解答即可。 （3）由图可知：圆的直径是10cm，长方形的长＝两条圆的直径＋一条半径，宽就是圆的半径。 （4）由图可知：长方形的长＝一条直径＋一条半径，宽就是圆的直径，据此解答即可。 【详解】由分析可知： （1）8÷2＝4（cm） r＝（ 4 ）cm，d＝（ 8 ）cm。 （2）6×2＝12（cm） r＝（ 6 ）cm，d＝（ 12  ）cm。 （3）10×2＋10÷2 ＝20＋5 ＝25（cm） 长方形的宽是（ 10 ）cm，长方形的长是（ 25  ）cm。 （4）4×2＝8（cm） 4×2＋4 ＝8＋4 ＝12（cm） 长方形的长是（ 12  ）cm，长方形的宽是（ 8  ）cm。 【点睛】本题考查长方形内画圆，圆与长方形的关系，明确它们的关系是解题的关键。 【考点六】圆的数量问题。 【方法点拨】 以固定直径在长方形或正方形内画圆，只能画整圆，因此需要计算出长、宽两边各能画多少个圆，再将数量相乘。 【典型例题】 1. 把一张边长是8分米的正方形纸片剪成半径是0.5分米的圆片，一共可以剪( )个。 【答案】64 【分析】直径＝半径×2，在正方形里剪出的圆片数量相当于在正方形里剪出边长等于直径的正方形数量，据此分析。 【详解】8×8÷（0.5×2）² ＝64÷1 ＝64（个） 【点睛】关键是熟悉圆的特征，掌握正方形面积公式。 2. 在长12.4cm、宽7.2cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，能剪( )个。 【答案】18 【分析】半径是1cm的圆，则直径为2cm，横着可以剪这样的圆的个数为12.4÷2≈6个，竖着可以剪这样的圆的个数为7.2÷2≈3个（用去尾法取近似值，余下的不能剪1个就舍去），共6×3=18个，据此选择即可。 【详解】1×2=2cm， 12.4÷2≈6（个）， 7.2÷2≈3（个）， 6×3=18（个）， 答：能剪18个这样的圆 【点睛】分别求出在长方形中长和宽各能剪这样的圆多少个，然后相乘，要注意用去尾法取近似值。 【对应练习1】 在一块长42厘米、宽35厘米的长方形铁皮上，剪下半径是3.5厘米的圆，最多能剪( )个。 【答案】30 【分析】最多能剪圆的个数＝长边剪的个数×宽边剪的个数；其中，长边剪的个数＝长÷圆的直径，宽边剪的个数＝宽÷圆的直径，直径＝半径×2，据此解答。 【详解】3.5×2＝7（厘米） 42÷7＝6（个） 35÷7＝5（个） 6×5＝30（个） 所以最多能剪30个半径是3.5厘米的圆。 【对应练习2】 在一张长19厘米，宽13厘米的长方形纸中，剪直径是2厘米的圆片，最多能剪几( )个。 【答案】54 【分析】圆片的直径是2厘米，根据长方形的长是19厘米，宽是13厘米，可分别用长方形的长和宽除以圆直径就可得出长和宽分别可以剪出多少个圆片，最后再相乘就是所求的答案，列式解答。 【详解】19÷2＝9（个）……1（厘米） 13÷2＝6（个）……1（厘米） 9×6＝54（个） 最多可以剪54个。 【点睛】解答此题的关键是明确长方形切割成圆形的方法。不可用长方形的面积除以圆的面积，因为圆不能密铺。 【对应练习3】 一块长30分米，宽20分米的长方形硬纸板，最多可剪( )个半径是20厘米的圆。 【答案】35 【分析】先求出圆的直径；再求出长方形的长里面包含几条直径，宽里面包含几条直径；最后用长里面包含的直径条数乘宽里面包含的直径条数求出最多可剪的圆的个数。 【详解】30分米＝300厘米，20分米＝200厘米 直径：20×2＝40（厘米） 300÷40＝7（条）……20（厘米） 200÷40＝5（条） 7×5＝35（个） 所以最多可剪35个半径是20厘米的圆。 【点睛】因为圆不能密铺，所以求圆的个数不能用长方形的面积除以圆的面积。 【考点七】最圆问题。 【方法点拨】 在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长； 在长方形里面画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽（较短的一边）。 【典型例题1】长方形中的最圆。 在一张长16cm、宽12cm的长方形纸上画一个圆，圆规两脚间的距离最大是( )cm。 【答案】6 【分析】在长方形纸上画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，圆规两脚间的距离是圆的半径，半径＝直径÷2，据此分析解答。 【详解】圆的直径等于长方形的宽是12厘米，则半径为12÷2＝6厘米，即圆规两脚间的距离是6厘米。 【点睛】此题考查圆直径和半径之间的关系，明确最大的圆的直径等于长方形的较短边是解题的关键。 【对应练习1】 在一个长7厘米，宽5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是( )，半径是( )。 【答案】 5厘米 2.5厘米 【分析】在长方形中画一个最大的圆，圆的直径不能超过长方形的宽，题中告诉长方形的宽是5厘米，所以圆的直径是5厘米，同圆或等圆中，半径是直径的一半，所以半径是（5÷2）厘米。 【详解】在一个长7厘米，宽5厘米的长方形里，画一个最大的圆，这个圆的直径是5厘米，半径是2.5厘米。 