21.3.3 用一元二次方程解决几何图形问题 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（人教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 人教版 2 第二十一章　一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 一般图形问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1. 如图将边长为40 cm的正方形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的 正方形，剩下部分折成一个无盖的盒子，若这个无盖盒子的底面积为 900 cm2，则盒子的容积是(　C　) A. 3 600 cm3 B. 4 000 cm3 C. 4 500 cm3 D. 9 000 cm3 C 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】设剪去的正方形边长为 x cm，根据题意，得(40－2 x )2＝900，解得 x1＝5， x2＝35(不符合题意，舍去)，则盒子的容积为900×5＝4500(cm3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 2. 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900 m2 的矩形绿地，并且长比宽多10 m.设绿地的宽为 x m，则长为 ⁠ m.根据题意，可列方程为 ⁠. 3. 五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积 是135 cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2. (10＋ x )　 (10＋ x ) x ＝900　 9　 第3题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】观察题图可得，小长方形的长是宽的3倍，一个小长方形的面 积为135÷5＝27(cm2). 设小长方形的宽为 x cm，则长为3 x cm.则方程为3 x · x ＝27，解得 x1＝3， x2＝－3(不合题意，舍去)，所以小正方形的面积为9 cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 4. 如图，要围一个矩形菜园 ABCD ，其中一边 AD 是墙，且 AD 的长不 能超过26 m，其余的三边 AB ， BC ， CD 用篱笆，且这三边的和为40 m.有下列结论：① AB 的长可以为9 m；② AB 的长有两个不同的值满足 菜园 ABCD 面积为168 m2；③菜园 ABCD 面积的最大值为200 m2.其中， 正确结论的序号是 ⁠. 第4题图 ①③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 边框与甬路问题 5. 如图，在长为12 m，宽为8 m的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中 阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为77 m2，则道路的 宽为(　A　) A. 1 m B. 1.5 m C. 2 m D. 2.5 m 【解析】设道路的宽为 x cm，根据题意，得(12－ x )(8－ x )＝77，解得 x1＝1， x2＝19(不符合题意，舍去). A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 6. 如图所示，有一矩形土地，该土地长为 x 米，宽为120米，建筑商将 它分成了甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形.现计划将甲建设成住宅 区，将乙建设成商场，将丙开辟为公园.若已知丙地的面积为3 200平方 米，则矩形土地长为 米. 160或200　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】根据题意，得丙的长为( x －120)米，宽为120－( x －120)＝(240 － x )米；则可列方程为( x －120)(240－ x )＝3 200，解得 x1＝160， x2＝ 200. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 动点问题 7. 如图，在长方形 ABCD 中， AB ＝5 cm， BC ＝6 cm，点 P 从点 A 开始 沿边 AB 以1 cm/s的速度向终点 B 移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿 边 BC 以2 cm/s的速度向终点 C 移动.如果 P ， Q 分别从 A ， B 同时出 发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动.设运动时间为 t s . (1)填空： BQ ＝ cm， PB ＝ cm(用含 t 的代数式表示)； 2 t 　 (5－ t )　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 (2)当 t 为何值时， PQ 的长度等于5 cm？ 解：根据题意，得(2 t )2＋(5－ t )2＝52， 解得 t1＝0， t2＝2. 即当 t ＝0或2时， PQ 的长度等于5 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 8. 如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形 状、大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5 750平方米，两块垂钓 鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为(　B　) B A. 4.5米 B. 5米 C. 5.5米 D. 6米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 9. 某中学有一块长30米，宽20米的矩形空地，计划在这块空地上划出四 分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度，设 花带(黑色部分)的宽度为 x 米，则可以列出的方程为 ⁠ ⁠. (30－2 x )(20－ x ) ＝ ×20×30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 10. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝6 cm， BC ＝8 cm，点 P 从点 A 出发沿边 AC 以1 cm/s的速度向点 C 移动，同时，点 Q 从点 C 出发沿边 CB 以2 cm/s的速度向点 B 移动.当点 Q 到达点 B 时，点 P 同时停止运动. (1)当运动多少秒时，△ PCQ 的面积为8 cm2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 解：(1)设当运动 x s时，△ PCQ 的面积为8 cm2，根据题意， 得 (6－ x )·2 x ＝8， 整理，得 x2－6 x ＋8＝0. 解得 x1＝2， x2＝4. ∵0≤2 x ≤8，∴0≤ x ≤4. ∴ x1＝2， x2＝4均符合题意. 答：当运动2 s或4 s时，△ PCQ 的面积为8 cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 (2)△ PCQ 的面积能否等于△ ABC 的面积的一半？若能，求出运动的时 间，若不能，请说明理由. 解：(2)不能. 理由：设运动 t s时，△ PCQ 的面积等于△ ABC 的面积的 一半， 根据题意，得 (6－ t )·2 t ＝ × ×6×8. 整理，得 t2－6 t ＋12＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 ∵Δ＝ b2－4 ac ＝(－6)2－4×1×12＝36－48＝－12＜0， ∴方程无解. ∴△ PCQ 的面积不能等于△ ABC 面积的一半. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 11. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房 墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙 的一边留一个1 m宽的门，当所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪 舍面积为80 m2？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m则平行于墙的一边的长为 (26－2 x )m， 根据题意，得 x (26－2 x )＝80. 化简，得 x2－13 x ＋40＝0. 解得 x1＝5， x2＝8. 当 x ＝5时，26－2 x ＝16＞12(舍去)； 当 x ＝8时，26－2 x ＝10＜12，符合题意. 答：当所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m时，猪舍面积为80 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 12. 如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺 设矩形地板，请解答下列问题： (1)在第 n 个图形中每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 ⁠ 块瓷砖(用含 n 的代数式表示)； ( n ＋3)　 ( n ＋2)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 (2)第 n 个图形中共有 块瓷砖(用含 n 的代数式表示)； (3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了1 806块瓷砖，求此 时 n 的值. ( n2＋5 n ＋6)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 解：由(2)得，第 n 个图形中共有( n2＋5 n ＋6)块瓷砖，根据题意，得 n2 ＋5 n ＋6＝1 806. 整理，得 n2＋5 n －1 800＝0. ∴( n －40)( n ＋45)＝0. ∴ n －40＝0或 n ＋45＝0. ∴ n1＝40， n2＝－45(不符合题意，舍去). ∴此时 n 的值是40. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题 素养达标 能力突破 基础通关 $$