22.1 二次函数的图像和性质-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（人教版）河北专版

22.1.1　二次函数 课时目标 1.从实际情景中让学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,理解二次函数的概念,掌握二次函数的形式. 2.通过回顾函数的相关知识,结合实际问题,观察二次函数关系式特点,从而引出二次函数的概念,本节课要求学生掌握二次函数的判断方法及注意事项. 3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生对数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点 二次函数的概念和解析式. 学习难点 用数学的方法描述变量之间的数量关系. 课时活动设计 知识回顾 多媒体展示:请同学们回顾函数的相关知识,回答下面问题. 1.什么叫函数? 答:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数. 2.目前,我们已经学习了哪些类型的函数? 答:我们已经学过正比例函数和一次函数,其中正比例函数是一次函数的特殊形式. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫. 情境引入 多媒体展示问题:如图,从喷头喷出的水珠,在空中划过一条曲线后落到水池中央,在这条曲线的各个位置上,水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系? 上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系呢?(引导学生思考.注意:这里只提出问题,学生暂时还不能解答.)我们这一节课就来研究这一类问题. 设计意图:从学生熟悉的生活事物中提出问题、设置悬疑,激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见,体验如何用数学来解决生活中的实际问题. 探究新知 多媒体展示:问题1　正方体六个面是全等的正方形,设正方体的棱长为x,表面积为y,则y关于x的关系式为　y=6x2　.①  问题2　n个球队参加比赛,每两个队之间进行一场比赛,比赛的场次数m与球队数n有什么关系? 解:每队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数m=n(n-1),即m=n2-n.② 问题3　某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系怎样表示? 解:这种产品的原产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即两年后的产量y=20(1+x)2,即y=20x2+40x+20.③ 结合一次函数的定义,观察函数①②③你发现它们的结构有什么相同点? 答:等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. 设计意图:通过实际问题,让学生列二次函数关系式,观察关系式的结构,引导学生归纳二次函数的特征,进而引出本节所学内容. 新知讲解 师生活动:先由学生尝试归纳总结二次函数的概念,再由教师用多媒体展示. 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的特殊形式:(1)当b=0时,y=ax2+c. (2)当c=0时,y=ax2+bx. (3)当b=0,c=0时,y=ax2. 请同学们谈谈对二次函数的理解以及需要注意的内容,教师总结: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式. (2)a,b,c为常数,且a不等于0. (3)等式的右边自变量x的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项. (4)一般情况下,自变量x的取值范围是任意实数. 设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察、发现、归纳,结合一次函数的概念概括二次函数的概念,培养学生抽象概括的能力.再通过提问环节,引导学生初步思考、回顾已有的知识,主动参与到本节的学习中来. 典例精讲 例1　下列函数中,哪些是二次函数?哪些不是?请说明理由. (1)y=3(x-1)2+1;(2)y=x+;(3)s=3-2t2;(4)y=; (5)y=(x+3)2-x2;(6)v=10πr2;(7)y=x2+x3+25;(8)y=22+2x. 答:(1)是.(2)不是,右边分母中含有字母,不是整式.(3)是.(4)不是,右边分母中含有字母,不是整式.(5)不是,整理后为一次函数.(6)是.(7)不是,自变量最高次数为3.(8)不是,自变量最高次数为1. 例2　关于x的函数y=(m+1)是二次函数,求m的值. 解:由二次函数的定义,得m2-m=2,m+1≠0. 解得m=2. 因此当m=2时,函数y=(m+1)为二次函数. 注意:二次函数的二次项系数不能为0. 师生活动:学生积极回答,然后师生共同纠错,使学生明确自己的错误与薄弱环节,在后续的解题过程中做到有的放矢,对症下药. 设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性,加深学生对二次函数的理解与掌握. 拓展应用 1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是(　C　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c 　C.s=2t2-2t+1 　　D.y=x2+ 2.一个长方形的周长为30,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为　y=x(15-x)　.  3.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1. (1)若这个函数是一次函数,求m的值; (2)若这个函数是二次函数,求m的值. 解:(1)根据一次函数的定义,得m2-m=0, 解得m=0或m=1,又∵m-1≠0即m≠1, ∴当m=0时,这个函数是一次函数; (2)根据二次函数的定义,得m2-m≠0,解得m1≠0,m2≠1, ∴当m≠0或m≠1时,这个函数是二次函数. 设计意图:应用提升,让学生体会知识的不同考法,将知识灵活应用,提高自身解题能力. 巩固训练 1.下列函数中(x是自变量),是二次函数的为(　C　) A.y=ax2+bx+c B.y2=x2-4x+1 C.y=x2 D.y=22+x+1 2.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是(　C　) A.m,n是常数,且m≠0 B.m,n是常数,且n≠0 C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数 3.一个圆柱的高等于它的底面半径,它的表面积S与半径r之间的关系式为　S=4πr2　.  4.多边形的对角线总条数d与边数n的关系式为　d=n2-n　.  5.当m为何值时,函数y=(m-4)+mx是关于x的二次函数. 解:由二次函数的概念,得 解得m=1. ∴当m=1时,函数y=(m-4)+mx是关于x的二次函数. 设计意图:通过配套练习,加深学生对二次函数的理解. 课堂小结 1.二次函数的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项. 2.二次函数的判别:①含未知数的代数式为整式;②未知数最高次数为2;③二次项系数不为0. 设计意图:通过小结让学生复述本节所学知识,使学生牢固地掌握本节所学内容. 课堂8分钟. 1.教材第29页练习第1,2题. 2.七彩作业. 22.1.1　二次函数 　一般地,形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数. 