精品解析：福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高二上学期期末适应性练习卷数学试题

2024年高二年第一学期期末适应性练习卷 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线和直线平行，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 在空间直角坐标系O-xyz中，点，，则（ ） A. 直线AB∥坐标平面xOy B. 直线AB⊥坐标平面xOy C. 直线AB∥坐标平面 D. 直线AB⊥坐标平面 3. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则方程表示的圆的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知数列的前项和为，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知椭圆的左、右焦点为，，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是和的中点，则（ ） A. B. C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 11. 已知数列中各项都小于2，，记数列的前n项和为，则以下结论正确的是（ ） A. 任意与正整数m，使得 B. 存在与正整数m，使得 C. 任意非零实数与正整数m，都有 D. 若，则 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过两点，则点到直线的距离为______． 13. 已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值________. 14. 已知直线与直线，点是与轴的交点.过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，依此方法一直继续下去，可得到一系列点，，则______；设的坐标为，则数列的前项和为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线． （1）若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． （2）若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 16. 如图1，已知等边的边长为3，点，分别是边，上的点，且，.如图2，将沿折起到的位置. （1）求证：平面平面； （2）给出三个条件：①；②二面角大小为；③到平面的距离为.在中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答： 在线段上是否存在一点，使三棱锥的体积为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 注：如果多个条件分别解答，按第一个解答给分。 17. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 18. 如图，已知和抛物线是圆上一点，M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点． （1）当直线与圆相切，且时，求点的坐标； （2）过P作抛物线的两条切线分别为切点，求证：存在两个，使得面积等于． 19. 已知双曲线H：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，椭圆E以，为焦点，以为长轴． （1）求椭圆E的离心率； （2）设椭圆E交y轴于，，过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求面积的最小值； （3）设点满足．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明：为定值，并求出此定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年高二年第一学期期末适应性练习卷 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线和直线平行，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线平行求出的值，验证即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或， 当时，两条直线重合； 当时，两条直线平行. 综上，. 故选：C. 2. 在空间直角坐标系O-xyz中，点，，则（ ） A. 直线AB∥坐标平面xOy B. 直线AB⊥坐标平面xOy C. 直线AB∥坐标平面 D. 直线AB⊥坐标平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据与法向量的关系判断. 【详解】由已知得， 坐标平面的一个法向量是， 坐标平面的一个法向量是， 易判断与，不平行， 所以直线AB不垂直坐标平面，也不垂直坐标平面，故BD错. 因为，所以直线不平行坐标平面， 故A错 因为 ， 点A、B均不在坐标平面上，所以直线AB与坐标平面平行，故C对. 故选：C 3. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 4. 若，则方程表示的圆的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 5. 已知数列的前项和为，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列递推式，采用两式相减的方法推出，结合等比数列通项公式求出表达式，结合单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知，故时，， 当时，，，则， 即，故，又， 所以为首项是，公比为的等比数列， 故， 随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值， 故时，取最大值，最大值为， 故选：C 6. 