5.3 实际问题与一元一次方程(2)-【拓展与培优】2024-2025学年七年级上册数学（人教版2024）

a 6-3× 1 2 ,即:1 2+ 3-a 3 = a 6- 3 2 ,整理得:3+ 2(3-a)=a-3×3,解得:a=6.故选:C. 4. 由题意得,x 2×1- x+1 3 ×2=1 ,3x-4(x+ 1)=6,3x-4x-4=6,3x-4x=6+4,-x=10, x=-10.故答案为:-10. 5. 设■=y,将x=2代入方程,得 3 2- 10-y 3 = - 1 2 ,得y=4,故答案为:4. 6. 1 7. (1)x=18 (2)x= 9 7 (3)x=12 8. 小明1月份的跳远成绩是3.9 m,每个月增加 的距离是0.2 m. 培优提高 9. m=- 2 7 ,方程的解分别为 x= 17 7 、x= - 4 7. 10. (1)1张长方形餐桌的四周可坐4+2= 6(人),2张长方形餐桌的四周可坐4×2+2= 10(人),3张长方形餐桌的四周可坐4×3+2= 14(人),……,n张长方形餐桌的四周可坐(4n+2) 人;所以4张长方形餐桌的四周可坐4×4+2= 18(人),8张长方形餐桌的四周可坐4×8+2= 34(人);(2)设这样的餐桌需要x 张,由题意得4x+ 2=90,解得x=22. 5.3 实际问题与一元一次方程(1) 典型例题 例1 设安排x 人制造大齿轮,则(85-x)人制造小 齿轮.根据题意得3×16x=2×10(85-x),解得 x=25,所以85-x=60.答:安排25人制造大齿轮, 60人制造小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好 配套. 变式练习 应安排20名工人生产螺钉,24名工人 生产螺母. 例2 设剩下的工作需x 小时完成.由题意得: 4 20+ 120+112 x=1,解得x=6.答:剩下的工作需6小 时完成. 变式练习 5小时 例3 14 变式练习 (1)根据题意得:10a=23,解得:a=2.3.答:a 的值为2.3. (2)设该户居民四月份的用水量为x 立方米. ∵22×2.3=50.6(元),50.6<71,∴x>22. 根据题意得:22×2.3+(x-22)×(2.3+1.1)= 71,解得:x=28. 答:该户居民四月份的用水量为28立方米 基础提升 1. B 2. B 3. 根据已知条件可知白皮数目为32-x,由 黑、白皮块的数目比为3∶5,可得: x 32-x= 3 5 ,化 简,得5x=3(32-x).故选:C. 4. 17 3 5. 200x=2×50(60-x) 6. 3 7. 20 17 8. 25支 培优提高 9. (1)由图可知每个三棱柱盒子需3个长方 形,2个等边三角形,∵裁剪时x 张用A 方法,∴裁 剪时(19-x)张用B 方法.∴侧面的个数为:6x+ 4(19-x)=(2x+76)个,底面的个数为:5(19-x)= (95-5x)个;(2)由题意,得2(2x+76)=3(95-5x), 解得:x=7,∴盒子的个数为: 2×7+76 3 =30. 10. (1)36;(2)因为甲还需要15分钟才能单独 完成剩下的任务,所以会影响按时发卷时间;(3)因 为从B 机出了故障开始到完成任务还需11.4分 钟,所以学校能按时发卷. 5.3 实际问题与一元一次方程(2) 典型例题 例1 160 变式练习 设标价为x 元,则进价为(0.8x-500) 元,根据题意得:20%(0.8x-500)=500,解得x= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·62· 3750,∴进价为0.8x-500=0.8×3750-500= 2500(元),∴按同一标价打九折销售获得的纯利润 为3750×0.9-2500=875(元). 例2 设这个队胜了x 场,则平了(9-2-x)场.由 题意得3x+(9-2-x)=17,解得x=5.所以9- 2-x=2.答:这个队胜了5场,平了2场. 变式练习 8道 例3 (1)设一个月通话x 分钟,两种通信费用相 同.由题意得:50+0.4x=0.6x,解得x=250.答: 一个月通话250分钟,两种通信费用相同; (2)当通话时间小于250分钟时,选择“快捷通”合 算;当通话时间为250分钟时,两种通信费用相同;当 通话时间大于250分钟时,选择“全球通”合算. 变式练习 10 基础提升 1. C 2. B 3. C 4. 5 3 5. 12 6. (1)甲店需付款10+10×0.7=17元;乙商 店需付款:20×0.8=16元,故到乙商店省钱; (2)设买x 本时给两个商店付相等的钱,依题 意列方程:10+(x-10)×70%=80%x,解得: x=30.故买30本时给两个商店付相等的钱; (3)设最多可买x 本,则甲商店10+(x-10)× 70%=22.6,解得:x=28;乙商店80%x=22.6,解 得:x=28.25.故最多可买28本. 7. (1)设每件服装的标价是x 元,则成本是 (0.5x+20)元.由题意得,50%·x+20=80%·x -40,解得:x=200,即每件服装的标价是200元, 成本是0.5×200+20=120(元); (2)设最多打x 折,由题意得,200×0.1x= 120,解得:x=6,即最多能打6折. 8. 5场 培优提高 9. 设每件衬衫降价x 元,依题意有120×400+ (120-x)×100=80×500×(1+45%),解得x=20. 10. (1)设成人人数为x,则学生人数为12- x,根据题意得:40x+ 40 2 (12-x)=400,解得:x= 8,∴12-x=12-8=4(个).答:小明他们一共去了 8个成人,4个学生; (2)如果买团体票,按16人计算,共需费用: 40×0.6×16=384(元),∵384<400,∴购团体票 更省钱. 专题拓展 一元一次方程与实际问题 典型例题 例1 设x 年后爸爸的年龄是王丹年龄的2倍.由 题意得:2(12+x)=36+x.解得x=12.答:12年后 爸爸的年龄是王丹年龄的2倍. 变式练习 设十年前父亲和儿子的年龄分别是6x 岁和x 岁.由题意得,6x+20=2(x+20),即4x= 20,解得:x=5,6x=30,则父亲现在的年龄为:30+ 10=40(岁),儿子现在的年龄为:5+10=15(岁). 例2 48 变式练习 437 例3 设甲、乙两地之间高速公路的长度为x 千米. 由题意得:x 4- x+30 7 =30 ,解得x=320.答:甲、乙 两地之间高速公路的长度为320千米. 变式练习 (1)设客车的速度是5x 米/分,货车的速度为 3x 米/分,则有:5x=3x+280+200,解之,得x= 240,所以,客车的速度是5×240=1200(米/分),货 车的速度是3×240=720(米/分); (2)若两车相向行驶,那么交叉时间(280+ 200)÷(1200+720)=0.25(分钟). 基础提升 1. A 2. C 3. A 4. 设灰色长方形的长上摆5x 个小正方形,宽 上摆3x 个小正方形,2(5x+3x)+4=148,x=9, 5x=45,3x=27,AD=45+2=47,AB=27+2= 29, AD AB= 47 29. 故选:D. 5. 200 6. 50 7. 48 培优提高 8. (1)设经过x 秒甲、乙两人首次相遇,则:6× 4 3x+6x=400-8 ,解得x=28; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·72· 数学 七年级上册 117 5.3 实际问题与一元一次方程(2) 例1 某种商品每件的标价为240元,按标价的八折销售时,每件仍能获利20%,则这种商品 每件的进价为 元. 点拨:销售问题相关公式,例如:售价=标价× 折扣数 10 、售价=进价×(1+利润率)等.本题需 要把两个公式结合起来,得到方程:进价×(1+利润率)=标价× 折扣数 10 ,再将题目里的数量 代入即可. 变式练习 长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器,若按标价打八折销售该电器一件,则获 得的利润为500元,利润率为20%.现如果按同一标价打九折销售该电器一件,那么获得的利 润为多少元? 例2 某市中学生举行足球联赛,M 队在第一轮比赛中共赛了9场,得分17分.比赛规定胜一 场得3分,平一场得1分,负一场得0分,M 队在这一轮比赛中只负了2场,那么这个队 胜了几场? 又平了几场呢? 点拨:本题考查了列方程解决球赛积分问题等内容,对这类问题要注意等量关系:胜场积分+ 负场积分+平场积分=总积分. 变式练习 某企业对应聘人员进行英语考试,试题由50道选择题组成,评分标准规定:每道题 的答案选对得3分,不选得0分,选错倒扣1分.已知某人有5道题未做,得了103分,则这个 人选错了多少道题? 例3 某通信公司推出两种业务:“全球通”使用者先缴50元月租费,然后每通话1分钟,再付 话费0.4元;“快捷通”不缴月租费,每通话1分钟,付话费0.6元. (1)你认为一个月通话多少分钟,两种通信费用相同? 数学 七年级上册 118 (2)哪种方案更合算? 点拨:(1)本题考查了列方程解决方案选择问题等内容;(2)要抓住方案的关键点,再设未知数 写出不同方案的表达式,进而列出方程,并解方程,从而选择最优方案. 变式练习 某同学花了30元钱购买图书馆会员证,凭证购入场券每张1元,不凭证购入场券 每张4元,要想使得购会员证比不购会员证划算,该同学去图书馆阅览应超过 次. 1. 某个体商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣,每件都以135元出售,按成本价计算,其中一 件盈利25%,另一件亏本25%,在这次买卖中,他 ( ) A. 不赚不赔 B. 赚9元 C. 赔18元 D. 赚18元 2. 某商店举办促销活动,促销的方法是将原价x 元的衣服以 45x-10 元出售,则下列说法 中,能正确表达该商店促销方法的是 ( ) A. 原价减去10元再打8折 B. 原价打8折后再减10元 C. 原价减10元后再打2折 D. 原价打2折后再减10元 3. 李明组织大学同学一起去观看电影,票价每张60元,20张以上(不含20张)打八折,他们共 花了1200元,则共买了 张电影票. ( ) A. 20 B. 25 C. 20或25 D. 无法确定 4. 学校利用课外活动时间进行班级篮球比赛,每场比赛都要决出胜负,每队胜一场得2分,负一 场得1分.已知七(1)班在8场比赛中得到13分,则七(1)班胜 场、负 场. 5. 乐购超市推出“第二件打折”活动,根据标签的信息,购买这种饼干两件共省 5.5元.另有一种饮料打出“第二件3折”的标签,若购买这种饮料两件共省 8.4元,则购买一件需 元. 6. 小明用的练习本可以到甲商店购买,也可到乙商店购买,已知两商店的标价都是每本1元, 但甲商店的优惠条件是:购买10本以上,从第11本开始按标价的70%卖;乙商店的优惠条 件是:从第1本开始就按标价的80%卖. (1)小明要买20本时,到 商店购买较省钱; (2)买 本时到两商店买一样; (3)小明现有22.6元钱,最多可买 本. 数学 七年级上册 119 7. 小王自主创业开了一家服装店,因为进货时没有进行市场调查,在换季时积压了一批服装. 为了缓解资金的压力,小王决定打折销售.若每件服装按标价的5折出售将亏20元,而按 标价的8折出售将赚40元. (1)每件服装标价 元,成本 元; (2)为了尽快减少库存,又保证不亏本,则小王最多能打 折. 8. 足球比赛的积分规则为胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.一支足球队在某个赛 季已比完了8场,输了1场,得了17分.这8场比赛中球队共胜了多少场? 9. 某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况,了解到该商场以每件80元的价格购 进了某品牌衬衫500件,并以每件120元的价格销售400件,商场准备采取促销措施,将剩 下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下,每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好达 到盈利45%的预期目标? 10. 在国庆节期间,小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩,下面是购买门票时,小明与他 爸爸的对话(如图),试根据图中的信息,解答下列问题: (1)小明他们一共去了几个成人,几个学生? (2)请你帮助小明算一算,用哪种方式购票更省钱?