【对应练习2】 在一个长6厘米，宽4厘米的长方形里画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米。画一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )厘米。 【答案】 4 3 【分析】如下图，因为6＞4，所以在长方形里画最大的圆，应以长方形的宽（4厘米）为直径。6÷2＝3（厘米），3＜4，所以应该以长方形的长为最大半圆的直径画半圆，再用直径÷2求出这个半圆的半径。   【详解】如上图，长方形中最大圆的直径等于长方形的宽，所以在一个长6厘米，宽4厘米的长方形里画一个最大的圆，圆的直径是4厘米。 6÷2＝3（厘米），3厘米小于长方形宽4厘米，所以画一个最大的半圆，这个半圆的半径是3厘米。 【点睛】在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽；在长方形内画最大的半圆，当宽大于或等于长的一半时，半径是长的一半。 【对应练习3】 在一个长10厘米，宽8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是( )厘米；如果在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是( )厘米。 【答案】 4 10 【分析】在长方形上画一个最大的圆，则圆的直径相当于长方形的宽，根据d＝2r，用8÷2即可求出圆的半径，如果在这个长方形内画一个最大的半圆，则半径要小于宽，所以以长为半圆的直径可以画出最大的半圆。据此解答。 【详解】8÷2＝4（厘米） 10÷2＝5（厘米） 5＜8 在一个长10厘米，宽8厘米的长方形中画一个最大的圆，圆的半径是4厘米；如果在这个长方形内画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径是10厘米。 【点睛】本题主要考查了圆直径和半径之间的关系，以及长方形和圆的关系。 【典型例题2】正方形中的最圆。 在一个边长是2厘米的正方形里面，画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米。 【答案】2 【分析】能画出的最大的圆的直径，和正方形的边长相等。 【详解】在一个边长是2厘米的正方形里面，画一个最大的圆，圆的直径是2厘米。 【点睛】本题考查了画圆，掌握圆的特征是解题的关键。 【对应练习1】 从一张边长为20cm的正方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的直径是( )cm。 【答案】20 【分析】根据题意，在正方形中画一个最大的圆，则这个圆的直径等于正方形的边长，据此解答。 【详解】如图： 这个圆的直径是20cm。 【点睛】掌握在正方形内画最大的圆，圆的直径与正方形的边长之间的关系是解题的关键。 【对应练习2】 在一个周长为20cm的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm。 【答案】2.5 【分析】在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相等，用正方形的周长除以4即可求出边长，即圆的直径，再进一步求出半径即可。 【详解】20÷4÷2 ＝5÷2 ＝2.5（cm） 所以，在一个周长为20cm的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是2.5cm。 【点睛】解答本题的关键是要明确在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径与正方形边长的关系。 【对应练习3】 在一个周长为100厘米的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米。 【答案】12.5 【分析】在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相等，用正方形的周长除以4即可求出边长，即圆的直径，再进一步求出半径即可。 【详解】100÷4÷2 ＝25÷2 ＝12.5（厘米） 【点睛】解答本题的关键是要明确在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径与正方形边长的关系。 【考点八】关于圆的作图。 【方法点拨】 圆规画圆。 定好两脚之间的距离，把带有针尖的脚固定在一点上，把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。 【典型例题1】圆规画圆。 画一个直径是5厘米的圆，并用字母标出圆心和半径。 【答案】见详解 【分析】半径＝直径÷2，用5÷2＝2.5厘米，求出圆的半径；用圆规画圆，有针的一脚不动，确定圆心的位置；圆规两脚间的距离等于2.5厘米，有笔头的一脚旋转一周，即可得到半径是2.5厘米的圆，并在图中用字母标出圆心O、半径r。 