2024年中考数学专题训练：二次函数综合（特殊三角形问题）

2024年中考数学专题训练： 二次函数综合（特殊三角形问题） 1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，直线BC的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为线段上方抛物线上的任意一点，过点P作交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过原点，则抛物线与原抛物线交于点K，连接，过B作直线交y轴于点E，设F是直线上一点，点K关于直线的对称点为，试探究，是否存在满足条件的点F，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，与过点且平行于轴的直线交于另一点D．设抛物线上一动点P的横坐标为． (1)求该抛物线的函数表达式及点D坐标； (2)当时，求的面积与的函数关系式，并求的最大值； (3)点为轴上另一动点． ①若以B，M，D，P为顶点的四边形是平行四边形求此时点P的坐标； ②当点M在线段运动时，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，若线段与抛物线有公共点，请求出的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求点坐标． (3)在（2）的条件下，若点位于对称轴左侧，点是抛物线对称轴上一点，点是平面上一点，当以为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的关系解析式； (2)点p是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 5．如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的面积等于的面积的时，求的值； (3)在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图1抛物线经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1连接，过点A作轴，垂足为点B，点E，F分别是线段上的动点，且不与线段的端点重合； ①在直线变化的过程中，若直线平分四边形的面积，且C到直线EF的距离最大，求此时直线的解析式； ②如图2，连接，点N是y轴上一点，点M是二次函数上一点，当四边形为矩形时，求出点E的坐标． 7．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，为常数）与轴交于点，，与轴交于点，直线的解析式为，为此抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方的抛物线上一个动点（点与点不重合），连接，，当时，求点的坐标； (3)请直接写出的值； (4)若是对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线交抛物线于点，且． ①求点E的坐标． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一动点． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点P在直线上方时，过点P作y轴的平行线交直线于点E． ①求面积的最大值； ②点M是平面直角坐标系内一点，是否存在点P，使得以点B，E，P，M为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作交抛物线于点Q，过点D作于点H，请直接写出点H到抛物线对称轴距离的最大值． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点A在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，点直线上方抛物线上（不与重合）的一动点，过点作交轴于点，轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物，点为新抛物上轴左侧的一动点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交于点，连接，将沿直线翻折，若点的对应点恰好落在坐标轴上，请直接写出点的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)①如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值； ②如图2，若点为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13． 如图，二次函数的图象与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点．点是轴左侧抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，过点作轴的平行线交轴于点，交抛物线于另一点． (1)求点，的坐标．． (2)当点在第二象限时，连接，交直线于点．当是中点时，求的值． (3)点是抛物线上一点，横坐标为抛物线在、之间的图象记为（包括边界），设图象最高点与最低点纵坐标的差为，求与的函数关系式． (4)以为边作正方形，当点在正方形的边上时，直接写出点的坐标． 14．如图1，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为直线上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，过点P作y轴的平行线交于点H，求的最大值及此时点P的坐标； (3)把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M，在新抛物线上找一点N，直接写出所有使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标． 15．如图，抛物线经过，，三点． (1)求这条抛物线的解析式： (2)P为抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点为顶点构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$