第二单元分数混合运算（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学北师大版

第二单元分数混合运算 （知识梳理+专项练习） 1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。 ①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。 ②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算； ③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。 2、解决问题 （1）用分数运算解决“求比已知量多（或少）几分之几的量是多少”的实际问题，方法是： 第①种方法：可以先求出多或少的具体量，再用单位“1”的量加或减去多或少的部分，求出要求的问题。 第②种方法：也可以用单位“1”加或减去多或少的几分之几，求出未知数占单位“1”的几分之几，再用单位“1”的量乘这个分数。 （2）“已知甲与乙的和，其中甲占和的几分之几，求乙数是多少？” 第①种方法：首先明确谁占单位“1”的几分之几，求出甲数，再用单位“1”减去甲数，求出乙数。 第②种方法：先用单位“1”减去已知甲数所占和的几分之几，即得未知乙数所占和的几分之几，再求出乙数。 （3）用方程解决稍复杂的分数应用题的步骤： ①要找准单位“1”。 ②确定好其他量和单位“1”的量有什么关系，画出关系图，写出等量关系式。 ③设未知量为X，根据等量关系式，列出方程。 ④解答方程。 （4）要记住以下几种算术解法解应用题： ①对应数量÷对应分率=单位“1” 的量 ②求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 ③已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，还可以用列方程解答。 3、要记住以下的解方程定律： 加数 +加数 = 和； 加数 = 和–另一个加数。 被减数–减数 = 差； 被减数=差+减数； 减数=被减数–差。 因数×因数 = 积； 因数 = 积÷另一个因数。 被除数÷除数 = 商； 被除数=商×除数； 除数=被除数÷商。 4、绘制简单线段图的方法： 分数应用题，分两种类型，一种是知道单位“1”的量用乘法，另一种是求单位“1”的量，用除法。这两种类型应用题的数量关系可以分成三种:(一)一种量是另一种量的几分之几。(二)一种量比另一种量多几分之几。(三)一种量比另一种量少几分之几。绘制时关键处理好量与量之间的关系，在审题确定单位“1”的量。绘制步骤： ①首先用线段表示出这个单位“1”的量，画在最上面，用直尺画。 ②分率的分母是几就把单位“1”的量平均分成几份，用直尺画出平均的等分。标出相关的量。 ③再绘制与单位“1”有关的量，根据实际是上面的三种关系中的哪一种再画。标出相关的量。 ④问题所求要标出“？”号和单位。 5、补充知识点 分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。 分数乘法的计算法则 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。 分数乘法意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。 分数乘整数：数形结合、转化化归 倒数：乘积是1的两个数叫做互为倒数。 分数的倒数 找一个分数的倒数，例如3/4　把3/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/3。3/4是4/3的倒数，也可以说4/3是3/4的倒数。 整数的倒数 找一个整数的倒数，例如12，把12化成分数，即12/1 ，再把12/1这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是1/12 ，12是1/12的倒数。 小数的倒数 普通算法：找一个小数的倒数，例如0.25 ，把0.25化成分数，即1/4 ，再把1/4这个分数的分子和分母交换位置，把原来的分子做分母，原来的分母做分子。