25.4 相似三角形的判定-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

第1课时　用角角关系判定三角形相似 课时目标 1.经历探索相似三角形判定的过程,培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力,发展学生科学的探究精神,养成严谨的科学态度. 2.经历探索相似三角形判定的过程,了解相似三角形的判定定理及定理的证明,发展学生的几何直观和推理能力. 3.通过相似三角形判定的应用,培养学生的推理能力,增强学生的核心素养. 学习重点 知道两个角对应相等可以判定两个三角形相似并能进行应用. 学习难点 能够找到证明判定定理的方法,能有条理的表达推理过程. 课时活动设计 类比全等探究相似的研究路径 思考:(1)什么是相似三角形?目前判定相似的方法有什么? (2)全等三角形有哪些判定方法?经历了怎样的研究历程? (3)类比全等的判定,你认为相似的判定至少需要几个条件? 猜想:(1)一个角相等能判定两个三角形相似吗? (2)两个角相等能判定两个三角形相似吗? (3)三个角相等能判定两个三角形相似吗? 设计意图:引导学生类比全等联想相似的研究路径,体会类比的数学思想方法,同时培养学生科学的思考问题的能力. 设计方案,验证猜想 学生活动一:做一做:请任意作一个含30°角的三角形,然后组内对比一下你们做的三角形相似吗?你能得到什么结论? 结论:满足一个角相等的两个三角形不相似. 学生活动二:思考两个角相等的两个三角形相似吗?你能举例说明吗? 请大家拿出你的三角板与老师的三角板对比,一定相似吗?说明理由. (1)　　　(2) 思考:(1)通过上面图形的相似,说一说上述的相似满足什么条件? (2)一般的三角形满足两组对应角相等,那么它们相似吗? (3)请设计方案验证你的猜想. 小组活动,合作探究. 设计意图:用我们常用的三角板引发学生思考,再由特殊联想到一般的三角形相似,进而引导学生得到猜想:两个角对应相等的两个三角形相似.培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力. 探究相似三角形的判定定理. 做一做:如图,已知∠α,∠β. (1)分别以∠α,∠β为两个内角,任意作两个三角形. (2)量出这两个三角形各对应边的长,并计算出相应的比,这两个三角形相似吗? 如何证明这两个三角形相似?目前能够证明相似的方法有什么?对你有什么启示? 小组活动,证明两个角对应相等的两个三角形相似. 已知:如图,在△ABC与△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B', 求证:△ABC∽△A'B'C'. 分析:我们可以在△ABC内作一个△ADE≌△A'B'C',然后证明△ADE∽△ABC;我们还可以在△ABC内作一个△ADE∽△ABC,然后证明△A'B'C'≌△ADE. 证明:在△ABC的边AB,AC或它的延长线上,分别截取AD=A'B',AE=A'C',连接DE. ∵∠A=∠A', ∴△ADE≌△A'B'C'. ∴∠ADE=∠B',∠AED=∠C', DE=B'C'. ∵∠B=∠B', ∴∠ADE=∠B. ∴DE∥BC. ∴△ADE∽△ABC. ∴==. ∴==. 又∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C', ∴△ABC∽△A'B'C. 设计意图:引导学生验证并证明两个角对应相等的两个三角形相似,让学生经历发现、提出、分析、解决问题的完整的过程,培养学生科学思考问题的能力,增强学生的核心素养. 用三种语言描述相似三角形的判定定理 你能用三种语言描述相似三角形的判定定理吗? 相似三角形的判定定理:两角对应相等的两个三角形相似. 符号语言:∵∠A=∠D,∠B=∠E, ∴△ABC∽△DEF. 设计意图:引导学生用三种语言表述定理,培养学生文字语言、图形语言和符号语言互相转化的能力,通过结合图形让学生谈谈对判定方法的理解,加深对定理的理解与掌握. 典例精讲 已知:如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,DF∥AC. 求证:△ADE∽△DBF. 分析:由DE∥BC可得同位角相等,等量代换即可求证. 学生独立完成后在组内交流. 证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B. 又∵DF∥AC,∴∠A=∠BDF. ∴△ADE∽△DBF. 设计意图:本环节力求提高学生运用知识的能力和推理能力,加深学生对定理的理解,提高学生综合运用知识的能力. 课堂小结 本节课我们研究了相似三角形判定定理,请同学们带着以下问题进行总结: (1)本节课你学到了哪些知识?目前为止相似三角形的判定方法你学了几个? (2)本节课学习经历了怎样的过程?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验? (3)根据全等三角形的判定,你认为相似三角形判定还能从哪些方面进行研究? 设计意图:通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考.