已知椭圆的左、右焦点为，，上一点满足，A为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的定义，求出，，然后勾股定理得出a、c的关系即可. 【详解】A为线段的中垂线与的交点，所以，， 三角形的周长为， 所以，又， 所以，又， 所以， 故选：B. 7. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点为圆与椭圆的焦点，可得，，结合条件，应用勾股定理即可得. 【详解】 连接、， 由在以为直径的圆上，故， 、在椭圆上，故有，， 设，则， 则有，， 即可得，解得， 故，则， 故. 故选：C. 8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，，即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对称性只需考虑或，当时，求出的长，再由面积公式即可求面积，当时，结合，求出，再由面积公式即可求面积. 【详解】由可得，，所以， 根据对称性只需考虑或， 当时，将代入可得， 如图：，，所以的面积为， 当时，由椭圆的定义可知：， 由勾股定理可得， 因为， 所以，解得：， 此时的面积为， 综上所述：的面积为或. 故选：BC. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是和的中点，则（ ） A. B. C. 点到平面的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建系，利用向量法逐一求解即可． 【详解】建系如图： 由题得， ， ， 因为与不共线，所以不平行，所以A错误； 因为，所以，B正确； 设平面的法向量为， ，取， 所以点F到平面的距离为，所以C正确； 直线与平面所成角的正弦值为： ，所以D错误； 故选：BC. 11. 已知数列中各项都小于2，，记数列的前n项和为，则以下结论正确的是（ ） A. 任意与正整数m，使得 B. 存在与正整数m，使得 C. 任意非零实数与正整数m，都有 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由递推公式得到即可判断A，记，依题意可得，结合函数的单调性，即可得到对于任意正整数n，，从而判断B，分、、三种情况讨论，即可判断C，结合A、C即可判断D. 【详解】对于A：因为，所以， 所以，则，故A正确； 对于B：记，由， 可得，因为在上单调递减， 所以对于任意正整数n，，故B正确； 对于C：由A可知所有同号， ①当时，易得对于任意正整数n，， ②当时，，即， 因为在上单调递减，所以对于任意正整数n，， ③当时，，即， 因为在上单调递减，所以对于任意正整数n，，故C错误； 对于D：由B可知对于任意正整数n，， 当时，所以， ， 由C中②知当时，，又，解得， 所以，所以，故D正确； 故选：ABD 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过两点，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量求解即可. 【详解】由题可知，则，， 故点到直线的距离为． 故答案为： 13. 已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值________. 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或， 解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 14. 已知直线与直线，点是与轴的交点.过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，依此方法一直继续下去，可得到一系列点，，则______；设的坐标为，则数列的前项和为______. 【答案】 ①. 8 ②. （或） 【解析】 【分析】求出的解析式，点的坐标，点的坐标，点的坐标，的解析式，据此求出，，据此即可求解. 【详解】，，则， 当时易得，， 则，即，所以， 而，故， 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， ， 所以，所以的前项和为 . 故答案为：8；（或）. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出的解析式，点的坐标，点的坐标，点的坐标，的解析式，据此求出，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线． （1）若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． （2）若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先确定直线过定点，再根据条件，求斜率的取值范围； （2）首先分别求直线与坐标轴的交点，并表示的面积，即可求直线的斜率和方程. 【小问1详解】 由题意可知直线， 易知直线过定点， 当直线过原点时，可得， 当时，直线不经过第二象限． 【小问2详解】 由题意可知 ∵直线与轴、轴正半轴的交点分别是， ， 当时，由得： ， 即：， 或， 即：直线的方程为或. 16. 如图1，已知等边的边长为3，点，分别是边，上的点，且，.如图2，将沿折起到的位置. （1）求证：平面平面； （2）给出三个条件：①；②二面角大小为；③到平面的距离为.在中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答： 在线段上是否存在一点，使三棱锥的体积为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 注：如果多个条件分别解答，按第一个解答给分。 【答案】（1）证明：由已知得等边中,,,, 由余弦定理得∴, ∴,, 又∵, ∴平面, ∵平面, ∴平面平面; （2）若用条件①,存在点满足题目条件,此时； 若用条件②二面角大小为,存在点满足题目条件,此时； 若用条件③到平面的距离为,不存在满足题目条件的点.