精品解析：天津市津南区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

2023-2024学年第一学期天津市津南区九年级数学期末模拟试卷 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　 　） A. B. C. D. 2. 关于一元二次方程的一个根是-1，则的值是（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 3 3. 函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（　　） A. y＝﹣2（x﹣1）2+2 B. y＝﹣2（x﹣1）2﹣2 C. y＝﹣2（x+1）2+2 D. y＝﹣2（x+1）2﹣2 4. 如图，已知，，，的长为(　　) A. B. C. D. 5. 对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A. 图象经过点（2，﹣1） B. 图象位于第二、四象限 C. 当 x＜0 时，y随 x的增大而减小 D. 当 x＞0 时，y 随 x的增大而增大 6. 小明准备在2023年春节期间去看电影，他想在《满江红》，《龙马精神》，《流浪地球2》，《想见你》，《回天有我》这五部电影中选取两部去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《满江红》和《流浪地球2》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的大小是( ) A. 100° B. 140° C. 130° D. 120° 8. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m A 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 9. 一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A 2秒 B. 4秒 C. 或秒 D. 2或4秒 12. 二次函数（其中是常数，），对称轴为直线，函数图象的一部分如图所示，下列说法中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 关于x的一元二次方程的一个根是，则c的值为_______． 14. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有___________个． 15. 如图，小树AB在路灯O照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为_____m． 16. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝_____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数上的图像上，则k的值为________； 18. 如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O、；将绕旋转180°得到，交x轴于；将绕旋转180°得到，交x轴于；如此进行下去，直至得到，若点在第7段抛物线上，则________。 三．解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝6，CE＝4，求△ABC的边长． 21. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题 （1）这次被调查的学生共有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 22. 如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C． （1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数； （2）若AC＝2，CE＝2，求⊙O半径的长． 23. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S． （1）求S与x的函数关系式； （2）并求出当AB的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？ 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴交于点C． （1）求直线和反比例函数的表达式； （2）直接写出时x的取值范围； （3）将直线向上平移，平移后的直线与反比例函数在第一象限的图象交于点P，连接，，若的面积为12，求点P的坐标． 25. 在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）， （1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm． （2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？ （3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值． 26. 如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标； （3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第一学期天津市津南区九年级数学期末模拟试卷 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念．根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与自身重合，那么这各图形为中心对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A.不能找到这样一个点，使图形绕这一点旋转后与自身重合，此项不符合题意； B.不能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转后与自身重合，此项不符合题意； C.能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转后与自身重合，此项符合题意； D.不能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转后与自身重合，此项不符合题意． 故选：C． 2. 关于的一元二次方程的一个根是-1，则的值是（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】将代入原方程即可求出结果． 【详解】解：将代入原方程得，解得． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义． 3. 函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（　　） A. y＝﹣2（x﹣1）2+2 B. y＝﹣2（x﹣1）2﹣2 C. y＝﹣2（x+1）2+2 D. y＝﹣2（x+1）2﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像的平移方法“左加右减，上加下减”直接进行求解即可． 【详解】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟记“左加右减，上加下减”是解决图像平移的关键． 4. 如图，已知，，，的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， 故选：B． 5. 对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A 图象经过点（2，﹣1） B. 图象位于第二、四象限 C. 当 x＜0 时，y随 x的增大而减小 D. 当 x＞0 时，y 随 x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质即可直接作出判断． 【详解】A、把x=2代入得，y=1，则（2，﹣1）不在图象上，选项错误； B、图象位于第一、三象限，选项错误； C、当x＜0时，y随x的增大而减小，选项正确； D、当x＞0时，y随x的增大而减小，选项错误． 故选：C． 6. 小明准备在2023年春节期间去看电影，他想在《满江红》，《龙马精神》，《流浪地球2》，《想见你》，《回天有我》这五部电影中选取两部去观看，他选取背面完全相同的五张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《满江红》和《流浪地球2》的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用列表法列举即可求解． 【详解】用“A”代表《满江红》和《流浪地球2》，用“B”代表《龙马精神》，《想见你》，《回天有我》，列表如下： 即总的情况有20种，满足条件的有2种， 即：则小明抽中《满江红》和《流浪地球2》的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 7. 如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的大小是( ) A. 100° B. 140° C. 130° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答. 