则是4/1 用1计算法：也可以用1去除以这个数，例如0.25 ，1/0.25等于4 ，所以0.25的倒数4 ，因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。 分数除法：分数除法是分数乘法的逆运算。 分数除法计算法则： 甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 分数除法的意义：与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。 分数除法应用题：先找单位1。单位1已知，求部分量或对应分率用乘法，求单位1用除法。 一、选择题 1．一条山路全长千米，如果每天修千米，修了4天后，还有（    ）千米没修． A． B． C． D． 2．甲数的与乙数的相等，若甲数是60，则乙数是（    ）。 A．20 B．40 C．60 D．80 3．一根电线截成两段，第一段占全长的，第二段长米，第一段和第二段比（　　） A．第一段长 B．第二段长 C．两段同样长 D．无法比较 4．王强曾经罚点球20次，罚中18次，赵刚曾经罚点球25次，罚中21次．刘虎曾经罚点球10次，罚中8次．教练准备叫他们三人中的一人去主罚，你认为应派（　　）去． A．王强 B．赵刚 C．刘虎 5．×60＝×60＋×60，计算时运用的是（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法交换律 6．下面哪个问题的解决对应算式是150×（1－）？（    ）。 A．少先队员采集植物标本150件，采集的昆虫标本比植物标本多，采集的昆虫标本有多少件？ B．福利院准备包150个饺子，已经包了，已经包了多少个饺子？ C．五年级有150人，六年级比五年级少，六年级有多少人？ 二、填空题 7．“甲比乙多”，应该把( )看作单位“1”。 8．甲数是，增加它的后是( )． 9．在200米跑的比赛中，小红用了分，小明用了分，小华用了分．( )跑得最快． 10．爸爸买了一张桌子和一把椅子一共花了240元，一把椅子的价格是一张桌子的，这把椅子的价格是( )元。 11．在( )里填上“＞”“＜”或“=”． ( ) 0.84( ) 1.25( ) ( )2.2． 12．填一填． (1)分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序( )． (2)在计算×时,先算( )法,再算( )法． (3)在计算÷×时,先算( )法,再算( )法,得数为( )． 13．米的是( )米；10米比它的多( )米。 14．4的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位． 15．在0.3232、5.2325、4.99…、0.18、3.14159…、0.23535…等数中， 是有限小数的有( )； 是无限小数的有( )； 是循环小数的有( )． 三、判断题 16．一根2米长的线，用去后，还剩米。( ) 17．笑笑录入一份稿件，录入后还剩700字，这份稿件共有980字。( ) 18．一根1米长的绳子增加它的，再减少米，结果不变。( ) 19．把一根木料锯成10段，每段所用的时间是锯完整根木料所用时间的。( ) 20．小明小红和小林分吃一块盒巧克力，小明吃了整盒的，小红吃了剩下的，其他小林吃。他们吃的巧克力一样多。( ) 21．一桶油千克，先倒出它的，再加入千克的油，现在桶内油的重量没变．　   ( ) 四、计算题 22．直接写得数． 23．用你喜欢的方法计算． (1)÷× (2)（3﹣）÷ (3)÷7+× 五、解答题 24．为做好疫情防护，学校采购了一批口罩用来分发给忘记戴口罩的学生，第一天分发了总口罩的，第二天分发了剩下口罩的，第三天分发的比第二天多，还剩下60只口罩。学校一共采购了多少只口罩？ 25．实验学校有学生720人，五年级人数占，其中女生占全年级的，五年级女生有多少人？ 26．一个书架共有三层图书，上层图书的本数占总数的，如果从下层拿5本书放到上层，则三层的图书就一样多，这个书架共有图书多少本？ 27．