专题3.4 函数的奇偶性和周期性（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用）

专题3.4 函数的奇偶性和周期性 【考纲要求】 1. 理解函数奇偶性的含义，并能正确判断函数的奇偶性，并会用奇偶函数的性质解决问题. 2. 理解函数周期性的概念，会求函数的周期. 【考向预测】 1.函数的奇偶性 2.函数的周期 1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 5．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 考点一：函数奇偶性的判断 【例1】下列函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】下列函数中为偶函数的是（       ） A． B． C． D． 【例2】已知函数和的定义域均为，函数为奇函数，函数为偶函数，下列判断正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【变式探究】下列函数中是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【例3】下列命题中正确的是（ ） A．奇函数的图象一定过坐标原点 B．函数是偶函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 【变式探究】设. （1）求函数的表达式； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由. 考点二：函数奇偶性的应用 【例1】已知函数为偶函数，且，则（       ） A．1 B．3 C．4 D．7 【变式探究】已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（       ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【例2】函数为上的奇函数，时，，则（       ） A． B．2 C． D．6 【变式探究】已知函数，若，则（       ） A．4 B．5 C．7 D． 【例3】已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（       ） A．5 B． C．3 D． 【变式探究】已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（       ）． A． B．2 C． D．1 【例4】已知函数是偶函数，则常数的值为 ． 【变式探究】已知函数是奇函数，则 ． 【例5】是偶函数，其定义域为，则等于（       ） A．1 B． C． D．01 【变式探究】若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（       ） A．10 B．5 C．3 D．2 考点三：函数的周期性 【例1】下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【变式探究】已知是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则 ． 【例2】已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 【变式探究】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 . 【例3】已知是定义在上的奇函数，且．当时，，则 ． 【变式探究】已知定义域为R的奇函数满足，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例4】若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（       ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 【变式探究】设函数是定义在上周期为3的奇函数，且，则的值为 ． 【例5】已知在上是奇函数，且满足，当时，，则等于（       ） A．-2 B．2 C．-98 D．98 【变式探究】已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 函数的奇偶性和周期性 【考纲要求】 1. 理解函数奇偶性的含义，并能正确判断函数的奇偶性，并会用奇偶函数的性质解决问题. 2. 理解函数周期性的概念，会求函数的周期. 【考向预测】 1.函数的奇偶性 2.函数的周期 1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件． 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内每一个的值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 5．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 考点一：函数奇偶性的判断 【例1】下列函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误； 对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确； 对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误； 对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误， 故选：B. 【变式探究】下列函数中为偶函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，函数为奇函数，故A不符题意； 对于B，函数，因为，故函数为偶函数，故B符合题意； 对于C，函数，因为，所以函数为奇函数，故C不符题意； 对于D，函数的定义域为，则函数为非奇非偶函数，故D不符题意， 故选：B. 【例2】已知函数和的定义域均为，函数为奇函数，函数为偶函数，下列判断正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】C 【解析】因为函数为奇函数，函数为偶函数， 所以是奇函数，是偶函数， 是奇函数，是偶函数，选项C正确， 故选：C. 【变式探究】下列函数中是奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 令， 则， 所以为奇函数， 故选：C. 【例3】下列命题中正确的是（ ） A．奇函数的图象一定过坐标原点 B．函数是偶函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 【答案】C 【解析】只有奇函数在处有定义时，此时函数的图象过原点，所以A不对； 因为函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以B不对；函数的定义域为关于原点对称，且满足，即，所以函数为奇函数，所以C正确； 函数满足，即，所以函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确， 故选：C． 【变式探究】设. （1）求函数的表达式； （2）判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1）（2）为偶函数，理由见解析 【解析】解：（1）因为，用去替换式中的， 得，两式联立方程组消，可得， 故函数的表达式为：. （2）为偶函数，因为，， ， 所以为偶函数. 考点二：函数奇偶性的应用 【例1】已知函数为偶函数，且，则（       ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】C 【解析】由偶函数的性质得， 故选：C. 【变式探究】已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（       ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】C 【解析】因为函数为R上的奇函数，当时，， 所以， 故选：C. 【例2】函数为上的奇函数，时，，则（       ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【解析】时，，故， 又函数为上的奇函数，故， 故选：C. 【变式探究】已知函数，若，则（       ） A．4 B．5 C．7 D． 【答案】A 【解析】构建在R上为奇函数， 则，即， 则， 故选：A． 【例3】已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，若，则（       ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由得：， 因为分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以 ， 故可解得：， 故选：B. 【变式探究】已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，若，则（       ）． A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由奇函数的性质可知   a=2， ， 故选：D. 【例4】已知函数是偶函数，则常数的值为 ． 【答案】 【解析】 易知函数定义域为，函数是偶函数， 对定义域内每一个都成立，，， 对定义域内每一个都成立，，即 . 故答案为：. 【变式探究】已知函数是奇函数，则 ． 【答案】1 【解析】函数是奇函数， ，即恒成立， 即恒成立，， 故答案为：． 【例5】是偶函数，其定义域为，则等于（       ） A．1 B． C． D．01 【答案】B 【解析】因为是偶函数，其定义域为， 所以，可得，定义域为， 所以，由可得：， 对于恒成立，所以，可得， 所以， 故选：B. 【变式探究】若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为（       ） A．10 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【解析】函数是定义在上的偶函数， 所以，且，所以， 所以， 所以， 故选：B. 考点三：函数的周期性 【例1】下列函数是周期函数的有（       ） ①       ②       ③ A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【解析】易得和是周期函数，不是周期函数， 故选：C. 【变式探究】已知是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，则 ． 【答案】 【解析】由题可知：， 又当时，， 所以，故， 故答案为：. 【例2】已知是以2为周期的函数，且，则（       ） A．1 B．-1 C． D．7 【答案】A 【解析】因为函数是周期为2的周期函数， 所以为的周期，即， 所以， 故选：A. 【变式探究】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】因为函数是定义在R上的周期为2的奇函数， 所以，， 因为当时，，所以， 所以，所以， 故答案为：. 【例3】已知是定义在上的奇函数，且．当时，，则 ． 【答案】－3 【解析】f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3. 故答案为：－3. 【变式探究】已知定义域为R的奇函数满足，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】， ，， ， 故选：A. 【例4】若是R上周期为6的奇函数，且满足，，则（       ） A．-1 B．-2 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题知是上周期为的奇函数， 所以有， ， 故， 故选：D. 【变式探究】设函数是定义在上周期为3的奇函数，且，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为函数是定义在上周期为3的奇函数， 所以，且， 所以，，， 所以， 故答案为：. 【例5】已知在上是奇函数，且满足，当时，，则等于（       ） A．-2 B．2 C．-98 D．98 【答案】B 【解析】由于，所以是周期为的周期函数， 所以， 故选：B. 【变式探究】已知满足对任意，且时，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为满足对， 所以函数的最小正周期为， 又时，， 因此， 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$