精品解析：江西省南昌市第一中等专业学校2023-2024学年高一下学期期中测试数学试卷

南昌市第一中等专业学校2023-2024学年下学期期中测试卷 23级高考班数学 一、是非选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.对的写正确，错的写错误） 1. .（ ） 2. 是指数函数.（ ） 3. 任一直线都有倾斜角，都存在斜率．（ ） 4. 方程表示一个圆.（ ） 5. 等式一定成立.（ ） 6. 直线不经过第三象限，则.（ ） 7. 函数的值域为.（ ） 8. 不等式的解集为.（ ） 9. 经过点且与轴垂直的直线方程为.（ ） 10. 直线与圆相切.（ ） 二、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 计算：（ ） A. B. C. D. 12. 已知点，则线段的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 13. 过点，半径为，且圆心在轴的正半轴上的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 14. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 16. 函数在区间的最大值与最小值之差为，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 17. 函数且恒过定点（ ） A. B. C. D. 18. 直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 直线的倾斜角为_________. 20. 过点，且在轴上的截距为的直线方程为_______________. 21. 圆与圆的位置关系是_________ 22. 计算：_________. 23. 已知函数，若，则的取值范围是_________. 24. 若直线经过直线和的交点，则________. 四、解答题(本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题每小题9分，共50分） 25. 已知点，直线. （1）求经过点且与直线平行的直线方程； （2）求经过点且与直线垂直的直线方程. 26. 函数且，且. （1）求的值及函数的定义域； （2）求函数在区间上值域. 27. 已知点.求： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）的面积. 28. 函数，. （1）若为奇函数，求的值； （2）若，解不等式. 29. 已知圆的方程为，点在圆内. （1）求实数的取值范围； （2）求过点且与圆相切的直线的方程. 30. 已知圆的圆心为，直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市第一中等专业学校2023-2024学年下学期期中测试卷 23级高考班数学 一、是非选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.对的写正确，错的写错误） 1. .（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂之间的转换即可判断对错. 【详解】, 故答案为：正确. 2. 是指数函数.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据指数函数的定义判断即可. 【详解】形如且为指数函数， 所以不是指数函数. 故答案为：错误. 3. 任一直线都有倾斜角，都存在斜率．（ ） 【答案】错误 4. 方程表示一个圆.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】把方程化为圆的标准方程即可判断此方程是否表示圆. 【详解】把方程化为， 即为，所以方程不是圆的方程. 故答案为：错误 5. 等式一定成立.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据对数的性质找出反例即可解得. 【详解】由题，要想成立，则， 则可能的情况有或， 当时不成立. 故答案为：错误. 6. 直线不经过第三象限，则.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据题意结合图形即可判断对错. 【详解】 因为，所以直线单调递减， 观察图形可知，此函数的图像与y轴正半轴相交或过原点， 所以. 故答案为：正确. 7. 函数的值域为.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据图像平移规律和指数函数图像即可解得. 【详解】由题，函数由函数向左平移一个单位得到， 值域为， 则值域同为， 故答案为：错误 8. 不等式的解集为.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域以及对数函数的单调性解不等式，即可解得. 【详解】由题， 其定义域为， 又，则对数函数在上单调递增， 故， 即解集为， 故答案为：正确 9. 经过点且与轴垂直的直线方程为.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】画出直角坐标系，即可判断对错. 【详解】 如图所示，经过点且与轴垂直的直线方程为. 故答案为：错误. 10. 直线与圆相切.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离与半径进行比较，即可判断. 【详解】因为圆，所以圆心，半径， 故圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故答案为：正确 二、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数幂的运算与对数的运算可求 【详解】 ； 故选： 12. 已知点，则线段的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系可求出斜率，再将中点代入即可求解. 【详解】已知点， 则线段AB的斜率， 两点的中点坐标为， 设线段的垂直平分线方程， 则，且过点， 代入得：， 则线段的垂直平分线方程为， 即为， 故选：D 13. 过点，半径为，且圆心在轴的正半轴上的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设出圆心，再根据半径设出圆的标准方程，进而求解. 【详解】因为圆的圆心在轴的正半轴上，设圆心为， 已知圆的半径为，设圆的方程为， 又因为圆过点， 代入得，因为，所以， 故圆的标准方程为：， 故选：A. 14. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对式子进行化简，根据对数函数单调性、指数函数单调性即可解得. 【详解】选项A：，则在上单调递减，故，错误. 选项B：，故，错误. 选项C：，则，正确. 选项D：，错误. 故选：C 15. 已知，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，将指数型函数化简为，利用与的单调性即可求解. 