学校食堂购进了54袋大米，购进的面粉比大米多，学校食堂一共购进了多少袋大米和面粉？ 28．明明爸爸周末做临时工，星期六挣了240元，星期天的收入比星期六增加了，明明爸爸两天一共挣了多少元钱？ 29．夏季北京日平均日照时数大约是5时，广州日平均日照时数比北京少，广州日平均日照时数大约是多少时？ 30．甲、乙两车分别从相距660km的两地相对开出，甲车的速度比乙车快，两车同时出发4时后相遇，乙车每时行多少千米？ 31．有三堆同样枚数的棋子，取出第一堆的和第二堆的，从第三堆取出15枚，这时三堆剩下的围棋子恰好等于原来两堆围棋子的总枚数．原来每堆围棋子有多少枚？ 32．长跑锻炼，淘气每天跑步1800米，比笑笑每天少跑，笑笑每天跑多少米？（先画图，写出等量关系式，最后列方程解答。） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【详解】 故答案为C 2．D 【解析】根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算；已知一个数的几分之几是多少，求这个数是多少用除法计算。 【详解】60× ＝20 ＝80 故答案为：D。 【点睛】此题考查的是分数乘法和分数除法的意义，要熟练掌握。 3．B 【详解】试题分析：把这根电线的原长看成单位“1”，那么第一段占原长的，第二段占原长的（1﹣），只要比较它们占全长的分率即可求解． 解：1﹣=； ＜； 所以第二段长． 故选B． 点评：本题要注意比较两段的分率即可求解，不要认为和米无法比较，而选择D． 4．A 【详解】试题分析：本题需要求出他们的命中率，再比较命中率高的去踢点球． 解：王强：×100%=90%； 赵刚：×100%=84%； 刘虎：×100%=80%； 90%＞84%＞80% 答：应派王强去． 故答案选：A． 点评：本题先转化成求百分率的问题，再根据求百分率的方法计算． 5．C 【分析】乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变；乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变；乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；据此解答。 【详解】×60＝×60＋×60，计算时运用的是乘法分配律。 故答案为：C 6．C 【分析】根据求比一个数多/少几分之几的解题方法逐项分析即可。 【详解】A．采集的昆虫标本比植物标本多，植物标本150件，则昆虫标本有150×（1＋）件，该选项不符合题意； B．已经包了，则包了150×个，该选项不符合题意； C．六年级比五年级少，五年级有150人，则六年级有150×（1－），符合题意。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查“求比一个数多/少几分之几”。 7．乙 【分析】“甲比乙多”，则是把乙看作单位“1”，把它平均分成9份，每份是它的，甲数比乙多这样的4份，即甲数相当于乙的（1＋）。 【详解】“甲比乙多”，应该把乙看作单位“1”。 【点睛】本题主要是考查单位“1”的确定。通常确定单位“1”的方法是：谁的几分之几，谁就是单位“1”；和谁比谁就是单位“1”。 8． 【解析】略 9．小明 【详解】试题分析：先通过通分比较时间的大小，再根据路程一定，速度和时间成反比例得出答案． 解：5、3和4的最小公倍数是60， =， =， =， 因为＞＞， 所以小明用时间最少， 根据路程一定，速度和时间成反比例得： 小明跑得最快； 故答案为小明． 点评：解答此题的关键是：利用异分母分数大小的比较方法，比较出他们所用时间的多少，再根据路程一定，速度和时间成反比例即可判断出谁跑得快慢． 10．72 【分析】设一张桌子的价格是x元，一把椅子的价格是一张桌子的，则一把椅子的价格是x元，一张桌子和一把椅子一共花了240元，列方程：x＋x＝240，解方程，即可解答。 【详解】解：设一张桌子的价格是x元，则一把椅子的价格是x元。 x＋x＝240 x＝240 x＝240÷ x＝240× x＝168 椅子：168×＝72（元） 爸爸买了一张桌子和一把椅子一共花了240元，一把椅子的价格是一张桌子的，这把椅子的价格是72元。 