教学反思     22.1.2　二次函数y=ax2的图象和性质 课时目标 1.通过回顾描点法画函数图象的方法,尝试用描点法画二次函数图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数的性质. 2.掌握二次函数y=ax2的图象和性质,会利用其解决相关问题. 3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识. 学习重点 利用描点法画出y=ax2的图象. 学习难点 理解并掌握二次函数的性质. 课时活动设计 知识回顾 多媒体展示问题:1.函数有哪几种表示方式?图象法有什么特点? 解:图象法,列表法,解析式法,图象法能直观表示函数的变化情况. 2.画一次函数y=3x+2的图象需要哪些步骤? 解:列表-描点-连线. 3.简述描点法作图的一般步骤: 解:(1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值; (2)描点:在平面直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点; (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,用平滑的曲线依次连接所描的点,并向两端无限延伸. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫. 情境引入 多媒体展示图片和问题:(1)你们喜欢打篮球吗? (2)你们知道投篮时,篮球运动的路线是什么曲线吗?怎样计算篮球达到最高点时的高度? 设计意图:以学生热爱的篮球运动导入本节课,既能激起学生的兴趣,更好地调动学生的积极性,又能通过设置悬念的方式激起学生的探索欲望;用类比的学习方法降低本节的难度. 探究新知 师生活动:学生尝试用描点法画y=x2的图象,教师用多媒体展示画图过程. 尝试用描点法画y=x2的图象. 【列表】在y=x2中,自变量x可以取任意实数,列表取几组对应值: x … -2 -1 0 1 2 … y … 4 1 0 1 4 … 　　【描点】根据表中x,y的数值在平面直角坐标系中描出对应的点. 【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=x2的图象. 师生活动:教师通过提问总结y=x2图象的特征. y=x2的图象是一条开口向上的曲线,经过原点,对称轴是y轴,抛物线y=x2与它的对称轴的交点坐标(0,0),观察图象,当二次函数的x=0时,y有最小值为0;当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大. 多媒体展示,作出函数y=x2,y=x2,y=2x2的图象. 通过对比函数y=x2,y=x2,y=2x2的图象,发现: (1)开口都向上(a>0),对称轴都是y轴; (2)当x<0时,y随x增大而减小;当x>0时,y随x增大而增大; (3)顶点是原点(最小值); (4)a的值越大,抛物线开口越小. 多媒体展示,作出函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象. 通过对比函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象,发现: (1)开口都向下(a<0),对称轴都是y轴; (2)当x<0时,y随x增大而增大;当x>0时,y随x增大而减小; (3)顶点是原点(最大值); (4)a的值越大,抛物线开口越大. 设计意图:通过学生操作,教师引导的方式使学生掌握二次函数y=x2的画图方法,初步认识二次函数的图象,体现以“学生为主体,教师为引导者”的课堂理念;通过多媒体展示描点法画二次函数的具体过程,比较函数y=x2,y=x2,y=2x2的图象,函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象,引导学生总结二次函数图象的特征.培养学生的动手操作能力,观察分析能力. 新知讲解 多媒体展示二次函数y=ax2的性质. 一般地,抛物线y=ax2的对称轴是　y轴　,顶点是　(0,0)　.  (1)当a>0时,抛物线的开口向　上　,顶点是抛物线的最　低　点,  当x<0时,y随x的增大而　减小　;  当x>0时,y随x的增大而　增大　;  当x=0时,y有最　小　值为　0　.  (2)当a<0时,抛物线的开口向　下　,顶点是抛物线的最　高　点,  当x<0时,y随x的增大而　增大　;  当x>0时,y随x的增大而　减小　;  当x=0时,y有最　大　值为　0　.  (3)|a|越大,抛物线的开口　越小　.  (4)y=ax2与y=-ax2关于　x　轴对称.  设计意图:归纳二次函数y=ax2的图象特征和性质,帮助学生梳理知识脉络. 典例精讲 典例1　已知点(-1, 2)在二次函数y=ax2的图象上,那么a的值是(　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C. D.- 变式1-1　如果抛物线y=(m-1)x2的开口向上,那么m的取值范围是(　A　) A.m>1 B.m≥1 C.m<1 D.m≤1 变式1-2　已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则(　C　) A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 变式1-3　如果抛物线y=(m-1)x2有最低点,那么m的取值范围为　m>1　.  变式1-4　如图所示,四个二次函数的图象分别对应的是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.则a,b,c,d的大小关系为　a>b>d>c　.  设计意图:通过配套例题,举一反三,进而消化本节所学内容. 拓展应用 1.已知抛物线y=ax2(a>0)过点A(-2,y1),B(1,y2),则下列关系式一定正确的是(　C　) A.y1>0>y2 B.y2>0>y1 C.y1>y2>0 D.y2>y1>0 2.已知二次函数y=x2,当x≥m时,y最小值为0,求实数m的取值范围. 解:在二次函数y=x2中,a=1>0 因此当x=0时,y有最小值. ∵当x≥m时,y最小值=0,∴m≤0. 3.已知y=(m+1)是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式. 解:依题意,有 解②,得m1=-2,m2=1. 由①,得m>-1. 因此m=1. 此时,二次函数解析式为y=2x2. 4.已知二次函数y=2x2. (1)若点(-2,y1)与(3,y2)在此二次函数的图象上,则y1　<　y2;(填“>”“=”或“<”)  (2)如图,此二次函数的图象经过点(0,0),长方形ABCD的顶点A,B在x轴上,C,D恰好在二次函数的图象上,B点的横坐标为2,求图中阴影部分的面积之和. 解:∵二次函数y=2x2的图象经过点C, ∴当x=2时,y=2×22=8. ∴点C坐标为(2,8). ∵抛物线和长方形都是轴对称图形,且y轴为它们的对称轴, ∴OA=OB=2, ∴在长方形ABCD内,左边阴影部分面积等于右边对应空白部分面积, ∴S阴影=2×8=16. 设计意图:本环节主要是对本节所学知识展开变式练习,检查学生上课掌握的情况.对课内所学知识进行巩固,增强学生的应变能力. 课堂小结 设计意图:通过小结回顾本节学习的内容,帮助学生归纳、巩固所学知识. 随堂小测 1.函数y=2x2的图象开口　向上　,对称轴是　y轴　,顶点是　(0,0)　;  在对称轴的左侧,y随x的增大而　减小　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　增大　.  2.函数y=-3x2的图象开口　向下　,对称轴是　y轴　,顶点是　(0,0)　;  在对称轴的左侧,y随x的增大而　增大　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　减小　.  3.