专题2.3 绝对值不等式、分式不等式（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

专题2.3 绝对值不等式、分式不等式 【考纲要求】 1. 掌握绝对值不等式的解法，会利用其正确解绝对值不等式. 2. 掌握分式不等式与整式不等式的等价转化，并用其来解分式不等式. 3. 掌握分式不等式和绝对值不等式的综合运用. 【考向预测】 1.绝对值不等式 2.分式不等式 3.分式不等式和绝对值不等式的综合 知识点一：绝对值不等式 1．绝对值的代数意义： 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2．绝对值的几何意义： 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3．两个数的差的绝对值的几何意义： 表示在数轴上，数和数之间的距离． 4．绝对值不等式： 的解集是，如图1； 的解集是，如图2； ； 或； 知识点二：分式不等式 1．分式不等式的解法：进行同解变形，将分式不等式转化为整式不等式来解. （1）； （2）； （3）； （4）； 考点一：绝对值不等式 【例1】设全集，若集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知是实数集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【例3】已知集合，集合或，集合，则（    ） A．集合共有32个子集 B． C． D．或 【变式探究】设，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】已知集合，，若，则实数a的取值范围是______． 解绝对值不等式要掌握去绝对值符号的方法，必要时运用分类讨论的思想，有时也可利用绝对值的几何意义解题．去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、零点分段法(体现分类讨论思想)、平方法、几何法(体现数形结合思想)、构造法(构造函数，利用函数图象求解．这几种方法应用时各有侧重，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法须视具体情况而定． 考点二：分式不等式 【例1】下列不等式中,与不等式同解的是(　　) A.(x-3)(2-x)≥0 B.(x-3)(2-x)>0 C. D. 【变式探究】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例2】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】不等式的解集为（ ） A.{x|x>1} B.{x|x<-2} C.{x|-2<x<1} D.{x|x>1或x<-2} 【例3】不等式的解是___________. 【变式探究】不等式的解集是____________（用区间表示） 【例4】已知集合，集合． (1)求、； (2)已知集合，若，则实数的取值范围． 【变式探究】已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围. 解分式不等式要使一边为零，求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如≥0或≤0的不等式称为非严格分式不等式). 考点三：绝对值不等式与分式不等式综合 【例1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】设，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】已知集合，，则________________.（结果用区间表示） 【变式探究】解不等式组 【例3】解不等式组. 【变式探究】解下列不等式 (1) (2) 【例4】已知集合A={x|}，集合B=，用区间表示集合A与集合B. 【变式探究】已知，设集合，． (1)求集合A和集合B； (2)求，求实数m的取值范围． 各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想． 解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 绝对值不等式、分式不等式 【考纲要求】 1. 掌握绝对值不等式的解法，会利用其正确解绝对值不等式. 2. 掌握分式不等式与整式不等式的等价转化，并用其来解分式不等式. 3. 掌握分式不等式和绝对值不等式的综合运用. 【考向预测】 1.绝对值不等式 2.分式不等式 3.分式不等式和绝对值不等式的综合 知识点一：绝对值不等式 1．绝对值的代数意义： 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2．绝对值的几何意义： 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3．两个数的差的绝对值的几何意义： 表示在数轴上，数和数之间的距离． 4．绝对值不等式： 的解集是，如图1； 的解集是，如图2； ； 或； 知识点二：分式不等式 1．分式不等式的解法：进行同解变形，将分式不等式转化为整式不等式来解. （1）； （2）； （3）； （4）； 考点一：绝对值不等式 【例1】设全集，若集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【解析】因为或或， 所以，，因此，. 故选：B. 【变式探究】已知是实数集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，， 而或， ∴， 故， 故选：D. 【例2】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴，解得，故原不等式的解集为，故选A. 【变式探究】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由绝对值的定义知：， 故选：C． 【例3】已知集合，集合或，集合，则（    ） A．集合共有32个子集 B． C． D．或 【解析】集合或，集合， 对于A：因为集合的元素是无限的，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：或，故D正确； 故选：D. 【变式探究】设，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由得， 由得， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【例4】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原不等式等价于， 即或， 解得或， 所以不等式的解集为， 故选：B. 【变式探究】已知集合，，若，则实数a的取值范围是______． 【解析】由，得， ∴． 由，得. 显然，∴，解得． 故答案为：. 解绝对值不等式要掌握去绝对值符号的方法，必要时运用分类讨论的思想，有时也可利用绝对值的几何意义解题．去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、零点分段法(体现分类讨论思想)、平方法、几何法(体现数形结合思想)、构造法(构造函数，利用函数图象求解．这几种方法应用时各有侧重，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法须视具体情况而定． 考点二：分式不等式 【例1】下列不等式中,与不等式同解的是(　　) A.(x-3)(2-x)≥0 B.(x-3)(2-x)>0 C. D. 【答案】D 【解析】不等式等价为：, 故选：D. 【变式探究】不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解析】由，得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【例2】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，等价于，即， 所以解集为. 故选：D 【变式探究】不等式的解集为（ ） A.{x|x>1} B.{x|x<-2} C.{x|-2<x<1} D.{x|x>1或x<-2} 【答案】C 【解析】原不等式等价于(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1. 故选：C. 【例3】不等式的解是___________. 【解析】由题设，， ∴，可得， 原不等式的解集为. 故答案为：. 【变式探究】不等式的解集是____________（用区间表示） 【答案】 【解析】， 故， 故答案为：. 【例4】已知集合，集合． (1)求、； (2)已知集合，若，则实数的取值范围． 【解析】(1)由得，解得， 则， ， 则， 故或， 或， 故或. (2)因为且， 则， 解得. 【变式探究】已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】(1)当时，， 则或， ， 因此，. (2)因为“”是“”必要不充分条件，于是得且， 所以，，解得. 所以实数的取值范围是. 解分式不等式要使一边为零，求解非严格分式不等式时，要注意分母不等于0，转化为不等式组．(注：形如≥0或≤0的不等式称为非严格分式不等式). 考点三：绝对值不等式与分式不等式综合 【例1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】等价于，解得：； 等价于，解得：， 可以推出，而不能推出， 所以是的必要不充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式探究】设，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解不等式可得，， 又，反之不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【例2】已知集合，，则________________.（结果用区间表示） 【解析】， ， . 故答案为：. 【变式探究】解不等式组 【答案】 【解析】解：原不等式组等价于， 则， 故原不等式的解集为：. 【例3】解不等式组. 【答案】 【解析】由题意，或， 即或， 所以 或， 所以不等式解集为：. 【变式探究】解下列不等式 (1) (2) 【解析】(1)原不等式等价于，即， 所以原不等式的解集是： (2)当时，原不等式化为，即. 当时，原不等式化为，即. 综上，原不等式的解集为： 【例4】已知集合A={x|}，集合B=，用区间表示集合A与集合B. 【答案】 【解析】解：集合A={x|}=-x≤3x-1≤x=； 集合B=. 【变式探究】已知，设集合，． (1)求集合A和集合B； (2)求，求实数m的取值范围． 【解析】(1)，， 或， 或， 或. (2),, 或，且， 或. 各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解，这体现了转化与化归的数学思想． 解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$