【详解】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°， 由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键. 8. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题． 【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵BE=1.5m，AB=3m，BC=7m， ∴AC=AB+BC=10m， ∴， 解得，DC=5， 即建筑物CD的高是5m； 故选：D 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9. 一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此可以得出二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、， 二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键． 10. 已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算出自变量为-2、-1和3的函数值，然后比较函数值的大小． 【详解】解：∵点A（-2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上， ∴y1=-2×4=-8；y2=-2×1=-2；y3=-2×9=-18， ∴y3＜y1＜y2． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 11. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A. 2秒 B. 4秒 C. 或秒 D. 2或4秒 【答案】C 【解析】 【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案． 详解】解：设经过秒时, 与相似, 则 , 当 时, , 即 解得： 当 时, , 即 解得： 综上所述：经过或秒时,与相似 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 12. 二次函数（其中是常数，），对称轴为直线，函数图象的一部分如图所示，下列说法中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图形与性质．由抛物线的开口方向判断，由抛物线与轴的交点判断，根据对称轴的位置判断及关系，根据抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所有结论进行逐一判断． 【详解】解：①∵开口向下， ∴ 对称轴在轴右边，故． ∴，故①错误； ②由图知：对称轴，即 ∴，故②正确； ③抛物线于轴有两个交点．故，故③正确； ④由图象可知，抛物线与轴的左交点位于 0 和 之间，在两个交点之间时，， 当时，，即： 当时，，即： ∴ ∴，故④正确； ⑤根据当时，，即：，由②将，代入 ∴，故⑤错误； 故正确的个数为：3个． 故选：B． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 关于x一元二次方程的一个根是，则c的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义把代入中得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意把代入一元二次方程得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 14. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有___________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率约为，进而根据概率计算公式求出袋子中球的总数即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为， ∴摸到白球的概率约为， ∴袋子中一共有个球， ∴估计袋子中黑球的有个， 故答案为： 15. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为_____m． 【答案】 【解析】 【分析】由于OP和AB与地面垂直，则AB∥OP，根据相似三角形的判定可证△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性质即可求出OP的长． 【详解】解：∵AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴， 即， ∴OP＝m． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16. 如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝_____． 【答案】28° 【解析】 【详解】∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABD=62°， ∴∠ACD=∠ABD=62°， ∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=28°． 故答案为28°． 点睛：本题考查圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数上的图像上，则k的值为________； 【答案】-4 【解析】 【分析】连接AC交OB于D，如图，根据菱形的性质得AC⊥OB，S△OCD=S菱形ABCO=2，再利用反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后根据反比例函数的性质确定k的值． 【详解】解：连接AC交OB于D，如图， ∵四边形ABCO为菱形， ∴AC⊥OB，S△OCD=S菱形ABCO=×8=2， ∵CD⊥y轴， ∴S△OCD=|k|， 即|k|=2， 而k＜0， ∴k=-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了菱形的性质． 18. 如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O、；将绕旋转180°得到，交x轴于；将绕旋转180°得到，交x轴于；如此进行下去，直至得到，若点在第7段抛物线上，则________。 【答案】1 【解析】 【分析】将y=0代入中即可求出点O的坐标为（0,0），的坐标为（2,0），然后利用图像规律可得：C1到可以看作向右平移了12个单位，从而得到的解析式，然后将点的坐标代入即可求出m. 【详解】解：将y=0代入中得： 解得： 故点O的坐标为（0,0），的坐标为（2,0） ∵将绕旋转180°得到，交x轴于 ∴的坐标为（4,0） ∵将绕旋转180°得到，交x轴于 ∴的坐标为（6,0） 由题意和图像可知：C1到可以看作向右平移了4个单位， 同理可得：C3到可以看作向右平移了4个单位， C5到可以看作向右平移了4个单位 ∴C1到可以看作向右平移了12个单位 根据平移规律，的解析式为： ∵点在第7段抛物线上， ∴ 故答案为：1. 【点睛】此题考查的是二次函数的图像及性质，掌握二次函数的平移规律是解决此题的关键. 三．解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 解得，． 20. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝6，CE＝4，求△ABC的边长． 【答案】（1）见解析；（2）AB=AC=BC＝18． 【解析】 【分析】（1）由∠ADE=60°，可证得△ABD∽△DCE； （2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAD+∠ADB＝120° ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB+∠EDC＝120°， ∴∠DAB＝∠EDC， 又∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE； （2）解：∵△ABD∽△DCE， ∴， ∵BD＝6，CE＝4， ∴， 解得AB＝18， ∴AB=AC=BC=18． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明以及性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 21. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题 （1）这次被调查的学生共有多少名？ （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4） 【解析】 【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数； （2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可； （3）用样本估计总体的思想解决问题； （4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名； （2）喜爱“体育”的人数为（名， 补全图形如下： （3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名； （4）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果， 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C． （1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数； （2）若AC＝2，CE＝2，求⊙O半径的长． 