1.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步测 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第1章 一元二次方程 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 基础巩固提优 1.设α、β是一元二次方程 一99=0的两个根,则α·β的值是( ). A. 5 B. -5 C. 99 D. —99 2.若x=-1是方程. 0的一个根，则此方程的另一个根是( ). A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3.已知关于x 的一元二次方程 的两根分别记为x₁、x₂，若 则 的值为( ). A. 7 B. -7 C. 6 D. —6 4.已知关于 x 的方程. 3=0 的两根分别为 x₁、x₂,则 的值为 . 5.若方程 的两根为x₁、x₂,则 的值为 . 6.已知关于x 的一元二次方程x² 有两个不等实数根x₁、x₂。 (1)求k 的取值范围； (2)若 ,求k 的值. 7.已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实数根为x₁、x₂，且 =10,求m 的值. 8.在等腰三角形ABC 中,三边分别为a、b、c,其中a=5，若关于x的方程. —b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长. 思维拓展提优 9. 关于x 的方程((x-1)(x+2)=p²(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是( ). A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 10.已知m、n 是一元二次方程x²+2x--5=0的两个根,则 的值为( ). A. 0 B. —10 C. 3 D. 10 11.已知 x₁、x₂ 是关于 x 的方程 的两个实数根，且 则k 的值为 . 12.若实数 a、b 分别满足 且a≠b,则 的值为 . 13. 已知关于x 的一元二次方程 +1)=0有实数根. (1)求m的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为 x₁、x₂,且 求m 的取值范围. 14.在数学活动课上，小倩同学出了这样一道题：“已知x₁、x₂是方程 的两个实数根，求 的值.”很快，小智同学便给出了如下的解答： (1)你对小倩同学出的这道题及小智同学给出的解答是否有不同的看法? 若有，请写出你的见解. (2)写出一个你喜欢的一元二次方程，并求出 的值. 15.已知△ABC 的两边AB、AC 的长是关于x的一元二次方程. =0的两个实数根，第三边 BC的长为5.当k取何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形? 延伸探究提优 16.阅读下列解题过程： 题目：已知方程 的两个根为α、β,求 的值. 解：∵,Δ=3²-4×1×1=5>0,∴α≠β.①由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=-3,αβ=1.② ③ 阅读后回答问题： 上面的解题过程是否正确? 若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程. 17.若一元二次方程 的两实数根为x₁、x₂，则两根与方程系数之间有如下关系： 这一结论称为一元二次方程根与系数的关系，它的应用很多，请完成下列各题： (1)填空：若方程 的两根为x₁与x₂,则. (2)应用：求一些代数式的值. ①已知x₁、x₂是方程 的两个实数根，求( 的值； ②如果互异实数a、b满足方程 求 的值. 18.已知平行四边形 ABCD 的两边AB、AD 的长是关于x 的方程 的两个实数根. (1)当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形? 求出这时菱形的边长. (2)若AB 的长为1,则平行四边形 ABCD的周长是多少? 中考提分新题 19.已知x₁、x₂ 是方程 —2022=0的两个实数根，则代数式 的值是( ). A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 1. D [解析]∵α、β是一元二次方程 的两个根， 故选 D. 知识拓展 一元二次方程 根与系数的关系：若x₁、x₂ 为方程的两个根，则. 与系数的关系为 2. B [解析]设 的另一个根是α， 故选 B. 3. B [解析]本题主要考查了根与系数的关系. ∵关于 x 的一元二次方程 的两根分别记为x₁、x₂ ∴原式 故选 B. 知识拓展 常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根；②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数；③不解方程求关于根的式子的值，如求 等等；④判断两根的符号. [解析]本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于 ，两根之和等于. 是解题的关键. ∵方程 的两根分别为x₁、x₂， 失分警示 根与系数的关系的前提是 选择题中判断命题的真假经常会出现此类问题，比如 的两根之积为3，是假命题. 5.24 [解析]∵方程 的两根为 x₁、x₂, 则原式 6.(1)由题意,得 解得 (2)根据题意，得 解得 7.(1)由题意知 ∴方程有两个不相等的实数根. 即 8.∵关于x的方程 有两个相等的实数根， 即 解得 或 (舍去). ①当a 为底，b为腰时，则 ，不构成三角形，此种情况不成立； ②当b为底，a 为腰时，则5 ，能够构成三角形.此时 的周长为 故 的周长是12. 9. C [解析]∵关于 x 的方程 为常数)， ∴方程有两个不相等的实数根. 根据根与系数的关系，方程的两个根的积为 <0，∴方程有一个正根，一个负根.故选C. 解后反思 本题考查了根与系数的关系：若. 是一元二次方程 的两根，则 10. A [解析]∵m、n 是一元二次方程 的两个根， 是 的一个根， 故选 A. 续经警示 根与系数的关系的前提是△ =0，选择题判断命题的真假经常会出现此类问题。比如13~0的两根之积为3。是假命题： 11. 12. [解析]∵实数a、b分别满足 且a≠b,∴a、b可看作方程 4x+3=0的两个不相等的实数根， 则a+b=4, ab=3,则原式 13.(1)根据题意,得 解得m≤4. (2)根据题意，得 由 得2(2m+1)+6≥20,解得m≥3. 又m≤4,所以m的取值范围为3≤m≤4. 14.(1)∵a=1,b=-1,c=1, ∴方程没有实数根，小智同学的解答是错误的. (2)答案不唯一.如：选择方程 15.设边AB=a,AC=b, ∵a、b是方程 的两根， 又△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形,且 BC=5, 即 当k=-5时，方程为 解得a=-3,b=-4(两解都舍去); 当k=2时，方程为 解得a=3,b=4. ∴当k=2时, 是以 BC 为斜边的直角三角形. 16. 不正确.第③步错.正确的解题过程如下： 由一元二次方程的根与系数的关系，得( 17. (1)5 3 (2)①∵x₁、x₂ 是方程 的两个实数根， ②∵互异实数a、b满足方程 5=0,∴a、b为方程 的两根. 18.(1)∵四边形ABCD 是菱形,. 又AB、AD 的长是关于x的方程 0的两个实数根， ∴当m为1时，四边形ABCD是菱形.当m=1时，原方程为 即 解得 ∴菱形ABCD 的边长是 (2)把x=1代入原方程，得 解得 将 代入原方程，得 0,解得x=1或 方程的另一个根 ∴□ABCD的周长是 解后反思 解题的关键是：(1)根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于m的一元二次方程；(2)根据根与系数的关系结合方程的一个根求出方程的另一个根. 19. A [解析]把 代入方程，得 0,即 ∵x₁、x₂ 是方程 的两个实数根， 则原式 故选 A. 1.4 用一元二次方程解决问题第1课时 用一元二次方程解决问题(1) 1. D [解析]本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程.根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛 21 场，即可得出关于x 的一元二次方程为 故选 D. 方法诠释 关键是根据比赛总场数作为等量关系列方程求解. 2. D [解析]设动点P、Q运动 ts后,能使△PBQ的面积为15cm²,则BP 为(8—t) cm,BQ为2tcm,由题意，得 解得 (当t=5时,BQ=10,不 舍.故若使△PBQ的面积为15cm²,则点 寸是3s. 3. 3 [解析]设这个矩形较大边的长是x边是(5-x)m,根据题意,得x(5-x)=解得 (舍去), 所以这个矩形较大边的长是 3 m. 4 (44-x)(20+5x)=1600 [解析]设每件降价 学科网（北京）股份有限公司 $$