如右图,观察函数y=(k-1)x2的图象,则k的取值范围是　k>1　.  设计意图:先让学生独立完成,再通过教师的讲评,让学生熟悉新知,巩固新知,突出本节的重点,对知识点查漏补缺. 课堂8分钟. 1.教材第32页练习. 2.七彩作业. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 抛物线 y=ax2(a>0) y=ax2(a<0) 顶点坐标 (0,0) (0,0) 对称轴 y轴 y轴 位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方(除顶点外) 开口方向 向上 向下 增减性 当x<0时,y随着x的增大而减小; 当x>0时,y随着x的增大而增大 当x<0时,y随着x的增大而增大; 当x>0时,y随着x的增大而减小 最值 当x=0时,最小值为0 当x=0时,最大值为0 教学反思     22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质 课时目标 1.尝试用描点法画二次函数y=ax2+k图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数y=ax2+k的性质. 2.知道抛物线y=ax2与抛物线y=ax2+k之间的区别与联系,掌握抛物线y=ax2平移到y=ax2+k的过程. 3.应用函数y=ax2+k的图象和性质解决问题.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点 掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+k(a≠0)图象之间的区别与联系. 学习难点 理解并掌握抛物线y=ax2+k的性质,并且运用性质解决问题. 课时活动设计 知识回顾 多媒体展示问题 一般地,抛物线y=ax2的对称轴是　y轴　,顶点是　(0,0)　.  (1)当a>0时,抛物线的开口向　上　,顶点是抛物线的最　低　点,  当x<0时,y随x的增大而　减小　;  当x>0时,y随x的增大而　增大　;  当x=0时,y有最　小　值为　0　.  (2)当a<0时,抛物线的开口向　下　,顶点是抛物线的最　高　点,  当x<0时,y随x的增大而　增大　;  当x>0时,y随x的增大而　减小　;  当x=0时,y有最　大　值为　0　.  (3)|a|越大,抛物线的开口　越小　.  (4)y=ax2与y=-ax2关于　x　轴对称.  设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫. 情境引入 多媒体展示图片,思考函数的图象如何画出来. 设计意图:以人们常见的拱桥导入,激起学生的兴趣,调动学生的积极性.让学生亲身体会到现实生活中的数学知识,理解数学起源于生活.通过设置悬念的方式激起学生的探索欲望. 探究新知 师生活动:学生尝试用描点法画出y=2x2+1和y=2x2-1的图象,教师用多媒体展示画图过程. 通过描点法画出y=2x2+1和y=2x2-1的图象.先列表: x … -2 -1 0 1 2 … y=2x2+1 … 9 3 1 3 9 … y=2x2-1 … 7 1 -1 1 7 … 　　根据表中x,y的数值在直角坐标系中描出对应的点. 用平滑曲线顺次连接各点,得到y=2x2+1和y=2x2-1的图象. 师生活动:教师通过提问,总结y=2x2+1和y=2x2-1图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x2+1 向上 y轴 (0,1) y=2x2-1 向上 y轴 (0,-1) 　　学生尝试说明抛物线y=2x2+1和y=2x2-1与抛物线y=2x2之间的关系.教师用多媒体展示结果. 设计意图:让学生合作探究,通过观察,发现,归纳,总结出抛物线y=2x2+1和y=2x2-1与抛物线y=2x2的关系,培养学生抽象概括的能力.再通过提问,让学生积极参与到本节的学习中来. 新知讲解 多媒体展示抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2,教师引导学生进行总结. 抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系? 解:若k>0,抛物线y=ax2向上平移k个单位就得到抛物线y=ax2+k; 若k<0,抛物线y=ax2向下平移|k|个单位就得到抛物线y=ax2+k. 学生尝试总结y=ax2+k的性质,教师用多媒体展示. 　　 设计意图:通过归纳总结,让学生理解知识,使学生明确本节的内容,进而达到教学目标. 典例精讲 例1　已知二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数的值相等,则当x=x1+x2时,其函数值为　c　.  例2　抛物线y=-2x2+3的顶点坐标是　(0,3)　,对称轴是　y轴　,在　对称轴左　侧,y随着x的增大而增大;在　对称轴右　侧,y随着x的增大而减小.  设计意图:通过例题,加深学生对新知识的理解和掌握,让学生感受数学的严谨性. 拓展应用 1.对于二次函数y=(m+1)+3,当x>0时y随x的增大而增大,则m=　2　.  2.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为(0,2),则a=　-2　.  3.抛物线y=ax2+c与x轴交于A,B两点,A(-2,0),与y轴交于点C(0,-4),则三角形ABC的面积是　8　.  4.将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象的函数表达式是　y=x2+2　.  设计意图:体会知识的不同考法.灵活应用所学知识,提高解题能力. 课堂小结 设计意图:帮助学生巩固知识,理清思路,加深对知识的记忆. 随堂小测 1.抛物线y=2x2向下平移4个单位,得到抛物线　y=2x2-4　.  2.填表: 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高(低)点 y=3x2 　向上　  　(0,0)　  　y轴　  　有最低点　  y=3x2+1 　向上　  　(0,1)　  　y轴　  　有最低点　  y=-4x2-5 　向下　  　(0,-5)　  　y轴　  　有最高点　  　　3.已知点(m,n)在y=ax2+a(a不为0)的图象上,点(-m,n)　在　(填“在”或“不在”)y=ax2+a(a不为0)的图象上.  4.若y=x2+(k-2)的顶点是原点,则k　=2　;若顶点位于x轴上方,则k　>2　;若顶点位于x轴下方,则k　<2　.  5.回答下面的问题: (1)抛物线y=-x2+1经过怎样的平移能得到抛物线y=-x2. (2)函数y=-x2+1,当x　　　　时,y随x的增大而减小;当x　　　　时,函数y有最大值,最大值y是　　　　,其图象与y轴的交点坐标是　　　　,与x轴的交点坐标是　　　　　　　　.  (3)试说出抛物线y=x2-3的开口方向,对称轴和顶点坐标. 解:(1)向下平移1个单位. (2)>0　=0　1　(0,1)　(-1,0),(1,0) (3)开口方向向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,-3). 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺. 课堂8分钟. 1.教材第33页练习. 2.七彩作业. 22.1.3　二次函数y=ax2+k的图象和性质 　1.抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系 2.二次函数y=ax2+k的图象和性质 教学反思     第2课时　二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 课时目标 1.尝试用描点法画二次函数y=a(x-h)2图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数y=a(x-h)2的性质. 2.