12.5 因式分解的综合应用 课件 2024-2025学年华东师大版八年级数学上册

微专题2　题型应用　 因式分解的综合应用 类型一 因式分解的三种方法及应用 1.用分组分解法分解因式一般适用于四项式以及超过四项的因式,恰当的分组是关键,一般分成“2+2”式或者“3+1”式. 如:x2-2xy+y2-4=(x2-2xy+y2)-4=(x-y)2-4=(x-y+2)(x-y-2). 2.用拆项法分解因式适用于三项以及三项以上的式子.拆项的目的是使多项式能够进行分组从而进行因式分解.首先考虑项数比较多的完全平方公式. 如:x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-4=(x+3)(x-1). 3.十字相乘法用于二次三项式的分解因式时,初中阶段只研究二次项系数为1的二次三项式,其公式为x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),这个方法的关键是把常数项pq分解成两个因数p,q的积,并使p+q正好等于一次项的系数. 如:x2+x-2=x2+(2-1)x+(-1)×2=(x+2)(x-1). 针对训练 1.用分组分解法将x2-xy+2y-2x分解因式,下列分组不恰当的是( ) A.(x2-2x)+(2y-xy) B.(x2-xy)+(2y-2x) C.(x2+2y)+(-xy-2x) D.(x2-2x)-(xy-2y) C 2.用分组分解法分解因式:x2-10x+25-y2. 【解析】x2-10x+25-y2 =(x2-10x+25)-y2 =(x-5)2-y2 =(x-5+y)(x-5-y). 3.利用拆项法,分解因式:x2-6x-7. 【解析】x2-6x-7=x2-6x+9-16 =(x-3)2-42=(x-3+4)(x-3-4) =(x+1)(x-7). 4.用十字相乘法分解因式: (1)a2-6a-16. 【解析】(1)a2-6a-16=a2+(-8+2)a+(-8)×2=(a-8)(a+2). (2)(x+1)(x-2)-4. 【解析】(2)(x+1)(x-2)-4=x2-2x+x-2-4=x2-x-6=(x-3)(x+2). 类型二 简便运算 用因式分解进行简便计算的策略 1.观察式子,若是两个数都临近某个数,一般考虑用平方差公式进行计算,若是三项式一般考虑用完全平方公式进行计算. 2.若多个数相乘,则需进行因式分解后再观察式子的特点并转化为实数的计算技巧进行运算. 针对训练 5.利用因式分解计算:11×1022-11×982的结果是( ) A.44 B.800 C.2 200 D.8 800 6.计算(1-)×(1-)×(1-)×(1-)×(1-)的值为( ) A. B. C. D. 7.计算:5352×4-4652×4=____________.  D C 　280 000　 8.计算:(2+1)×(22+1)×(24+1)×…×(2128+1)+1. 【解析】原式=(2-1)(2+1)×(22+1)×(24+1)×…×(2128+1)+1 =(22-1)×(22+1)×(24+1)×…×(2128+1)+1 =(24-1)×(24+1)×…×(2128+1)+1 =2256-1+1=2256. 类型三 整体代入求值 1.分析给出的代数式的值的特点; 2.把给出的代数式分解因式; 3.若分解出的式子正好符合给出的多项式的值,则直接代入求值;若不符合,则把给出的多项式的值进行变形再代入求值. 针对训练 9.已知m+2n=3,m-2n=1,则代数式16m2n2-(m2+4n2)2的值为( ) A.8 B.-8 C.9 D.-9 10.若m3+m-1=0,则m4+m3+m2-2=_______.  11.(2024·资阳期中)已知2x-y-3=0,则4x2-y2-6y=_______.  D 　-1　 　9　 12.(2024·南阳期中)同学们知道数学中的整体思想吗?在解决某些问题时,常常需要运用整体的方式对问题进行处理,如:整体思考、整体变形、把一个式子看作整体等,这样可以使问题简化并迅速求解.试运用整体的数学思想方法解决下列问题: (1)把下列各式分解因式: ①(1-x)-x(1-x); ②(a+b)2+2(a+b)+1; 【解析】(1)①原式=(1-x)(1-x)=(1-x)2; ②原式=(a+b+1)2; (2)①已知a+b=2,ab=,则a2b+ab2的值为　　　　;  ②已知x2-y2=6,x+y=3,那么x-y=　　　　;  ③已知a+b=3,ab=2,求a2+b2的值. 【解析】(2)①∵a+b=2,ab=, ∴原式=ab(a+b)=1; ②∵x2-y2=(x+y)(x-y)=6,x+y=3,∴x-y=2; ③∵a+b=3,ab=2, ∴原式=(a+b)2-2ab=9-4=5. 1 2 类型四 说理应用 用因式分解的知识解决论证类问题的一般过程 1.分析题意,写成整式的运算形式; 2.观察写出的式子,用哪种方法进行因式分解; 3.因式分解得出结论. 针对训练 13.当m为自然数时,(4m+5)2-9一定能被下列哪个数整除( ) A.5 B.6 C.7 D.8 D 14.(2024·凉山州期末)已知a,b,c为三角形的三边,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,试说明该三角形是等边三角形. 【解析】∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0, ∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0, ∴(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)=0, ∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0, ∴a-b=0,b-c=0,c-a=0, ∴a=b=c, ∴该△ABC是等边三角形. 本课结束 $$