【详解】5÷2＝2.5（厘米） 如图： 【对应练习1】 画一个半径是2厘米的圆，并标出它的圆心O和半径r。 【答案】见详解 【分析】画圆的步骤如下：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径。（2）把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心。（3）把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示。据此解答。 【详解】 【对应练习2】 请画出一个直径是6厘米的半圆，并标出它的圆心和对称轴。 【答案】见详解 【分析】半径＝直径÷2，据此求出半径；圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此画出这个半圆，并用字母标出它的圆心和半径；根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。据此解答。 【详解】6÷2＝3（厘米） 如图： 【对应练习3】 画一个半径是1.5厘米的圆，并标出这个圆的圆心O，然后画出一条半径和一条直径，并用字母表示出来。 【答案】见详解 【分析】圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小；以点O为圆心，圆规两脚之间的距离就是半径，圆心到圆上的长度就是半径用字母r表示；通过圆心且两个端点在圆上的线段就是直径用字母d表示。据此作图即可。 【详解】如图所示： 【典型例题2】确定圆心。 请想办法找出一个圆的圆心，用画图的方式呈现思考过程。 【答案】见详解 【分析】根据圆的轴对称性，并且圆心是到圆周上任意一点距离都相等的点，把这个圆看作一张圆形的纸，沿两个不同位置对折，这些折痕相交于圆内的一点就是圆心的位置；据此解答。 【详解】画图如下： 【点睛】此题考查了圆形的认识与特征，关键理解概念。 【对应练习1】 确定下面圆的圆心和直径。（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】先连接正方形的2条对角线，以对角线的交点作为圆的圆心O；然后画一条通过圆心且两端都在圆上的线段，即是直径d。 【详解】如图： 【点睛】本题考查确定圆心位置的方法以及直径的认识。 【对应练习2】 请你找出下列圆的圆心和直径。 【答案】见详解 【分析】左图，连接正方形的两条对角线，两条对角线的交点即是圆心O；通过圆心任意画一条两端都在圆上的线段，即是圆的直径d。 右图，连接正方形的两条对角线，两条对角线的交点即是圆心O；因为这两条对角线的两端都在圆上，所以它们也是圆的直径d，据此画图即可。 【详解】如图： （答案不唯一） 【点睛】本题考查外方内圆、外圆内方图形找圆心和直径的方法。 【典型例题3】画出最圆。 在下面正方形内画一个最大的圆，先找到圆心，再画圆，并标出圆心和半径。（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】画出正方形的两条对角线，对角线的交点就是正方形内最大的圆的圆心。测量正方形的边长，边长的一半就是圆的半径。 画圆的步骤如下： 1、把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径。 2、把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心。 3、把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【详解】 【对应练习1】 如图，在正方形中画一个最大的圆，并用字母标出圆心和半径，同时保留找圆心的作图痕迹。 【答案】见详解 【分析】连接两条对角线，两条对角线相交的点即为圆心，边长的一半为半径，由此画出最大的圆即可。 【详解】画图如下： 【点睛】明确圆心的位置和半径的长度是解答本题的关键。 【对应练习2】 按要求作图。 在下面的正方形里画一个最大的圆，并用字母标出圆心O和半径r。（保留作图痕迹）       【答案】图形见详解 【分析】连接这个正方形的对角线，对角线的交点就是圆心，然后以正方形的边长的一半为半径，据此作图即可。 【详解】经测量正方形的边长为4厘米，则该圆的半径为4÷2＝2（厘米） 如图所示： 【点睛】此题考查了正方形和圆的画法，抓住正方形内最大圆的特点，是解决本题的关键。 【对应练习3】 以点0为圆心，在长方形中画出最大的圆，并画出整个图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】长方形有2条对称轴，分别是两组对边中点所在的直线，长方形中最大的圆是以宽为直径的圆，由此以长方形两条对称轴的交点为圆心，以宽为直径画圆，由此即可解决问题。 【详解】以长方形两条对称轴的交点为圆心，以宽为直径画圆可画出符合题意的图形如下： 【点睛】抓住长方形对称轴的特点和长方形内最大圆的特点，确定这个圆的圆心为两条对称轴的交点，是解决本题的关键。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$