通过反思全等的研究历程,让学生找到相似的判定的方法与途径,体会类比的思想方法,帮助学生将所学的知识结构化. 课堂8分钟. 1.教材第75页A组第2题,B组第1,2题. 2.七彩作业. 第1课时　用角角关系判定三角形相似 　　　判定定理: 　　　图形语言: 　　　符号语言: 教学反思   第2课时　用边角关系判定三角形相似 课时目标 1.经历探索相似三角形判定的过程,培养学生的几何直观与推理能力,发展学生科学的探究精神,养成严谨的科学态度. 2.通过相似三角形判定的应用,培养学生的推理能力,增强学生的核心素养. 学习重点 会用两条边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似并能进行应用. 学习难点 能够找到证明判定定理的方法,能有条理的表达推理过程. 课时活动设计 回顾引入 思考:(1)目前判定相似的方法有哪些? (2)全等三角形有哪些判定方法?类比全等的判定猜想相似的判定还会有哪些? 设计意图:引导学生复习相似三角形的判定方法及全等的判定方法,一方面帮助学生将所学知识进行全面系统的整合,使所学知识结构化,另一方面让学生体会类比的数学思想方法,同时培养学生科学的思考问题的能力. 类比全等,进行猜想 学生活动一:根据上节课所学的相似三角形的判定定理,猜想除满足两个条件外还有其他的判定相似的方法吗?设计方案,并说明猜想的正确性. 学生活动二:请类比全等的判定定理,对相似的判定进行猜想. 全等的判定方法 相似的判定 AAS 两角对应相等的两个三角形相似 ASA SAS 猜想: SSS 猜想: HL 猜想: 　　小组活动,合作完成上表. 设计意图:类比全等研究思路让学生猜想除这两个条件外还有没有其他的判定相似的方法,体会由易到难的研究思路,培养学生科学的思考方法.然后类比全等的判定对相似的判定进行猜想,让学生体会知识之间的联系,以及类比的数学思想方法. 探究用两边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似. 做一做:如图,画出△ABC与△A'B'C',使∠A'=∠A,==2. 思考:(1)比较∠C'和∠C(或∠B'和∠B)的大小. (2)由比较的结果,能断定△ABC△A'B'C'相似吗? (3)改变对应边的比值和夹角的度数(但保持夹角相等),再画出两个三角形,它们相似吗? (4)如何证明这两个三角形相似呢?上节课证明判定定理的方法对你有什么启示? 小组活动,证明两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知:如图,在△ABC与△A'B'C'中,=,∠A=∠A'. 求证:△ABC∽△A'B'C'. 分析:我们可以在△ABC内作一个△ADE≌△A'B'C',然后证明△ADE∽△ABC;我们还可以在△ABC内作一个△ADE∽△ABC,然后证明△ADE≌△A'B'C'. 证明:如图,在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC, 交AC于点E. ∴△ABC∽△ADE, ∴=. ∴=,AD=A'B', ∴=. ∴AE=A'C'. 又∵∠A=∠A', ∴△ADE≌△A'B'C'. ∴△ABC∽△A'B'C'. 设计意图:引导学生验证并证明两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,让学生经历画图、发现结论、验证结论、证明结论的完整的过程,培养学生科学的思考问题的方法,增强学生的核心素养. 用三种语言描述相似三角形的判定定理 你能用三种语言描述相似三角形的判定定理吗? 相似三角形的判定定理:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. 符号语言:∵=,∠A=∠D, ∴△ABC∽△DEF. 设计意图:引导学生用三种语言表述定理,培养学生文字语言、图形语言和符号语言互相转化的能力,通过结合图形让学生谈谈对判定方法的理解,加深对定理的理解与掌握. 典例精讲 已知,在△ABC与△A'B'C'中,∠A=∠A'=60°,AB=4 cm,AC=8 cm,A'B'=11 cm,A'C'=22 cm. 求证:△ABD∽△A'B'C'. 分析:本题考查“边角边”证相似,学生可在草稿上画出图形. 学生先独立完成,再在小组内交流. 证明:∵=,==,∴=.又∵∠A=∠A'=60°,∴△ABC∽△A'B'C'. 设计意图:本环节力求提高学生运用知识的能力和推理能力,加深学生对定理的理解,提高学生综合运用知识的能力. 课堂小结 本节课我们研究了相似三角形判定定理,请同学们带着以下问题进行总结: (1)本节课你学到了哪些知识?目前为止相似三角形的判定方法你学了几个? (2)本节课学习经历了怎样的过程?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验? 设计意图:通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考.通过类比全等的判定,让学生猜想相似的判定,体会类比的思想方法,帮助学生将所学的知识结构化. 课堂8分钟. 1.