理解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2的区别与联系,掌握抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的平移规律. 3.应用函数y=a(x-h)2的图象和性质解决问题,培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点 掌握二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象之间的区别与联系. 学习难点 理解并掌握二次函数y=a(x-h)2的图象及性质,并运用性质解决问题. 课时活动设计 知识回顾 多媒体展示:问题1　说出二次函数y=ax2+k图象的特征.多媒体展示答案. a,k的符号 a>0,k>0 a>0,k<0 a<0,k>0 a<0,k<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴(直线x=0) y轴(直线x=0) 顶点坐标 (0,k) (0,k) 增减性 当x<0时,y随x增大而减小; 当x>0时,y随x增大而增大 当x<0时,y随x增大而增大; 当x>0时,y随x增大而减小 最值 x=0时,y最小值=k x=0时,y最大值=k 　　问题2　二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有什么关系? 答:二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)的图象平移得到.当k>0时,向上平移|k|个单位长度得到;当k<0时,向下平移|k|个单位长度得到. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节的学习内容作铺垫. 导入新课 多媒体展示问题:函数y=-(x+1)2的图象,能否也可以由函数y=x2平移得到? 设计意图:通过提问直接导入新课,引发学生思考,激发学生学习兴趣,同时也点明了本节的主旨,方便学生抓住重点. 探究新知 学生尝试用描点法画出y=-(x+1)2和y=-(x-1)2的图象,教师通过多媒体展示画图过程. 通过描点法画出y=-(x+1)2和y=-(x-1)2的图象. 【列表】 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=-(x+1)2 … -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … y=-(x-1)2 … -12.5 -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 … 　　【描点】根据表中x,y的数值在直角坐标系中描出对应的点. 【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=-(x+1)2和y=-(x-1)2的图象. 学生尝试总结y=-(x+1)2和y=-(x-1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,教师通过多媒体展示答案. 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=-(x+1)2 向下 x=-1 (-1,0) y=-x2 向下 x=0 (0,0) y=-(x-1)2 向下 x=1 (1,0) 　　学生讨论抛物线y=-(x+1)2和y=-(x-1)2与抛物线y=-x2的关系,教师通过多媒体展示答案. 抛物线y=-(x+1)2和y=-(x-1)2与抛物线y=-x2有什么关系? 设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察,发现,归纳,总结抛物线y=-(x+1)2和y=-(x-1)2与抛物线y=-x2的关系,培养学生的概括能力.再通过提问环节,让学生积极参与到本节的学习中来. 新知讲解 学生讨论后尝试总结抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的关系,教师通过多媒体展示. 抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系? (1)若h>0,可以看做由函数y=ax2的图象向右平移h个单位得到抛物线y=a(x-h)2; (2)若h<0,可以看做由函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2; (3)抛物线y=a(x-h)2相当于把抛物线y=ax2　向右　(h>0)或　向左　(h<0)平移　|h|　个单位.  学生尝试总结y=a(x-h)2的性质,教师通过多媒体展示. 　　 设计意图:归纳总结,梳理所学知识,使学生明确本节的内容,进而达成教学目标. 典例精讲 例1　若抛物线y=3(x+)2上的三个点为A(-3,y1),B(-1,y2),C(0,y3),则y1,y2,y3的大小关系为　　　　　.(用“<”号连接)  解:∵抛物线y=3(x+)2的对称轴为x=-,a=3>0,开口向上,∴当x<-时,即在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;当x>-时,即在对称轴的右侧,y随x的增大而增大. ∵点A的坐标为(-3,y1), ∴点A在抛物线上关于x=-的对称点A'的坐标为(3,y1). 又∵-1<0<,∴y2<y3<y1. 例2　抛物线y=ax2向右平移3个单位长度后经过点(-1,4),求a的值和平移后的函数解析式. 解:二次函数y=ax2的图象向右平移3个单位长度后的二次函数解析式可表示为y=a(x-3)2, 把(-1,4)代入y=a(x-3)2,得4=a(-1-3)2,解得a=. 因此平移后的抛物线解析式为y=(x-3)2. 设计意图:通过例题讲解,加深学生对新知识的理解和掌握,让学生感受数学的严谨性. 拓展应用 1.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,函数值y的最大值为-1,则h的值为(　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6 2.若,,为二次函数y=(x-2)2图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为　y1>y2>y3　.(用“>”号连接)  3.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x-3)2 　向上　  　直线x=3　  　(3,0)　  y=2(x-2)2 　向上　  　直线x=2　  　(2,0)　  y=-(x-1)2 　向下　  　直线x=1　  　(1,0)　  　　 设计意图:本环节是对所学知识点的应用,训练学生的逆向思维和发散思维,提高学生的应变能力. 课堂小结 抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2有什么关系? (1)若h>0,抛物线y=ax2向右平移h个单位长度得到抛物线y=a(x-h)2; (2)若h<0,抛物线y=ax2向左平移|h|个单位长度得到抛物线y=a(x-h)2. 抛物线y=a(x-h)2相当于把抛物线y=ax2　向右　(h>0)或　向左　(h<0)平移|h|个单位.  二次函数y=a(x-h)2(a>0)的图象性质 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 y=a(x-h)2 (a>0) 向上 x=h (h,0) 当x=h时, y最小值=0 当x>h时,y随x的增大面增大; 当x<h时,y随x的增大而减小 　　 设计意图:帮助学生巩固知识,理清思路,加深对知识的记忆. 随堂小测 1.已知二次函数y=-(x+h)2,当x<-3时,y随x的增大而增大,当x>-3时,y随x的增大而减小,当x=0时,y的值是(　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.