【详解】因为，即， 所以，即， 所以， 所以与的单调性相同，排除A、B、D. 故选：C. 16. 函数在区间的最大值与最小值之差为，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】讨论和时的单调性，求出最值，列出方程求出满足条件的的值. 【详解】当时，在区间上递增， 可得最大值是，最小值是， 即， 解得或，不符合题意，舍去. 当时，在区间上递减， 可得最大值是，最小值是， 即， 解得或，不符合题意，舍去. 故选：D. 17. 函数且恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的性质且即可确定定点. 【详解】已知函数且， 当，时， ， 所以函数且恒过定点. 故选：D. 18. 直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意根据两条直线平行斜率相等求出，再根据平行直线的距离公式求解. 【详解】因为直线与直线平行， 可得， 则. 所以两直线方程分别为和， 即和， 所以两直线之间的距离为. 故选：A. 三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 直线的倾斜角为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先将直线方程化为斜截式，再利用直线斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线可化为， 所以该直线的斜率为，设其倾斜角为， 则，所以. 故答案为：. 20. 过点，且在轴上的截距为的直线方程为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用截距的定义，结合直线的斜率公式与点斜式即可得解. 【详解】因为直线在轴上的截距为，所以直线过点， 又直线过点，则直线的斜率为， 所以直线方程为，即. 故答案为：. 21. 圆与圆的位置关系是_________ 【答案】相交 【解析】 【分析】根据圆的一般方程分别算出两圆圆心和半径，圆心距后可解. 【详解】圆，圆心，半径为； 圆的圆心为；半径； 圆的圆心为，半径； 因为，，则； ，；所以两圆相交； 故答案为：相交. 22. 计算：_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数的运算与对数的运算可求 【详解】 ； 故答案为：1. 23. 已知函数，若，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】已知函数，若， 则函数是定义域内的减函数， 所以， 故答案为： 24. 若直线经过直线和的交点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线和直线的交点，再将交点代入直线方程即可求解a的值. 【详解】因为直线经过直线和的交点， 则说明三条直线相交于一点， 所以联立，解得，交点为， 将点代入中有，，解得. 故答案为：. 四、解答题(本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题每小题9分，共50分） 25. 已知点，直线. （1）求经过点且与直线平行的直线方程； （2）求经过点且与直线垂直的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两条直线平行，得到斜率相等，利用点斜式方程，即可求解直线的方程； （2）根据两条直线垂直，得到直线斜率，利用点斜式方程，即可求解直线的方程； 【小问1详解】 设经过点且与直线平行的直线方程为， 将代入得， 所以所求直线方程为； 【小问2详解】 直线的斜率为， 与直线垂直的直线斜率为-2， 所以经过点且与直线垂直的直线方程为， 即. 26. 函数且，且. （1）求的值及函数的定义域； （2）求函数在区间上值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式可求出的值，再根据0和负数无对数列不等式求定义域即可. （2）根据对数函数的单调性求出函数在区间上的最大，最小值即可求出值域. 【小问1详解】 已知且， 将代入解析式得，， 则，所以， 要使函数有意义，则必须， 解得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 由（1）可知 令，当时，， 则在内为增函数， 所以当时，有最小值， 当时，有最大值. 所以函数在区间上值域为. 27. 已知点.求： （1）边上的中线所在的直线方程； （2）的面积. 【答案】（1）； （2）5 【解析】 【分析】（1）求出直线BC的中点坐标，即可求解； （2）求出AB所在直线的方程以及线段AB的长，再根据点到直线的距离求出高，即可求出面积. 【小问1详解】 线段的中点坐标为， 又因为点， 所以边上的中线为直线； 【小问2详解】 由于， 设直线的方程为， 代入点得：， 则直线AB的方程为， 底边的长为 点到直线的距离即底边上的高为 所以三角形的面积为. 28. 函数，. （1）若为奇函数，求的值； （2）若，解不等式. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质即可求解； （2）先根据求出a的值，再代入求不等式的解. 【小问1详解】 根据题意可得 即恒成立 所以； 【小问2详解】 由得，则 所以即 解得即. 29. 已知圆的方程为，点在圆内. （1）求实数的取值范围； （2）求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用点与圆的位置关系列出不等式，求解不等式即得. （2）按切线斜率存在与否分类求出切线方程. 【小问1详解】 圆：的圆心，半径 由点在圆内，得，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 显然点在圆外，圆的切线经过点，圆心到直线的距离为2， 则直线是过点的圆的切线； 当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为， 由，解得，切线方程为，即， 所以圆的切线方程为或. 30. 已知圆的圆心为，直线与圆相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线经过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由直线与圆相切，利用圆心到直线的距离可求解半径，即可求解圆的标准方程. （2）分类讨论直线的斜率是否存在，根据弦长即可求解. 【小问1详解】 因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径， 由题可知， 则圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入，得或， 此时直线被圆截得得弦长为； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 即， 则圆心到直线的距离， 因为直线被圆截得的弦长为2， 所以，即， 解得， 此时直线方程为， 综上所述：直线方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $