专题2.4 因式分解法解一元二次方程（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提优训练（湘教版）

专题2.4 因式分解法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 1 【考点二 用十字相乘法求解一元二次方程】 4 【考点三 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 8 【考点四 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 11 【考点五 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 13 【考点六 换元法解一元二次方程】 17 【过关检测】 21 【典型例题】 【考点一 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 例1．（23-24九年级上·北京·期末）用因式分解法解下列方程： (1) (2)． 【变式训练】 1．（2024九年级上·广西·专题练习）解方程 (1)； (2)． 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程： (1) (2) 3．（23-24九年级上·四川达州·期末）解方程： (1)； (2)． 【考点二 用十字相乘法求解一元二次方程】 例2.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 2.（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【考点三 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 例3. （23-24九年级上·江苏连云港·期中）小敏同学解方程的过程如下： 解：方程两边同除以，得 ， 则． 你认为小敏的解法是否正确？若正确，请对她的解答过程进行评价；若错误，请你写出正确的解答过程． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）数学课上，老师出了一道关于解一元二次方程的题：，小明同学的做法如下： 解：     第一步     第二步     第三步     第四步 (1)上面的运算过程中从第________步开始出现了错误； (2)请写出正确的解题过程． 2．（23-24九年级上·河南南阳·期中）（1）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：．     第一步           第二步 则或．     第三步 解得．          第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步变形的名称是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请直接写出该方程的正确解______． （2）用公式法解方程：． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期中）张林用因式分解法解一元二次方程时，他的做法如下： 解：方程两边分解因式，得，（第一步） 方程变形为，（第二步） 方程两边同时除以，得，（第三步） 系数化为1，得．（第四步） (1)张林的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误； (2)请你用张林的方法完成这个题的解题过程． 【考点四 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 例4. （2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（    ） A． B． C．10 D． 2.（23-24八年级下·安徽安庆·期中）直角三角形两边长为方程的解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（　　） A．或 B． C． D．或 【考点五 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 例5.（23-24九年级上·全国·单元测试）对于实数a，b，定义运算“”：，例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，求的值． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． (1)下列方程是“差方程”的是______；（填序号） ①    ②    ③； (2)若方程是“差方程”，求的值． 2．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于x的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_____________； (2)如果关于x的方程是常数根一元二次方程，则m的值； (3)若关于x的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于y的方程是常数根一元二次方程． 【考点六 换元法解一元二次方程】 例6. （23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东汕头·期末）若实数，满足，求的值． 2．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）先阅读，再解题： 解方程：． 可以将看成一个整体，设，则原方程可化，解得，； 当时，即，解得；当时，即，解得， 所以原方程的解为，． 请利用上述这种方法解方程：． 3．（23-24九年级上·广西来宾·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，设，则原方程可化为 ①，解得． 当时，，∴，∴． 当y＝4时，，，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的． (2)请利用以上知识解方程． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解方程，选择相对合适的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 2．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）方程的根是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（    ） A． B．4 C．25 D．5 4．（23-24九年级上·河南南阳·期末）关于方程的描述，下列说法错误的是（        ） A．它是一元二次方程 B．解方程时，方程两边先同时除以 C．它有两个不相等的实数根 D．用因式分解法解此方程最适宜 5．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则的值是（    ） A．或 B．或7 C．或7 D．或 二、填空题 6．（2024八年级下·浙江·专题练习）一元二次方程的根是 ． 7．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 ． 8．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 9．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知，则的值等于 ． 10．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义：如果关于x 的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 (选填“是”或“不是”)“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，则 三、解答题 11．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 13．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) 14．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程： 解：方程两边除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为1，得第三步 任务： (1)小明的解法从第__________步开始出现错误； (2)此题的正确结果是__________； (3)用因式分解法解方程：． 15．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 因式分解法解一元二次方程 目录 【典型例题】 1 【考点一 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 1 【考点二 用十字相乘法求解一元二次方程】 4 【考点三 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 8 【考点四 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 11 【考点五 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 13 【考点六 换元法解一元二次方程】 17 【过关检测】 21 【典型例题】 【考点一 用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程】 例1．