25.6 相似三角形的应用-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

第1课时　利用相似三角形测内径和高度 课时目标 1.能够利用相似三角形的知识,求出不能直接测量的物体的高度,培养学生的建模能力,增强学生的核心素养. 2.通过利用相似的性质解决实际问题,培养学生的几何直观与推理能力,发展学生的应用意识. 3.通过小组合作解决实际问题,培养学生的动手操作能力和交流与合作的意识,积累活动经验,培养应用数学的意识. 学习重点 利用相似三角形的性质求内径和高度. 学习难点 将实际问题抽象成数学问题. 课时活动设计 情境引入 思考:大家请看这个保温杯,我们想知道这个保温杯能盛多少毫升的水?需要测量哪些数据?怎样测量? 设计意图:引导计算保温杯的容积,同学们能够发现需要保温杯内径的长度,但是这个内径的测量有难度,这样发现问题,并提出问题.创设现实生活中的真实情景,引发学生思考,提高学生的学习兴趣,培养学生的应用意识. 探究利用相似三角形的性质测内径 学生活动一:利用所学知识,设计测量空心圆柱形机械零件的内径的方案,并说明方案的可行性. 学生活动二:小组合作,完成例题. 例　如图,有些空心圆柱形机械零件的内径是不能测量的,往往需要使用交叉钳进行测量.图中所示为一个零件的剖面图,它的外径为a,内径AB未知.现用交叉卡钳去测量,若==,CD=b,则这个零件的内径为多少,零件的壁厚x又是多少?(用含a,b,m的代数式表示) 小组合作探究,教师巡视,适当给予提示,小组展评. 解:∵==, ∠COD=∠AOB, ∴△COD∽△AOB. ∴=. 又∵CD=b, ∴AB=mb,x=. 即这个零件的内径为mb,零件的壁厚为. 设计意图:让学生动脑、动手,先设计方案,然后实施方案,真正让学生动起来,在活动的过程中培养学生的建模能力,在合作的过程中,培养学生的合作交流意识,积累数学活动经验. 探究利用相似三角形的性质测旗杆的高度 在学校操场上,高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道学校操场上旗杆的高度,那么怎么测量和计算旗杆的高呢? 一起探索:请设计一个测量旗杆高度的方案,说明理由,并与大家交流小组合作探究,教师巡视,时当给与提示. 图1　　图2　　图3 1.图1是利用影子测量旗杆的高度. 问题:图1中的两个三角形相似吗?为什么?哪些数据是可测的?怎样利用可测数据计算旗杆的高度? 2.图2是利用标杆测量旗杆的高度 问题:如何利用标杆测量旗杆的高度,哪些数据是可测的?怎样构造相似三角形?如何利用相似计算旗杆的高度? 3.图3是利用平面镜测量旗杆的高度 问题:图3中的两个三角形相似吗?为什么?哪些数据是可测的?怎样利用可测数据计算旗杆的高度? 设计意图:引导学生用影子、标杆和平面镜测旗杆的高度,让学生体会数学在实际生活中的妙用,培养学生学习数学的兴趣及应用意识. 探究相似在物理“小孔成像”中的应用. 如图是“小孔成像”实验示意图,请用相似解释“小孔成像”的原理. 设计意图:引导学生用数学知识去解释物理知识,实现跨学科融合,让学生将所学知识灵活运用,增强学生的核心素养. 课堂小结 本节课我们研究了相似三角形在实际生活中的应用,请同学们带着以下问题进行总结. (1)本节课你学到了哪些知识?目前为止利用相似三角形的知识可以解决哪些问题? (2)本节课学习经历了怎样的过程?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验? 设计意图:通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考. 课堂8分钟. 1.教材第90页习题第1,2题. 2.七彩作业. 第1课时　利用相似三角形测内径和高度 　　　一、利用相似三角形的性质测内径. 　　　二、利用相似三角形的性质测高度. 教学反思   第2课时　利用相似三角形测距离 课时目标 1.能够利用相似三角形的知识,求出不能直接测量的物体的宽度和距离,培养学生的建模能力,增强学生的核心素养. 2.通过利用相似的性质解决实际问题,培养学生的几何直观与推理能力,发展学生的应用意识. 3.通过小组合作解决实际问题,培养学生的动手操作能力和交流与合作的意识,积累活动经验,增强核心素养. 学习重点 利用相似三角形的性质求不能直接测量的距离. 学习难点 将实际问题抽象成数学问题. 课时活动设计 情境引入 如图,在一条小河的北岸A处有一古塔,南岸C处有一观景台.为求古塔和观景台之间的距离,请你设计测量方案,并说明方案的可行性. 小组活动,讨论方案,然后展评. 归纳总结:求不能直接测量的两点(或建筑物)之间的距离,常构造相似三角形求解(如图). 设计意图:引导学生想办法求河两岸两点之间的距离,先让学生设计方案(有难度,教师巡视给予提示),然后根据方案说明其可行性,最后总结方法.通过让学生经历将实际问题数学化的过程培养学生的建模能力,同时让学生经历发现问题,并提出问题、分析问题、解决问题的全过程,培养学生的解题能力. 探究利用相似三角形的性质求线段长度问题 如图,△ABC为一块铁板余料.已知BC=120 mm,高AD=80 mm.要用这块余料裁出一个正方形材料,且使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形的边长应为多少毫米? 思考: (1)图中△AHG与△ABC是否相似?为什么? (2)相似三角形的对应高之间有什么性质? (3)图中△AHG与△ABC的高之间与正方形的边长有什么关系? (4)在求解几何计算题时,我们常用什么数学思想方法? (5)你能通过设未知数,利用方程思想求解图中正方形的边长吗? 小组合作探究,教师巡视,适当给予提示,小组展评. 解:设裁出的正方形为EFGH,△ABC的高AD与HG交于点K,则AK为△AHG的高. ∵HG∥EF, ∴∠AHG=∠B. 又∵∠BAC为公共角,∴△AHG∽△ABC. ∴=. ∵四边形EFGH为正方形,∴AK=AD-HG. ∴=. 设HG=x mm,则=.解得x=48. 答:裁出的正方形的边长为48 mm. 变式思考:若上题条件不变,将正方形改为长方形,且HG=2HE,你能求这个长方形的边长吗?试一试. 设计意图:通过问题串的引领,帮助学生找到解题方法,并总结几何计算的常用数学思想方法:方程思想,让学生在学到知识的同时学到数学思想方法.通过问题的变式,将此类题变式提升,培养学生类比解题的能力. 课堂小结 本节课我们研究了相似三角形在实际生活中的应用,请同学们带着以下问题进行总结: (1)本节课你学到了哪些知识?目前为止利用相似三角形的知识可以解决哪些问题? (2)本节课学习经历了怎样的过程?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验? 设计意图:通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考. 课堂8分钟. 1.教材第92页习题第1,2题. 2.七彩作业. 第2课时　利用相似三角形测距离 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$