【答案】（1）34°；（2）2 【解析】 【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，根据切线的性质求出∠OAC，根据三角形内角和定理求出即可； （2）设OA＝OE＝r，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：（1）连接OA， ∵∠ADE＝28°， ∴由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADE＝56°， ∵AC切⊙O于A， ∴∠OAC＝90°， ∴∠C＝180°﹣∠AOC﹣∠OAC＝180°﹣56°﹣90°＝34°； （2）设OA＝OE＝r， 在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2＝OC2， 即r2+（2）2＝（r+2）2， 解得：r＝2， 答：⊙O半径的长是2． 【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 23. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S． （1）求S与x的函数关系式； （2）并求出当AB的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？ 【答案】（1）S =-3x2+24x（）；（2）当AB长为4m时，有最大面积，最大面积为48平方米． 【解析】 【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S与x的函数关系式； （2）根据二次函数的性质求出自变量取值范围内的最值． 【详解】（1）∵围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃， AB=EF=CD=x米，BC=（24-3x）米， S=（24-3x）x =-3x2+24x（平方米）， ∵x0,且 15≥24-3x0， ∴， S=-3x2+24x（）； （2）S=（24-3x）x =-3x2+24x =-3（x-4）2+48， ∵a=-3<0，二次函数图形开口向下，函数有最大值， 当x=4时，S最大=48平方米， ∴当AB长为4m，宽BC为12m时，有最大面积，最大面积为48平方米． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用, 根据已知条件列出二次函数式是解题关键．注意自变量的取值范围． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴交于点C． （1）求直线和反比例函数的表达式； （2）直接写出时x的取值范围； （3）将直线向上平移，平移后的直线与反比例函数在第一象限的图象交于点P，连接，，若的面积为12，求点P的坐标． 【答案】（1）直线为；反比例函数为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象，的解集就是一次函数图象不在反比例函数图象的下方的x的取值； （3）设平移后的一次函数的解析式为，交y轴于Q，连接，根据同底等高的三角形面积相等列方程求出a的值，即可求得平移后的一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组即可求得P的坐标． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过， ， 反比例函数为， 在上， ， ， ， 一次函数的图象经过A，， ， 解得：， 直线为． 【小问2详解】 解：由图象可知，的解集是或； 【小问3详解】 解：设平移后的一次函数的解析式为，交轴于，连接，如图所示： 令，则， ， ， ， 解得：， 平移后的一次函数的解析式为， 联立， 解得：或， ∵点P在第一象限， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，函数与不等式的关系，平移的性质，三角形面积．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 25. 在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）， （1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm． （2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？ （3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值． 【答案】（1）2t，（5﹣t） （2）当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2； （3）当t=或1时，△POQ与△AOB相似． 【解析】 【分析】（1）由运动知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，得出结论； （2）根据△POQ的面积为6cm2，建立方程6=×2t×（5-t），解方程即可求出答案； （3）分△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA两种情况，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案． 小问1详解】 解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm， ∴OQ=（5-t）cm， 故答案为：2t，（5-t）； 【小问2详解】 解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm， ∵△POQ的面积为6cm2， ∴6=×2t×（5-t）， ∴t=2或3， ∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2； 【小问3详解】 （3）∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°， ∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA， ∴或， 当，则， ∴t=； 当时，则， ∴t=1， ∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了三角形的面积公式，相似三角形的性质，用方程的思想是解本题的关键． 26. 如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标； （3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3 （2）M（，） （3）Q（﹣1，0）或（5，﹣12） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的交点式，即可求解； （2）先求出C（0，3），可得直线BC的解析式为y＝-x＋3，然后设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），再利用二次函数的性质，即可求解； （3）过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，先求出点P坐标（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，从而得到△PBC为直角三角形，进而得到tan∠PBC＝，然后设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0）， ∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3； 【小问2详解】 解：当 时， ， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为 ， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得： ， ∴直线BC的解析式为y＝-x＋3， 设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3）， ∴MN＝-m2＋2m＋3-（- m＋3）＝- m2＋3m＝ -（m -）2＋， 当m ＝时，MN的长度最大， 此时M（，）； 【小问3详解】 如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC， ∵ ， ∴点P坐标（1，4）， ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴PC＝，PB＝，BC＝， ∴ ， ∴△PBC为直角三角形， ∴tan∠PBC＝， 设点Q（x，﹣x2＋2x＋3）， ∵， 则， 解得：x＝0或5或﹣1（舍去0）， 故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，熟练掌握二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$