（23-24九年级上·北京·期末）用因式分解法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解法求一元二次方程的解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再根据解一元一次方程的方法即可求解； （2）移项得，再提取公因式，最后根据解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴或， ∴，； （2）解： ， ∴或， ∴，． 【变式训练】 1．（2024九年级上·广西·专题练习）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）移项，利用因式分解法解答即可求解； （）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或 ． 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键， （1）先整理方程，利用提取公因式方法求解即可； （2）先整理方程，利用因式分解法求解即可， 【详解】（1）解： ， ∴， 则， ∴或， 解得：，． （2）， 化简得，， ， 或， 解得，，． 3．（23-24九年级上·四川达州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 【考点二 用十字相乘法求解一元二次方程】 例2.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可； （2）利用十字相乘法解方程即可； （3）利用十字相乘法解方程即可； （4）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3） 或 ∴，； （4） 或 ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 2.（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 【考点三 用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题】 例3. （23-24九年级上·江苏连云港·期中）小敏同学解方程的过程如下： 解：方程两边同除以，得 ， 则． 你认为小敏的解法是否正确？若正确，请对她的解答过程进行评价；若错误，请你写出正确的解答过程． 【答案】小敏的解法是错误的；， 【分析】本题考查解一元二次方程，当时，方程两边不能同时除以，因此解法错误，正确的解法应该是先移项，再利用因式分解法求解．掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：小敏的解法是错误的，正确解答过程如下： ， 移项，得：， 因式分解，得：，即， 或， 解得，． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）数学课上，老师出了一道关于解一元二次方程的题：，小明同学的做法如下： 解：     第一步     第二步     第三步     第四步 (1)上面的运算过程中从第________步开始出现了错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（1）解析过程中不能直接约去，即可得出结果； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：上面的计算过程第一步开始出现错误， 故答案为：一 （2） ， ∴ 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河南南阳·期中）（1）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：．     第一步           第二步 则或．     第三步 解得．          第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步变形的名称是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请直接写出该方程的正确解______． （2）用公式法解方程：． 【答案】（1）任务一：①移项；②二，去括号时，没有变号；任务二：；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】任务一： ①移项； ②二，去括号时，没有变号； 故答案为：移项，二，去括号时没有变号； 任务二： 则或 解得：， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期中）张林用因式分解法解一元二次方程时，他的做法如下： 解：方程两边分解因式，得，（第一步） 方程变形为，（第二步） 方程两边同时除以，得，（第三步） 系数化为1，得．（第四步） (1)张林的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误； (2)请你用张林的方法完成这个题的解题过程． 【答案】(1)三 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键． （1）两边除以时，要考虑即可判断； （2）先确定公因式，再移项，然后提出公因式，即可得出答案． 【详解】（1）解：张林的解法是不正确的，他从第三步开始出现了错误； 故答案为：三； （2）， ， ， ， 即或， 【考点四 用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题】 例4. （2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三边关系判断解得情况，并计算三角形的周长即可． 【详解】解方程得或， 当时，，不能构成三角形； 当时，这个三角形的周长是， 故选D． 【变式训练】 1.（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，于点E，，，且a是一元二次方程的根，则的周长为（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．先解方程求得，再根据勾股定理求得，从而计算出的周长即可． 【详解】解：是一元二次方程的根， ， 即， 解得，或（不合题意，舍去）． ∴，， 在中，， ， 的周长． 故选：A． 2.（23-24八年级下·安徽安庆·期中）直角三角形两边长为方程的解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理，先解方程，勾股定理的逆定理得出第三边为，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： 由 ∴， 解得：或 依题意，这个直角三角形的三边分别为， ∴这个直角三角形的周长为， 故选：C． 【考点五 新定义型用因式分解法解一元二次方程问题】 例5.（23-24九年级上·全国·单元测试）对于实数a，b，定义运算“”：，例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】的值为4或 【分析】本题考查了一元二次方程解法和新定义运用，解题时正确理解新定义并能够运用新定义是解题关键． 先解一元二次方程，再根据新定义进行计算． 【详解】解：∵ ∴ ∴或 ∴或； 当，时，； 当，时，． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． (1)下列方程是“差方程”的是______；（填序号） ①    ②    ③； (2)若方程是“差方程”，求的值． 【答案】(1)② (2)或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键． （1）分别求出方程的解即可判断； （2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解． 【详解】（1）解：①， ， ∴， ，不是整数根，故①不是“差方程”； ②， ， ∴， ∴，故②是“差方程”； ③， ， ， ∴方程无整数根，故③不是“差方程”； 故答案为：②； （2）解：方程因式分解得， 解得：，. ∵方程为“差方程”， ∴， 解得：或. 2．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义进行判断即可； （2）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义得其中一个根是另一个根的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 2是1的2倍， 方程是倍根方程； （2）解： 解得：， ， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了倍根方程的定义，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． (1)已知关于x的方程是常数根一元二次方程，则c的值为_____________； (2)如果关于x的方程是常数根一元二次方程，则m的值； (3)若关于x的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于y的方程是常数根一元二次方程． 【答案】(1)0或 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于c或m的方程． （1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于c的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于m的方程即可； （3）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，得到，因此是关于y的方程的一个根，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 解得或； 故答案为：0或 （2）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或． （3）解：∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根， ∴方程的一个根为，且， 代入方程，得，即， ∵， ∴， ∴把代入方程，得左边右边， ∴是关于y的方程的一个根， ∴关于y的方程是常数根一元二次方程． 【考点六 换元法解一元二次方程】 例6. （23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·广东汕头·期末）若实数，满足，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将看成一个整体，转换成一个关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：令，则， 原方程变为，， 即，， 解得：，； 又， ∴． 2．（22-23九年级上·陕西咸阳·阶段练习）先阅读，再解题： 解方程：． 可以将看成一个整体，设，则原方程可化，解得，； 当时，即，解得；当时，即，解得， 所以原方程的解为，． 请利用上述这种方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法．利用换元法、因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化， 解得，， 当时，即， 解得， 当时，即， 解得， 所以原方程的解为，． 3．（23-24九年级上·广西来宾·期中）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，设，则原方程可化为 ①，解得． 当时，，∴，∴． 当y＝4时，，，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的． (2)请利用以上知识解方程． 【答案】(1)换元 (2)方程的解为， 【分析】本题考查了利用换元法解次数高于2次的整式方程，读懂材料提供的方法是关键． （1）根据材料即可完成解答； （2）利用材料中提供的方法完成即可． 【详解】（1）解：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，体现了换元的数学思想． 故答案为：换元； （2）解：设， 原方程可化为， 则， ∴或， ∴， 当时，， 解得 ， 当时，， 解得 ， ∴原方程的解为，． 【过关检测】 一、单选题 1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解方程，选择相对合适的方法是（　　） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项变形，再提取公因式即可求解． 【详解】解：， ， ，即， ∴最合适的方法是因式分解法， 故选：D． 2．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 解得． 故选C． 3．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若菱形两条对角线和的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（    ） A． B．4 C．25 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质．先求出方程的解，即可得出，，根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：解方程得：，． 即，， 四边形是菱形， ，，， 由勾股定理得：， 故选：A． 4．（23-24九年级上·河南南阳·期末）关于方程的描述，下列说法错误的是（        ） A．它是一元二次方程 B．解方程时，方程两边先同时除以 C．它有两个不相等的实数根 D．用因式分解法解此方程最适宜 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：、方程整理得为， 故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意； 、解方程时，方程两边先同时除以，会漏解， 故该说法错误，符合题意； 、由得： ， 故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意； 、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意； 故选：． 5．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则的值是（    ） A．或 B．或7 C．或7 D．或 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算解方程，理解新运算，根据新定义的运算，分两种情况：①；②，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得：分两种情况： ①， ，即， ， 解得：， 当时，，即，符合题意； 当时，，即，不符合题意； ； ②， ，即， ， 解得：， 当时，，即，不符合题意； 当时，，即，符合题意； ； 综上，的值是或7， 故选：B． 二、填空题 6．（2024八年级下·浙江·专题练习）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【详解】解：移项，得， 提公因式得，， 或， ，． 故答案为：，． 7．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得， ①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去； ②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形， 所以该等腰三角形的周长为， 故答案为：16． 8．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根据题意得出，进而解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有一个解为， ∴ ∴ 即 ∴ 解得： 故答案为：． 9．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知，则的值等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查解一元二次方程，首先把当作一个整体，设，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即的值．此题注意把看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍． 【详解】解：设， ∴， ∴，即， ∴或， ∵的值一定是非负数， ∴． 故答案为：4 10．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义：如果关于x 的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）方程 (选填“是”或“不是”)“倍根方程”． （2）若是“倍根方程”，则 【答案】 是 或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义： （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）先解方程得到，再根据“倍根方程”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∴方程 是 “倍根方程”． 故答案为：是； （2）解方程得， ∵是“倍根方程”， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ； （2）解： 或 ． 12．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴或， ∴； （2）， 整理得：， ∴， 或， ． 13．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法． （1）整理成一般式，再利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得； （2）利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得． 【详解】（1）解：， ， 则，即， ； （2）解：∵． ∴， ∴或 ∴． 14．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程： 解：方程两边除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为1，得第三步 任务： (1)小明的解法从第__________步开始出现错误； (2)此题的正确结果是__________； (3)用因式分解法解方程：． 【答案】(1)一 (2)， (3)， 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）利用因式分解法求解方程即可得出答案； （3）根据因式分解法求解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知小明的解法从第一步开始出现错误； 故答案为一； （2）解： 或 ∴； 故答案为； （3）解： 解得：． 15．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)、 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程； （1）令，原方程化为，进而得出，，解方程，即可求解； （2）令，原方程化为，解得，，进而分别解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：令，原方程化为， 解得，． 当时，，解得． 当时，，解得． 原方程的解为：，， （2）令，原方程化为， 解得， 当时，（无意义舍去） 当时，，解得、． 原方程的解为、． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$