-9 C.1 D.9 2.将二次函数y=-2x2的图象平移后,可得到二次函数y=-2(x+1)2的图象,平移的方法是(　C　) A.向上平移1个单位长度 B.向下平移1个单位长度 C.向左平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度 3.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度,那么平移后抛物线的解析式是　y=-(x+3)2或y=-(x-3)2　.  4.二次函数y=2图象的对称轴是直线　x=　,顶点是 　.  5.在同一坐标系中,画出函数y=2x2与y=2(x-2)2的图象,指出两个图象之间的关系. 解:如图所示. 函数y=2(x-2)2的图象是由函数y=2x2的图象向右平移2个单位长度得到. 设计意图:先让学生独立完成,再通过教师的讲评,让学生熟悉新知,巩固新知,以突出本节的重点,达到查漏补缺的目的. 课堂8分钟. 1.教材第35页练习. 2.七彩作业. 第2课时　二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质 　　　 抛物线y=a(x-h)2与抛物线y=ax2的关系 抛物线y=a(x-h)2的图象和性质 教学反思     第3课时　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课时目标 1.尝试用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数y=a(x-h)2+k的性质,通过二次函数图象整理平移规律. 2.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系,掌握抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的平移规律. 3.应用函数y=a(x-h)2+k的图象和性质解决问题.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质. 学习难点 抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的平移规律. 课时活动设计 知识回顾 多媒体展示问题:抛物线y=ax2+k是由抛物线y=ax2怎样平移得到的呢?抛物线y=a(x-h)2又是由抛物线y=ax2怎样平移得到的呢? 多媒体展示答案. y=ax2 k>0 上移 y=ax2+k 顶点在y轴上,(0,k) 对称轴为y轴 k<0 下移 y=ax2 h<0 左移 y=a(x-h)2 顶点在x轴上,(h,0) 对称轴为直线x=h h>0 右移 　　 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节的内容作铺垫. 导入新课 多媒体展示问题:函数y=a(x-h)2+k的图象,能否也可以由函数y=ax2的图象平移得到? 设计意图:通过提问直接导入新课,引发学生思考,激发学生学习兴趣,同时也点明了本节的主旨,方便学生抓住重点. 探究新知 教师引导学生尝试用描点法画出y=-(x+1)2-1的图象,然后通过多媒体展示画图过程. 【列表】 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=-(x+1)2-1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 　　【描点】根据表中x,y的数值在直角坐标系中描出对应的点. 【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=-(x+1)2-1图象. 学生通过观察上述抛物线,指出它的开口方向,对称轴和顶点坐标.教师通过多媒体展示答案. 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=-(x+1)2-1 向下 x=-1 (-1,-1) 　　师生活动:教师提问抛物线y=-(x+1)2-1如何由抛物线y=-x2平移得到,学生进行回答. 第一种方法:将抛物线y=-x2向左平移一个单位得到y=-(x+1)2,再向下平移一个单位得到y=-(x+1)2-1. 第二种方法:将抛物线y=-x2向下平移一个单位得到y=-x2-1,再向左平移一个单位得到y=-(x+1)2-1. 练习:抛物线y=-x2如何通过平移得到以下4个抛物线. 多媒体展示 解:将抛物线y=-x2向上平移一个单位,得到y=-x2+1; 将抛物线y=-x2向左平移一个单位,得到y=-(x+1)2; 将抛物线y=-x2向右平移一个单位,得到y=-(x-1)2; 将抛物线y=-x2向下平移一个单位,得到y=-x2-1. 设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察、发现、归纳,总结抛物线y=-(x±1)2和y=-x2±1与抛物线y=-x2的关系,培养学生概括的能力.再通过提问环节,让学生积极参与到本节的学习中来. 新知讲解 师生总结抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的关系:两者可以左右互相平移|h|个单位,上下互相平移|k|个单位得到.多媒体展示过程. 师生总结抛物线的平移步骤,通过多媒体展示答案. 平移步骤: (1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标(h,k); (2)保持抛物线y=ax2的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处.具体平移方法如下: 教师引导学生尝试总结y=a(x-h)2+k的性质,并通过多媒体展示答案. 　　 设计意图:归纳总结,让学生梳理知识,使学生明确本节的内容,进而达成教学目标. 典例精讲 典例1　填表. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 　上　  　x=-3　  　(-3,5)　  y=-3(x-1)2-2 　下　  　x=1　  　(1,-2)　  y=4x2+7 　上　  　x=0(y轴)　  　(0,7)　  y=-5(x+2)2 　下　  　x=-2　  　(-2,0)　  　　典例2　已知y=a(x-h)2+k是由抛物线y=-2x2向上平移3个单位长度,再向右平移1个单位长度得到的,则a=　-2　,h=　1　,k=　3　.  设计意图:通过例题讲解,让学生感受数学知识间的关联性,加深学生对新学知识的理解与掌握. 拓展应用 1.抛物线y=3(x-1)2+1的顶点坐标是(　A　) A.(1,1)　　　　B.(-1,1)　　　　C.(-1,-1)　　　　D.(1,-1) 2.在同一坐标系内,一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是(　C　) 3.将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为　y=-5(x+1)2-1　.  设计意图:让学生体会知识的不同考法.对知识灵活应用,提高解题能力. 课堂小结 (1)本节主要学习了哪些知识?学习了哪些数学思想和方法? (2)本节还有哪些疑惑? 设计意图:通过小结,学生总结本节所学知识,巩固本节所学内容. 随堂小测 1.已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所示,则一次函数y=ax+c的大致图象可能是(　A　) 2.完成下表. 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 　向上　  　直线x=-3　  　(-3,5)　  y=-3(x-1)2-2 　向下　  　直线x=1　  　(1,-2)　  y=4(x-3)2+7 　向上　  　直线x=3　  　(3,7)　  y=-5(2-x)2-6 　向下　  　直线x=2　  　(2,-6)　  　　3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到抛物线为　y=-3(x-2)2+3　.  　　