【点睛】根据方程的实际应用，利用桌子和椅子的价格之间的关系，设出未知数，找出先关的量，列方程，解方程。 11．＜；＞；=；＜ 【详解】试题分析：（1）根据假分数大于真分数比较即可； （2）先把化成小数，再比较大小； （3）先把化成小数，再比较大小； （4）先把把化成小数，再比较大小； 解：（1）因为是真分数，是假分数， 所以＜； （2）=0.8， 因为0.84＞0.8， 所以0.84＞； （3）=1.25， 因为1.25=1.25， 所以1.25=； （4）=2.1， 因为2.1＜2.2， 所以＜2.2； 故答案为＜；＞；=；＜． 点评：小数与分数比较大小时，一般把分数化成小数，再比较大小． 12． 相同 除 乘 除 乘 【详解】略 13． 4 【分析】根据求一个数的几分之几是多少用乘法；根据分数乘法先求出10的是多少，然后用10减去10的即可，据此解答。 【详解】×＝（米） 10－10× ＝10－6 ＝4（米） 【点睛】此题重点考查分数乘法的两种题型。需看清谁是单位“1”的量。 14．、22 【详解】试题分析：将单位“1”平均分成若干份，表示其中这样一份的数叫分数单位．所以的分数单位是，又化为假分数为，所以它有22个这样的分数单位． 解：根据分数单位的意义可知，的分数单位是； =，所以它有22个这样的分数单位． 故答案为、22． 点评：本题考查了分数单位的意义，一个分数的分母是几，它的分数单位就为几分之一． 15．0.3232，5.2325，0.18；4.99…，3.14159…，0.23535…；4.99…，0.23535…． 【详解】试题分析：有限小数是位数有限的小数；无限小数包括纯循环小数、混循环小数和无限不循环小数． 解：是有限小数的有 0.3232，5.2325，0.18； 是无限小数的有 4.99…，3.14159…，0.23535…； 是循环小数的有 4.99…，0.23535…． 故答案为0.3232，5.2325，0.18；4.99…，3.14159…，0.23535…；4.99…，0.23535…． 点评：此题考查了循环小数和有限小数的意义． 16．× 【分析】将这根线的长度看成单位“1”，用去后，还剩下（1－），根据分数乘法的意义，求出剩下的长度即可判断。 【详解】2×（1－） ＝2× ＝（米） 米≠米 故答案为：× 【点睛】解题时要明确分数带单位表示具体的量，分数不带单位表示整体的几分之几。 17．× 【分析】把这份稿子的总字数看作单位“1”，那么还剩下（1－），对应的是700字，根据分数除法的意义，用除法解答即可。 【详解】700÷（1－） ＝700÷ ＝2450（字），这份稿件共有2450字，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查了分数四则混合运算，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，先找出700字对应的分率是解题关键。 18．√ 【分析】将原长看成单位“1”，先求出原长的，再加上原长，进而求出减少米后的长度，最后与原长比较即可。 【详解】1×＋1－ ＝＋1－ ＝1（米） 1米＝1米，即结果不变。 故答案为：√ 【点睛】解题时注意分数带单位表示具体的量，分数不带单位表示整体的几分之几。 19．× 【分析】将一根木料锯成10段，需要据10－1＝9次，根据分数的意义，将锯完所用总时间当成单位“1”，则锯一段所用时间占总时间的1－9＝，据此解答。 【详解】1÷（10－1） ＝1÷9 ＝ 故答案为：×。 【点睛】完成本题要注意锯的次数与段数之间的关系为：段数＝锯的次数＋1，掌握分数混合运算是解题关键。 20．√ 【分析】把这盒巧克力看作单位“1”，小明吃了整盒的，还剩下（1－），小红吃了剩下的，用（1－）×，求出小红吃了整盒的分率，再用1减去小明吃了整盒的分率，减去小红吃了整盒的分率，求出小林吃了整盒的分率，再进行比较，即可解答。 【详解】小红：（1－）× ＝× ＝ 小林：1－－ ＝－ ＝ ＝＝，小明、小红和小林吃的一样多。 小明小红和小林分吃一块盒巧克力，小明吃了整盒的，小红吃了剩下的，其他小林吃。他们吃的巧克力一样多。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解答本题的关键是求出小红吃了整盒巧克力分率，进而解答。 21．× 【详解】现在油重： ×（1﹣）+ ＝ ＝ ＝（千克）， 原来油重：＝（千克）， 因为，所以现在桶内油的重量增加了． 故答案为×． 22．   4   【详解】略 23．(1) (2) (3) 【详解】（1）÷× ＝× ＝ （2）（3﹣）÷ ＝÷ ＝ （3）÷7+× ＝×（+） ＝×1 ＝ 24．300只 【分析】已知这批口罩，第一天分发了全部的； 第二天分发了剩下的，把这批口罩数量看作单位“1”，则第二天发的为（1－）×＝； 第三天分发的比第二天多，则第三天发了×（1＋）＝； 最后还剩下60只口罩，则这60只占全部口罩的（1－－－）＝，根据：对应量÷对应分率＝单位“1”的量，列式为：60÷（1－－－），可求得学校一共采购了多少只口罩。 【详解】（1－）× ＝× ＝ ×（1＋） ＝× ＝ 60÷（1－－－） ＝60÷ ＝60×5 ＝300（只） 答：学校一共采购了300只口罩。 【点睛】关键是确定好单位“1”的量，再找好对应数量以及对应分率，根据分数除法的意义列式解答。 25．65人 【分析】把全校任何数看作单位“1”，用实验学校的总人数×五年级人数占全校人数的分率，求出五年级的人数，再把五年级人数看作单位“1”，再用五年级的人数×女生占五年级人数的分率，即可解答。 【详解】720×× ＝120× ＝65（人） 答：五年级女生有65人。 【点睛】熟练掌握连续求一个数的几分之几的计算方法是解答本题的关键，注意单位“1”的确定。 26．120本 【分析】把这三层图书的总数看作单位“1”，上层图书的本数占总数的，如果从下层拿5本书放到上层，则三层的图书就一样多，则此时上层图书展总数的，－对应的数量是5本，用除法求出这个书架共有图书多少本。 【详解】5÷（－） ＝5÷ ＝120（本） 答：这个书架共有图书120本。 【点睛】解题的关键是分析出上层图书的本数占总数的两个分率差。 27．117袋 【分析】由于购进的面粉比大米多，单位“1”是大米的袋数，则面粉的袋数相当于大米袋数的：1＋，单位“1”已知，用乘法，即54×（1＋），之后把购进大米的袋数和购进面粉的袋数相加即可。 【详解】54×（1＋） ＝54× ＝63（袋） 63＋54＝117（袋） 答：学校食堂一共购进了117袋大米。 【点睛】本题主要考查比一个数多几分之几的数是多少，找准单位“1”是解题的关键。 28．576元 【分析】将星期六挣的钱数看成单位“1”，星期天的收入比星期六增加了，则星期天的收入是星期六的1＋＝，根据分数乘法的意义，用240×求出星期天的收入，再加上星期六的收入即可。 【详解】240×（1＋）＋240 ＝240×＋240 ＝336＋240 ＝576（元） 答：明明爸爸两天一共挣了576元。 【点睛】本题主要考查“求比一个数多/少几分之几的数是多少”的实际应用。 29．3.5时 【分析】把北京的日平均日照时数看作单位“1”，那么，广州日平均日照时数是北京的（1－），已知北京的日平均日照时数，根据分数乘法的意义，相乘即可。 【详解】5×（1－） ＝5× ＝3.5（时） 答：广州日平均日照时数大约是3.5时。 【点睛】此题考查了求比一个数多（少）几分之几的数是多少，用这个数×（1±几分之几）即可。 30．75km 【详解】(km)   答：乙车每时行75km． 31．80枚 【详解】略 32．如图： 图见详解 等量关系式：笑笑每天跑的米数×（1－）＝1800米 2250米 【分析】把笑笑每天跑的米数看作单位“1”，淘气跑的米数比笑笑少，据此画图；设笑笑每天跑x米，淘气每天跑的米数是笑笑的（1－），用笑笑跑的米数×（1－）＝淘气跑的米数，列方程：x×（1－）＝1800，解方程，即可解答。 【详解】    解：设笑笑每天跑x米。 x×（1－）＝1800 x＝1800 x＝1800÷ x＝1800× x＝2250 答：笑笑每天跑2250米。 【点睛】本题考查方程的实际应用；利用笑笑和淘气跑步米数之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$