专题3.3 函数的单调性及最值（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用）

专题3.3 函数的单调性及最值 【考纲要求】 1. 理解函数的单调性，会用定义法判断函数的单调性. 2. 会用函数的单调性求最值. 【考向预测】 1.定义法判断函数的单调性 2.求最值. 1．函数的单调性 (1)增函数与减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 (1)最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 考点一：判断函数的单调性 【例1】下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选项A中，在定义域内单调递增，故错误. 选项B中，，函数在内单调递减，在内单调递增，故错误. 选项C中，，函数在定义域内单调递增，，故在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故错误. 选项D中，定义域，函数在上单调递减，故正确. 故选：D. 【变式探究】下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由函数的图像可知，为开口向上，顶点坐标为， 对称轴为y轴的抛物线，符合题意， 故选：B. 【例2】下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于A，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向上，在上单调递减，不符合题意； 对于B，函数定义域为，且，是奇函数，不符合题意； 对于C，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向下，在上单调递增，符合题意； 对于D，函数对称轴为，是非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 【变式探究】下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由四个函数的图像可知，满足在区间上是减函数的只有， 故选：B. 【例3】下列函数中，在上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由四个函数的图像可知，在上是增函数的只有， 故选：A. 【变式探究】下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，是非奇非偶函数，所以A错误； 对于B，是奇函数，而在上不是单调递增函数，所以B错误； 对于C，是奇函数又在区间上单调递增，所以C正确； 对于D，是非奇非偶函数，所以D错误， 故选：C. 考点二：由单调性判断大小及求参数范围 【例1】已知偶函数在上为增函数，，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以， 又因为在上为增函数， 所以，所以， 故选：B. 【变式探究】设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（       ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数为偶函数，则，， 当时，是减函数，又， 则，则， 故选：C. 【例2】函数在区间上具有单调性，则m的取值范围为 . 【答案】或 【解析】二次函数的对称轴为， 因函数在区间上具有单调性， 所以或， 故答案为：或 【变式探究】已知在为单调函数，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上单调递减，在上单调递增， 故要想在为单调函数，需满足， 故选：D. 【例3】函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 【变式探究】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上单调递增，， ，解得：， 实数的取值范围为， 故选：C. 【例4】已知定义在R上的函数是偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为偶函数，且在上单调递减， 所以在上单调递增， 由，得，解得， 即不等式的解集为， 故选：C. 【变式探究】设是定义在R上的奇函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】依题意是定义在R上的奇函数，且在上是减函数，所以在上是减函数， 由于，所以， 故答案为：. 考点三：由单调性求最值 【例1】已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（       ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【解析】函数在区间是减函数， 所以时有最大值为1，即A=1，时有最小值，即B=， 则， 故选：A. 【变式探究】、在上的最小值为 ． 【答案】0 【解析】根据题意在上为增函数， 则在上的最小值为， 故答案为：0. 【例2】函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为函数在区间单调递减， 所以当x=0时取得最大值：， 故选：B. 【变式探究】若函数在区间上的最大值为6，则 . 【答案】4 【解析】函数在区间上单调递增， 于是得，解得：， 故答案为：4. 【例3】函数的最大值为 . 【答案】2 【解析】因，则在上为减函数， ，所以时，取得最大值2， 故答案为：2. 【变式探究】函数的最小值是（        ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【解析】∵，等号成立当且仅当， ∴函数的最小值是， 故选：C. 【例4】函数的最大值是（       ） A． B．0 C．4 D．2 【答案】C 【解析】函数，当时，函数取得最大值4， 故选：C. 【变式探究】的最大值为（       ） A．9 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】＝＝ ＝， 由于，所以当时， 有最大值， 故选：B. 【例5】若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（       ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 【答案】A 【解析】在区间，上是增函数，最小值是， ，又为偶函数， 在，上单调递减， （5）． 即在区间，上的最小值为， 综上，在，上单调递减，且最小值为， 故选：A． 【变式探究】如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（       ） A．单调递增且最小值为﹣6 B．单调递增且最大值为﹣6 C．单调递减且最小值为﹣6 D．单调递减且最大值为﹣6 【答案】A 【解析】因为为奇函数，则在对称区间上单调性相同， 所以在上为单调递增函数， 根据的图像关于原点对称，且， 所以在上的最小值为， 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 函数的单调性及最值 【考纲要求】 1. 理解函数的单调性，会用定义法判断函数的单调性. 2. 会用函数的单调性求最值. 【考向预测】 1.定义法判断函数的单调性 2.求最值. 1．函数的单调性 (1)增函数与减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 (1)最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 考点一：判断函数的单调性 【例1】下列函数中，在上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【变式探究】下列函数中，是偶函数且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【例2】下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【变式探究】下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【例3】下列函数中，在上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式探究】下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 考点二：由单调性判断大小及求参数范围 【例1】已知偶函数在上为增函数，，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【变式探究】设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（       ）． A． B． C． D． 【例2】函数在区间上具有单调性，则m的取值范围为 . 【变式探究】已知在为单调函数，则a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【例3】函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ． 【变式探究】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例4】已知定义在R上的函数是偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】设是定义在R上的奇函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是 ． 考点三：由单调性求最值 【例1】已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（       ） A． B． C．1 D．-1 【变式探究】、在上的最小值为 ． 【例2】函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式探究】若函数在区间上的最大值为6，则 . 【例3】函数的最大值为 . 【变式探究】函数的最小值是（        ） A． B．0 C．1 D．3 【例4】函数的最大值是（       ） A． B．0 C．4 D．2 【变式探究】的最大值为（       ） A．9 B． C．3 D． 【例5】若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（       ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 【变式探究】如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（       ） A．单调递增且最小值为﹣6 B．单调递增且最大值为﹣6 C．单调递减且最小值为﹣6 D．单调递减且最大值为﹣6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$