4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象　先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度　得到抛物线y=-3x2.  5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由抛物线y=5x2平移得到,请直接写出该二次函数的解析式. 解:该二次函数的解析式为y=5(x+1)2+3. 设计意图:先让学生独立完成,再通过教师的讲评,让学生熟悉新知,巩固新知,突出本节的重点,达到查漏补缺的目的. 课堂8分钟. 1.教材第37页练习. 2.七彩作业. 22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 　　　 抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2有什么关系 抛物线y=a(x-h)2+k的图象和性质 教学反思     22.1.4　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课时目标 1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质.根据二次函数的图象和性质,进而总结二次函数图象与各项系数之间的关系. 2.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生对学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点 通过图象,观察抛物线y=ax2+bx+c的图象与性质. 学习难点 通过图象,观察抛物线y=ax2+bx+c的图象与性质. 课时活动设计 知识回顾 多媒体展示问题:1.二次函数y=2(x+5)2-3的图象是　抛物线　,它的开口向　上　,顶点坐标是　(-5,-3)　;对称轴是　x=-5　,在对称轴的左侧,y随x的增大而　减小　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　增大　,x=　-5　时,取最　小　值,其最　小　值是　-3　.  2.回顾完全平方公式和配方的步骤. 解:(1)“提”:提出二次项系数; (2)“配”:括号内配成完全平方; (3)“化”:化成顶点式. 设计意图:学生回顾二次函数的顶点式,为本节学习降低难度. 导入新课 对于前面学习的函数,从解析式中可以直接看出其顶点坐标.我们把形如y=a(x-h)2+k的解析式称为顶点式.对于y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0),我们称为一般式.今天我们就来研究一般式的图象和性质. 设计意图:让学生清楚二次函数顶点式的形式和利用二次函数顶点式的便捷性,同时了解一般式,比较两种解析式形式的差别.经过此环节,激发学生参与课堂教学的热情,使学生进入问题情境. 探索新知 师生尝试总结抛物线y=x2是如何通过平移得到抛物线y=x2-6x+21的,并用多媒体展示如何画出抛物线y=x2-6x+21的图象. 通过描点法画出y=x2-6x+21的图象. 【列表】 x … 4 5 6 7 8 … y=x2-6x+21=(x-6)2+3 … 5 3.5 3 3.5 5 … 　　【描点】根据表中x,y的数值在直角坐标系中描出对应的点. 【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=x2-6x+21的图象. 教师总结画y=ax2+bx+c图象的基本步骤: (1)利用配方法或公式法把y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式. (2)确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标. (3)在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图. 学生讨论二次函数y=-2x2-4x+1有什么样的性质.先将y=-2x2-4x+1化为y=a(x-h)2+k的形式得y=-2(x+1)2+3,则开口向下,对称轴x=-1,顶点坐标(-1,3).当x<-1,y随x的增大而增大,当x>-1,y随x的增大而减小,当x=-1,y有最大值为3. 教师通过多媒体展示如何求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标. y=ax2+bx+c =a =a =a =a+　　 二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-, 顶点坐标为 设计意图:将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,利用二次函数各项系数表示二次函数的对称轴和顶点坐标,让学生动笔尝试,合作交流,展示成果,既学习了知识,又激发了学生学习的积极性. 新知讲解 教师引导学生总结二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质,然后利用多媒体进行展示. 　　 设计意图:根据二次函数的图象,引导学生归纳二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质.通过多媒体将抽象的内容形象化,加深学生对其性质的理解与掌握. 典例精讲 例　二次函数y=x2+2x-3的开口方向,顶点坐标分别是(　A　) A.开口向上,顶点坐标为(-1,-4) B.开口向下,顶点坐标为(1,4) C.开口向上,顶点坐标为(1,4) D.开口向下,顶点坐标为(-1,-4) 方法点拨:把函数的一般式化为顶点式,再由顶点式确定开口方向,对称轴,顶点等. 设计意图:通过例题讲解,加深学生对新知识的理解与掌握. 拓展应用 1.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,则(　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.b=2,c=6　　 B.b=-6,c=6 C.b=-8,c=18　　 D.b=-8,c=18 2.已知二次函数y=-x2+2mx,以下点可能成为二次函数顶点的是(　A　). A.(-2,4) B.(1,2) C.(-1,-1) D.(2,-4) 3.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是(　C　) 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有结论:①abc>0;②2a-b<0;③4a-2b+c<0;④(a+c)2<b2.其中正确的个数是(　D　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.当x取何值时,二次函数y=2x2-8x+1有最大值或最小值,最大值或最小值是多少? 解:∵a=2>0,∴二次函数y=2x2-8x+1有最小值. 当x=-==2时,y最小=-7. 设计意图:让学生体会知识的不同考法.灵活运用新知,提高解题能力. 课堂小结 你掌握了哪些知识,学会了哪些方法,还有什么困惑? 　　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2的关系 相同点 形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同) 都是轴对称图形 都有最大(小)值 a>0时,开口向上 在对称轴左侧,y都随x的增大而减小; 在对称轴右侧,y都随x的增大而增大 a<0时,开口向下 在对称轴左侧,y都随x的增大而增大; 在对称轴右侧,y都随x的增大而减小 不同点 顶点不同,分别是和(0,0) 对称轴不同,分别是直线x=-和y轴 最值不同,分别是和0 　　 设计意图:学生总结,自由发表学习心得,培养学生的语言表达能力和归纳概括能力. 巩固训练 1.已知二次函数y=x2-2x+1,那么它的图象大致为(　B　) 2.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,x=-1是对称轴,有下列判断:①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③a-b+c=-9a;④若(-3,y1),是抛物线上两点,则y1>y2.其中正确的是(　B　) A.①②③　　　　B.①③④　　　　C.①②④　　　　D.②③④ 3.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 　时,y有最大值　-　.  4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当x=-1和x=3时,函数值相等; ③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0. 其中正确的是　②　.  5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标. (1)y=2x2-12x+13; (2)y=-5x2+80x-319; (3)y=2; (4)y=. 解:(1)直线x=3,(3,-5). (2)直线x=8,(8,1). (3)直线x=1.25,. (4)直线x=0.5,. 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺. 课堂8分钟. 1.教材第39页练习. 2.七彩作业. 教学反思     *第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 课时目标 1.会用待定系数法求二次函数的解析式,能灵活的根据条件选择解析式形式. 2.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点 用待定系数法求二次函数解析式. 学习难点 根据条件选择解析式形式,体会二次函数不同形式解析式之间的转化. 课时活动设计 知识回顾 多媒体展示. 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 y=ax2(a≠0) a>0,开口向上; a<0,开口向下 直线 x=0(y轴) (0,0) a>0　最小值0 a<0　最大值0 y=ax2+k (a≠0) 直线 x=0(y轴) (0,k) a>0　最小值k a<0　最大值k y=a(x-h)2 (a≠0) 直线x=h (h,0) a>0　最小值0 a<0　最大值0 y=a(x-h)2+k (a≠0) 直线x=h (h,k) a>0　最小值k a<0　最大值k y=ax2+bx+c (a≠0) 直线x=- -, a>0　最小值 a<0　最大值 　　 设计意图:学生回顾之前所学知识,巩固旧知识,引出新知识. 导入新课 我们用待定系数法可以确定一次函数的解析式,那么对于二次函数,可以用待定系数法吗? 设计意图:通过提问直接导入新课,引发学生思考,激发学生学习兴趣,同时也点明了本节的主旨,方便学生抓住重点. 探究新知 教师引导学生回顾求一次函数解析式的步骤. (1)设解析式. (2)将坐标代入解析式,解二元一次方程组,得出系数. (3)将系数反代回所设的解析式中,写出解析式. 多媒体展示问题:已知一次函数经过点(1,3)和(-2,-12),求这个一次函数的解析式. 师生活动:学生演算,教师通过多媒体展示解题过程. 解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点(1,3)和(-2,-12), ∴解得 ∴一次函数的解析式为y=5x-2. 教师通过用待定系数法求一次函数解析式,引导学生发现用待定系数法求二次函数解析式的关键是确定系数a,b,c的值. 教师:我们知道,由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数,即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数,由几个点的坐标可以确定二次函数?下面我们尝试求一下二次函数的解析式. 多媒体展示问题 已知一个二次函数的图象过点(-1,10),(1,4),求这个函数的解析式. 教师引导学生回答 解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 由已知,得 师生活动:尝试求一下二次函数的解析式,教师用多媒体展示. 已知一个二次函数的图象过点(-1,10),(1,4),(2,7),求这个函数的解析式. 解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 由已知,得 该如何解这个方程组呢?教师引导学生独立解答,再用多媒体展示解题过程. 由已知,得 由②-①,可得2b=-6⇨b=-3. 由③-①,可得3a+3b=-3⇨a+b=-1⇨a=2. 将a=2,b=-3代入①,可得2+3+c=10⇨c=5. ∴解方程组得a=2,b=-3,c=5. ∴二次函数的解析式为y=2x2-3x+5. 总结:知道三个点的坐标可以将解析式设为一般式,然后将坐标代入一般式组成三元一次方程组从而求出系数,得到函数解析式. 设计意图:运用类比的思想方法,让学生经历合作探究过程,通过观察,发现,归纳,理解本节学习的知识. 典例精讲 例1　已知二次函数的图象经过原点,且当x=1时,y有最小值-1,求这个二次函数的解析式. 解:∵由已知得二次函数顶点坐标为(1,-1), ∴设二次函数解析式为y=a(x-1)2-1. ∵二次函数的图象经过原点(0,0) ∴0=a-1,解得a=1, ∴二次函数解析式为y=(x-1)2-1=x2-2x. 例2　已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是x1=-3,x2=1,且与y轴交点为(0,-3),求这个二次函数解析式. 解:(方法1)设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c. ∵图象经过点(-3,0),(1,0),(0,-3). ∴ 解得a=1,b=2,c=-3. ∴这个二次函数解析式为y=x2+2x-3. (方法2)∵图象与x轴交于点(1,0),(-3,0), ∴设函数解析式为y=a(x-1)(x+3). ∵图象过点(0,-3), ∴-3=a(0-1)(0+3),解得a=1. ∴这个二次函数解析式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3. 教师:两种方法的结果一样吗?两种方法哪一个更简便? 师生活动,学生通过计算对比,发现方法1更简便,得出用交点式求函数表达式的一般方法. 设计意图:通过例题讲解,拓展顶点式和交点式,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性. 巩固训练 1.已知一个二次函数的图象过A(-1,0),B(4,5),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式. 解:设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c. ∵图象经过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3). ∴ 解得a=1,b=-2,c=-3. ∴这个二次函数解析式为y=x2-2x-3. 2.已知抛物线顶点为(1,-4),且过点(2,-3),求其解析式. 解:∵抛物线顶点为(1,-4), ∴设其解析式为y=a(x-1)2-4. 又∵抛物线过点(2,-3), 则-3=a(2-1)2-4,则a=1. ∴其解析式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3. 3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0),与y轴交于点C(0,3),求这个二次函数的解析式. 解:∵图象与x轴交于A(1,0),B(3,0), ∴设函数解析式为y=a(x-1)(x-3). ∵图象过点C(0,3), ∴3=a(0-1)(0-3),解得a=1. ∴这个二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3. 设计意图:通过对应练习题,巩固新学知识,根据学生做题的熟练程度检查学生的掌握情况. 课堂小结 设计意图:通过小结让学生进一步熟悉求二次函数解析式的方法,让学生通过回顾总结,巩固新知. 随堂小测 1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为(　D　) A.y=x2+2　　B.y=(x-2)2+2　　C.y=(x-2)2-2　　D.y=(x+2)2-2 2.已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当x=3时有最大值4,则其解析式为　y=-7x2+42x-59　.  3.如图所示,已知抛物线的对称轴是直线x=3,它与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A,C的坐标分别是(8,0),(0,4),求这个抛物线的解析式. 解:由抛物线过A(8,0)及对称轴为直线x=3,知抛物线一定过点(-2,0). 设这个抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-8), ∵抛物线过点(0,4), ∴4=-16a,a=-. ∴这个抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-8). ∴抛物线解析式为y=-x2+x+4. 4.已知抛物线顶点(1,16),且抛物线与x轴的两交点间的距离为8,求其解析式. 解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0),(-3,0), 设解析式为y=a(x-5)(x+3), ∵抛物线过点(1,16), ∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1. ∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15. 设计意图:进一步对本节所学的知识点进行练习,当堂训练,当堂检测,查漏补缺. 课堂8分钟. 1.教材第40页练习第1,2题. 2.七彩作业. ※第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式 　(1)一般式. (2)顶点式. (3)两根式. 教学反思     学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单元学习主题 本单元是“数与代数”领域“函数”主题中的“二次函数”. 二、单元学习内容分析 1.课标分析 《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”“函数”三个主题,二次函数是初中阶段内容最丰富的函数,也是今后进一步学习的重要基础.二次函数的学习要将数形结合的思想贯穿始终,从画函数图象开始,研究最简单的二次函数y=x2,通过观察函数图象得出函数性质;然后通过特殊二次y=x2,y=2x2,y=x2的图象归纳得到二次函数y=ax2(a>0)的性质;最后通过研究不同类型的二次函数y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k(a≠0)的相互关系,归纳出一般二次函数的性质.对二次函数的研究展示了从解析式到图象,从图象到性质的研究过程,突显了数形结合思想;同时也体现了从特殊到一般、从简单到复杂、类比、归纳等思想.但还要清楚,函数的性质是函数表达式反映出的特征,因此可以适当引导学生借助表达式阐释性质,进而发展学生的代数推理能力.用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,能更清楚地体现二次函数中“数”与“形”的相互联系和相互转换,也能让学生更清楚地理解和求解函数的最大值或最小值.待定系数法和配方法是研究二次函数的两种重要的方法,既有基本技能的特征,又有基本方法的特征,充分体现了“四基”的理念和要求,对提升数学能力有着重要的作用,应充分重视. 2. 本单元教学内容分析 人教版教材九年级上册第二十二章“二次函数”,本章包含三个小节:22.1二次函数的图象和性质;22.2二次函数与一元二次方程;22.3实际问题与二次函数. 函数主题通过:函数的概念——一次函数——二次函数——反比例函数.在第三、第四学段中均设定了与函数关联的内容.第三学段通过一些具体实例,让学生感受变量的变化过程,以及变化过程中变量之间的对应关系,探索其中的变化规律及基本性质,尝试根据变量的对应关系作出预测.获得与函数相关的感性认识.第四学段要求学生在感性认识的基础上,归纳概括出函数的定义,并研究具体的函数及其性质,了解研究函数的基本方法,借助函数的知识和方法解决问题,在操作层面认识和理解函数.了解函数与其他相关数学内容之间的联系,如函数与方程、不等式的联系.函数与方程、不等式有着密切的联系,方程、不等式是函数的特殊情形.到高中、大学还将继续学习函数. 三、单元学情分析 本单元内容是人教版数学九年级上册第22章二次函数,从知识技能基础来看,学生在前面已学习了变量、函数、一次函数等概念,对一次函数也有所理解.这些基础对于学习二次函数都是很好的铺垫性知识;从学生活动经验基础来看,学生已经具有解决一些实际问题的能力,感受到了函数反映的是变化的过程,对函数的表达方式特点也有所了解.获得了探究新的函数知识的基础方法,同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程,已经具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作交流能力.学生有较强的好奇心,在学习上有较强的求知欲望,但注意力不容易集中;有较强的动手能力,愿意主动去设计方案,但往往还停留在“想当然”的水平;在数学问题的提出和解决上有一定的方法,但不够深入和全面,需要教师的引导和帮助;学生具有一定的探究精神和合作意识,能在亲身的经历体验中获取一定的数学新知识,但对于数学思想的感悟能力还不够强,对于数学的说理还不规范,几何演绎推理能力也有待加强. 四、单元学习目标 1.通过对实际问题情境剖析,让学生经历探索、分析和建立二次函数的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,理解二次函数的概念,掌握二次函数的概念,培养和发展学生的抽象能力. 2.运用类比的方法,学会用描点法画出二次函数图象,根据数形结合,从图象上认识二次函数性质,形成空间观念和几何直观. 3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向与对称轴(公式不要求记忆与推导),并能解决简单实际问题,培养学生的应用意识和模型观念. 4.利用数形结合,根据二次函数图象求一元二次方程的近似解,培养学生的创新意识. 5.引导学生养成全面看待问题、分类讨论问题的学习习惯;通过类比,能对旧知识进行有效迁移,培养良好的数学素养. 五、单元学习内容及学习方法概览 六、单元评价与作业建议 本单元课后作业整体设计体现以下原则: 层次性原则:教师注意将作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识. 自主性原则:学生可以根据自己的学习能力,自主选择每课时留下拓展性练习或自主编写的易错题. 生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值. 根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展课后性作业. 学科网（北京）股份有限公司 $$