理由如下： 由题可知,等边的高为,则, 则三棱锥的体积为, 所以不存在满足题目条件的点 【解析】 【分析】(1)由已知可推得,所以,,从而平面,进而有平面平面; (2)若用条件①,结合(1)中,可推得平面,故可求出三棱锥的体积,所以存在点满足题目条件,此时;若用条件②,结合(1)可知,故可求出三棱锥的体积为,所以存在点满足题目条件,此时点与点重合,即;若用条件③,则可求出三棱锥的体积为,所以不存在满足题目条件的点. 【详解】(1)略； (2)若用条件①, 由(1)得,又和是两条相交直线, ∴平面, 又等边的高为, , 故三棱锥的体积为, 所以存在点满足题目条件,此时. 若用条件②二面角大小为, 由(1)得是二面角的平面角, ∴, 所以, 又等边的高为, 故三棱锥的体积为, 所以存在点满足题目条件,此时点与点重合,故. 若用条件③到平面的距离为, 由题可知,等边的高为, 则, 则三棱锥的体积为, 所以不存在满足题目条件的点. 【点睛】本题考查了面面垂直的证明,考查了三棱锥体积的求法,需要学生具备一定的空间思维和计算能力,属于中档题. 17. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【答案】 （1）证明： 直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）． （2）； （3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0． 【解析】 【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）略 （2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1， 则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0， 故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A，B（0，1＋2k）． 又且1＋2k＞0， ∴k＞0． 故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 18. 如图，已知和抛物线是圆上一点，M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点． （1）当直线与圆相切，且时，求点的坐标； （2）过P作抛物线的两条切线分别为切点，求证：存在两个，使得面积等于． 【答案】（1）或； （2）设，则， 设直线方程为，代入， 得， 整理得①， 同理，直线方程为，有②， 由①②知，是方程的两根， 所以， 由切线意义知，在中，，则 所以，同理 直线方程为即即 到直线的距离 所以，与联立得 所以或，设，显然， 又在上递增，所以在上有唯一零点 所以存在两个，使得面积等于. 【解析】 【分析】（1）焦点F坐标为，设，利用圆的切线长公式、抛物线的定义建立方程求解即得； （2）设，设直线、的斜率,由与抛物线相切求得，，知是方程的两根，得到，求得切点坐标，，得到直线方程并化简整理为，利用已知面积得到，与联立得，然后利用零点存在定理判定解的个数即可. 【详解】（1）焦点F坐标为，设，则， 由抛物线定义，M到焦点距离等于到抛物线准线的距离， 所以，由，得， 所以或，所以或， （2）略 【点睛】本题考查直线与圆，直线与抛物线的位置关系，面积问题，零点个数问题，难度较大，其中利用圆的切线长和抛物线的定义建立方程求解是第一问中的关键；第二问中关键点由同构方程，，知是方程的两根，从而得到;利用零点存在定理判定三次函数在给定区间上的零点个数问题. 19. 已知双曲线H：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，椭圆E以，为焦点，以为长轴． （1）求椭圆E的离心率； （2）设椭圆E交y轴于，，过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求面积的最小值； （3）设点满足．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明：为定值，并求出此定值． 【答案】（1） （2） （3）如图所示： 由题意双曲线的渐近线方程为即， 当时，由对称性得关于轴对称，关于轴对称，所以为的中点，故． 下面证明当时，即证为的中点. 因为点满足，则， 不妨设，当时，，此时点在直线的左上方，同理可证，点在两渐近线所夹区域的上方或下方，不妨设点在上方区域. 由题意， 设直线的方程为，直线的方程为， 由 即，所以， 所以满足， 同理满足， 所以直线的斜率： ， 设直线方程为, 由 得即， 得的横坐标，同理， 所以， 所以为的中点，故为定值1． 综上： 为定值1． 【解析】 【分析】（1）由椭圆和双曲线中的关系即可求解. （2）首先得出，联立直线的方程与双曲线方程，结合图形进而可以得到的面积的表达式，通过不断换元转化为二次函数求最值问题. （3）令得，设方程与双曲线联立得坐标，求出直线的斜率为，写出直线方程并求出与渐近线的交点的坐标，可证是的中点. 【小问1详解】 设椭圆方程，焦距为， 由题意知椭圆E的顶点、焦点分别为， 所以， 从而椭圆E的离心率为. 【小问2详解】 如图所示： 由题意，直线斜率存在， 所以不妨设直线的方程为，， 又双曲线渐近线斜率的绝对值为， 且过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点， 所以直线的斜率满足， 将直线与双曲线方程联立，消去得， 而， 所以， 从而的面积为， 因为，令，所以， 从而， 进一步令，则， 当且仅当，即时，. 综上所述：面积的最小值. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第一问的关键是利用双曲线、椭圆中的平方关系；第二问的关键是将三角形面积表达式求出来利用函数求最值；第三位关键是先猜后证，猜可以取“特殊值”， 只需证为的中点，可先求出坐标再验证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $