1.1 集合及其表示课件-2024-2025学年高一上学期高教版（2021）中职数学基础模块上册

第一章 集合 1.1 集合及其表示 高教版 基础模板(上) 学习目标 ►掌握集合和元素的基本概念，理解它们在数学中的重要性。 ►能够判断给定的对象是否能够组成一个集合。 ►能够根据给定集合的特点选择合适的表示方法（列举法或描述法）。 ►知道并能够使用常用数集的表示符号，如自然数集N、整数集Z、有理数集Q和实数集R等。 ►能够使用“∈”（属于）或“∉”（不属于）符号来表示元素与集合之间的关系。 第一章 集合 1.1.1 集合的概念 高教版 基础模板(上) 导 探 练 结 小明因为衣柜杂乱无章而总是找不到自己想要的衣服,从而迟到。你觉 得小明需要做些什么才能避免迟到呢？ 导 探 练 结 小明需要整理衣柜 用什么方法确保每件衣物都容易找到呢？ 我们可以对衣物进行分类！ 导 探 练 结 按衣物的类别进行分类 衬衫 T恤 鞋 帽 导 探 练 结 人们常会将一些研究对象组成一个整体,并且用集合这个词表示这个整体. 那么,具有什么特征的整体可以组成一个集合呢？ 导 探 练 结 集合与元素的概念 一般地,由某些确定的对象组成的整体称为集合,简称为集．组成这个集合的对象称为这个集合的元素． 集合与元素的表示 集合常用大写英文字母表示．如,A,B, C,…．； 集合的元素常用小写英文字母表示．如,a,b,c,…． 导 探 练 结 如把文具袋看成集合,什么是元素 ？ 铅笔、尺子、橡皮、记号笔等 如把人脸看成集合,什么是元素 ？ 眼睛、嘴巴、鼻子、眉毛、耳朵 导 探 练 结 如把1~10之间的所有偶数看成集合,什么是元素 ？ 2,4,6,8,10 如把地球上的七大洲看成集合,什么是元素 ？ 亚洲、欧洲、北美洲、南美洲、南极洲、非洲、大洋洲 导 探 练 结 例 1 判断下列对象能否组成集合？ (1)小于 6 的所有自然数； (2)方程 x2+3x−4=0 的所有实数解； (3)所有的平行四边形； (4)某班级中所有高个子同学． 解(1)因为小于 6 的自然数包括 0,1,2,3,4,5 这五个数,它们是确定的对象,所以它们可以组成集合； (2)因为方程的实数解是−4和1,它们是确定的对象,所以可以组成集合； 导 探 练 结 解 x2+3x−4=0 因式分解得, (x+4)(x－1)=0 x1=－4,x2=1 所以,方程的实数解是−4和1。 导 探 练 结 例 1 判断下列对象能否组成集合？ (1)小于 6 的所有自然数； (2)方程 x2+3x−4=0 的所有实数解； (3)所有的平行四边形； (4)某班级中所有高个子同学． 解(3)因为平行四边形的特征是确定的,因此满足此特征的对象是确定的,所以可以组成集合； (4)因为高个子没有具体标准,对象不是确定的,所以不能组成集合． 导 探 练 结 元素与集合的关系 元素a是集合A的元素， 记作a∈A， 读作a属于A. 元素a不是集合A的元素， 记作a A， 读作a不属于A. 导 探 练 结 元素与集合的关系 a∈A， a A 举例：Q 代表了所有的四边形 自然，□是该集合的元素，而△不是. □∈Q △ Q 导 探 练 结 集合元素的性质 (1)确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的． (2)互异性：集合中的元素必须是互不相同的．　 (3)无序性：集合中的元素是无先后顺序的． 集合中的任何两个元素都可以交换位置． 导 探 练 结 集合元素的确定性 对比以下问题： ①很高的人 ③很细的河流 ⑤很小的数字 ②身高超过175cm的人 ④面积小于10万亩的河流 ⑥小于2的数 问题不能准确回答， 指代不明 问题都有明确的标准 具有确定性 导 探 练 结 （1）英文大写字母的全体； （2）我们班上高个子的人的全体； （3）不等式2x<0的所有实数解； （4）能被5整除的正整数的全体。 判断：下列对象能否组成集合？ √ × √ √ 能构成集合。 因为英文大写字母是可以确定的。 不能构成集合。 因为没有确切的标准判定一个人是否很高。 导 探 练 结 集合元素的互异性 比如集合 {1, 2, 3, ...} 中的每个元素都是一个自然数，每个自然数都是唯一的，没有重复。 假设一个班级里有30个学生，集合可以表示为 {小明, 小红, 小兰, ...}，每个名字代表一个学生，且每个名字在这个集合中只出现一次。 导 探 练 结 集合元素的无序性 如果有一个家庭有四个成员，我们可以表示为集合{父亲, 母亲, 儿子, 女儿}。无论家庭成员的名字如何排列，集合代表的家庭成员数量和身份不变。 {父亲, 母亲, 儿子, 女儿}和{母亲, 女儿, 父亲, 儿子}是同一个集合。 导 探 练 结 例2 方程 x2=4 的所有实数解组成的集合为A，则-2 A，5 A（用符号“∈ ”或“填空）． （-2）2=4 所以-2∈A （5）2=25≠4 所以5A 导 探 练 结 1.下列各语句中的对象能否组成集合？如果能组成集合,写出它的元素.如果不能组成集合, 请说明理由． (1)某校汉字录入速度快的学生； (2)某校汉字录入速度为90字符/min及以上的所有学生； (3)方程(2x-3)(x+1)=0的所有实数解； (4)大于-5且小于5的整数； (5)大于3且小于1的所有实数; (6)非常接近0的数. 导 探 练 结 2.我们定义集合B为“四大发明”，即B = {造纸术，印刷术，火药，指南针}（用符号“∈ ”或“∉“填空）． 造纸术___ B. 浑天仪___ B. 印刷术___ B. 火药___ B. 瓷器___ B. 火箭___ B. 瓷器___ B. 茶艺___ B. 指南针___ B. ∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∈ 导 探 练 结 a∈A，a A 确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的． 元素与集合的关系： 读作：a属于A. a不属于A. 互异性：集合中的元素必须是互不相同的．　 无序性：集合中的元素是无先后顺序的． 集合中的任何两个元素都可以交换位置． 导 探 练 结 拓展 集合在日常生活和其他学科中的应用 超市的商品分类 超市商品繁多，通过集合的分类方式，如食品、日用品、家电等，使消费者能快速找到需要的商品，提升购物效率。 导 探 练 结 拓展 集合在日常生活和其他学科中的应用 化学元素分类 化学元素通过集合的方式进行分类，如金属元素、非金属元素等，有助于我们理解和掌握化学反应的规律。 导 探 练 结 回顾 a∈A，a A 确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的． 元素与集合的关系： 读作：a属于A. a不属于A. 互异性：集合中的元素必须是互不相同的．　 无序性：集合中的元素是无先后顺序的． 集合中的任何两个元素都可以交换位置． 导 探 练 结 同学们关注过一盒铅笔的数量吗？ 导 探 练 结 如果把一盒铅笔看成一个集合 这个集合中元素的个数是 . 12 导 探 练 结 如果把这盒水彩笔看成一个集合 这个集合中元素的个数是 . 24 导 探 练 结 如果把一条直线上的所有点看成一个集合，这个集合中元素的个数有 ？ 无限个 导 探 练 结 我们把鱼缸看成一个集合，鱼是这个集合中的元素，这个集合中元素的个数有 ？ 5个 0个 导 探 练 结 回顾刚才不同集合中元素的个数， 12，24，无限，5，0。 谈谈你的发现！ 导 探 练 结 含有有限个元素的集合称为有限集. 不含任何元素的集合称为空集，记作，空集也是有限集. 含有无限个元素的集合称为无限集. 有限集、空集、无限集的概念 *有限集就是我们可以数出元素数量的集合，无限集是我们数不清元素数量的集合，空集是没有元素的集合。 导 探 练 结 含有有限个元素的集合称为有限集. 不含任何元素的集合称为空集，记作，空集也是有限集. 含有无限个元素的集合称为无限集. 有限集、空集、无限集的概念 思考：数字0与空集有什么区别？有什么关系？ 在数学中，0是一个数字，0本身是一个元素。 而空集是一个集合。 导 探 练 结 例 指出下列集合中哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ （1）计算机班上体重50kg以上的学生的全体; （2）方程x2 +2x+2=0的所有实数解; （3）不等式3-2x>0的所有实数解. 有限集 空集 x2 +2x+1+1=0 x2 +2x+1=-1 (x+1)2=-1 无限集 3>2x 2x<3 不存在这样的x 导 探 练 结 由数组成的集合称为数集. 数集 *几个重要数集 实数 分数 整数 无理数 有理数 负整数 0 正整数 自然数 R N* N+ N Z Q π、带根号 导 探 练 结 *几个重要数集 导 探 练 结 例 用符号“ ”或“ ”填空 (1) 1 N+ (2) Q (3) Z 导 探 练 结 2.用符号“∈”或“∉”填空. 导 探 练 结 3.判断下列集合是有限集还是无限集． (1)你所在班级的所有同学组成的集合； (2)方程 x+2=0的所有正整数解组成的集合； (3)小于3的所有整数组成的集合； (4)数轴上表示大于0且小于1的所有点组成的集合． 几个重要数集： 集合的分类： 有限集、无限集、空集∅ R、Q、Z、N*（N+）、N 实数集 有理数集 整数集 正整数集 自然数集 导 探 练 结 第一章 集合 1.1.2 集合的表示法 第一章 集合 1.1.2 集合的表示法 高教版 基础模板(上) 导 探 练 结 复习 a∈A，a A 元素与集合的关系： 几个重要数集： R Q Z N*（N+） N 实数集 有理数集 整数集 正整数集 自然数集 ∅ 空集 导 探 练 结 地球上的七大洲可以组成集合： 亚洲、欧洲、北美洲、南美洲、南极洲、非洲、大洋洲 你知道数学研究中怎么表示严谨的表示集合吗？ 导 探 练 结 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，再用花括号“{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法． 元素放在大括号内 相邻元素之间用逗号隔开 有时元素比较多，可以使用……表示 导 探 练 结 用列举法表示下列集合： （1）中国的直辖市组成的集合； （2）大于10的奇数组成的集合。 {北京，上海，重庆，天津} {11，13，15，17，…} 导 探 练 结 小组合作 1.小于 6 的正整数组成集合如何用列举法表示？ 2.四大发明组成的集合如何用列举法表示？ 3.由“study”和“student”中的字母组成的集合如何用列举法表示？ 4.集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合吗？ {1,2,3,4,5} {造纸术,印刷术,火药,指南针} 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合。 因为集合的元素具有无序性。 {s, t, u, d, y}和{s, t, u, d, e, n, t} 导 探 练 结 描述法 用元素共同的特征性质表示集合的方法称为描述法。 代表元素 元素共同的特征性质 大括号 竖线 导 探 练 结 小于10的所有自然数组成的集合 { } | x x＜10 ， x∈N 元素的一般形式 元素共同的特征性质 导 探 练 结 大于5的所有实数组成的集合 { } | x x＞5 ， x∈R 所有奇数组成的集合 { } | x x=2n+1 ， n∈Z 所有偶数组成的集合 { } | x x=2n ， n∈Z 注：元素∈R可省略不写 { } | x x＞5 ⇒ 导 探 练 结 列举法与描述法的对比 分别用列举法与描述法表示所有偶数组成的集合 {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...} {x | x = 2n, n ∈Z} 你能通过对比，归纳出描述法的优势吗？ 导 探 练 结 列举法与描述法的对比 分别用列举法与描述法表示所有偶数组成的集合 {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...} {x | x = 2n, n ∈Z} 优势在于其简洁性和易读性。它通过直观的描述使复杂的逻辑结构变得简单明了。 导 探 练 结 例3 用列举法表示下列集合. (1)中国古典长篇小说四大名著组成的集合； (2) 大于-3且小于10的所有偶数组成的集合． {《红楼梦》， 《西游记》， 《水浒传》， 《三国演义》} {-2, 0, 2, 4, 6, 8} 导 探 练 结 例4 用描述法表示下列集合： (1)小于1的所有整数组成的集合 ； (2)在平面直角坐标系中，由第一象限内的所有点组成的集合. {x∈Z| x<1}． 平面直角坐标系中的点都可以用坐标写成(x, y)的形式, 其中 x 表示横坐标, y表示纵坐标 第一象限 （+，+ ） 导 探 练 结 例4 用描述法表示下列集合： (1)小于1的所有整数组成的集合 ； (2)在平面直角坐标系中，由第一象限内的所有点组成的集合. {x∈Z| x<1}． 平面直角坐标系中的点都可以用坐标写成(x, y)的形式, 其中 x 表示横坐标, y表示纵坐标 {(x,y) | x>0,y>0} 导 探 练 结 例5 用写出不等式2x+1>9的解集. 故 x>4 解2x+1>9 2x+1-1>9-1 得 2x>8 用描述法表示为{x|x>4} 方程（组）的所有解组成的集合称为方程（组）的解集. 导 探 练 结 例6 分别用列举法和描述法表示方程x²-9=0的解集. 解x²-9=0 x²=9 x=3或-3 用列举法表示为{-3，3} 用描述法表示为 {x|x=-3或 x=3} . 导 探 练 结 拓展 ③Venn图：平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. A 导 探 练 结 温馨提示 有些集合只能用列举法或描述法表示,有些集合两种方法都适用,要根据需要具体问题进行具体分析. 导 探 练 结 1. 用列举法表示下列集合： (1)大于-5且小于9的所有奇数组成的集合； (2)方程x²-2x-3=0的解集. 2. 用描述法表示下列集合． (1)大于-1且小于3 的所有实数组成的集合； (2)平方等于9的所有实数组成的集合． 导 探 练 结 3.用适当的方法表示下列集合 (1) (2)平面直角坐标系中，由第三象限的所有点组成的集合． 导 探 练 结 （1）集合的有关概念：集合、元素； （2）元素与集合的关系：属于、不属于； （3）集合中元素的特性； （4）集合的分类：有限集、无限集； （5）常用数集的定义及记法． （6）集合的表示法：列表法、描述法. $$