教材第78页A组第1,2题,B组第1,2题. 2.七彩作业. 第2课时　用边角关系判定三角形相似 　　　　　判定定理: 　　　　　图形语言: 　　　　　符号语言: 教学反思   第3课时　用边边关系判定三角形相似 课时目标 1.经历探索相似三角形判定的过程,培养学生的几何直观与推理能力,发展学生科学的探究精神,养成严谨的科学态度. 2.通过相似三角形判定的应用,培养学生的推理能力,增强学生的核心素养. 学习重点 会用三条边对应成比例判定两个三角形相似并能进行应用. 学习难点 能够找到证明判定定理的方法,能有条理的表达推理过程. 课时活动设计 回顾引入 思考:(1)目前判定相似的方法有哪些? (2)类比全等的判定猜想相似的判定还会有哪些? 猜想:1.三边对应成比例的两个三角形相似. 2.直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 设计意图:引导学生复习相似三角形的判定方法及全等三角形的判定方法,一方面帮助学生将所学知识进行全面系统的整合,使所学知识结构化,另一方面让学生体会类比的数学思想方法,同时培养学生科学的思考问题的能力. 探究用三边对应成比例判定两个三角形相似. 一起探究:(1)如图,在透明纸上画一个△ABC,使AB=1.5 cm,AC=2.5 cm,BC=2 cm,再画一个△A'B'C',使A'B'=3 cm,A'C'=5 cm,B'C'=4 cm. (2)比较△ABC和△A'B'C'各个角,他们对应相等吗?这两个三角形相似吗? (3)如何证明这两个三角形相似?上节课证明判定定理的方法对你有什么启示? 小组活动,证明三边对应成比例的两个三角形相似. 已知:如图,在△ABC与△A'B'C'中,==. 求证:△ABC∽△A'B'C'. 分析:我们可以在△ABC内作一个△ADE≌△A'B'C',然后证明△ADE∽△ABC;我们还可以在△ABC内作一个△ADE∽△ABC,然后证明△ADE≌△A'B'C'. 证明:如图,在△ABC的边AB上截取AE=A'B',过点E作EF∥BC,交AC于点F, 则△ABC∽△AEF,==. 在△A'B'C'和△AEF中, ∵==,且AE=A'B', 又∵==, ∴AE=A'C',EF=B'C'. ∴△AEF≌△A'B'C'. ∴△ABC∽△A'B'C'. 设计意图:引导学生验证并证明三边对应成比例的两个三角形相似,让学生经历画图、发现结论、验证结论、证明结论的完整的过程,培养学生科学思考问题的能力,增强学生的核心素养. 用三种语言描述相似三角形的判定定理 你能用三种语言描述相似三角形的判定定理吗? 相似三角形的判定定理:三条边对应成比例的两个三角形相似. 符号语言:∵==, ∴△ABC∽△DEF. 设计意图:引导学生用三种语言表述定理,培养学生文字语言、图形语言和符号语言互相转化的能力,通过结合图形让学生谈谈对判定方法的理解,加深对定理的理解与掌握. 探究用直角边和斜边对应成比例判定两个直角三角形相似. 做一做:画出Rt△ABC与Rt△A'B'C',使∠B=∠B'=90°,=(比值可以自己确定). 思考:(1)你画的两个三角形相似吗? (2)如何验证这两个三角形相似?试一试. (3)如何证明这两个三角形相似呢?上题证明判定定理的方法对你有什么启示? 小组活动,证明直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 已知:如图,在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中,使∠B=∠B'=90°,=. 求证:Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. 分析:要证RtABC∽RtA'B'C',可设法证==.若设==k,则只需证=k. 证明:设==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'. 根据勾股定理,得BC===k=kB'C'. ∴==. ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. 结论:通过以上题目得到,直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 设计意图:引导学生验证并证明直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似,让学生经历画图、发现结论、验证结论、证明结论的完整的过程,培养学生科学思考问题的能力,增强学生的核心素养.引导学生用多种方法进行证明,培养学生的发散思维,发展学生的数学思维. 课堂小结 本节课我们研究了相似三角形判定定理,请同学们带着以下问题进行总结: (1)本节课你学到了哪些知识?目前为止相似三角形的判定方法你学了几个?对比全等的判定谈谈它们之间的区别与联系. (2)本节课学习经历了怎样的过程?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验? 设计意图:通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考.通过反思全等的判定,让学生找到全等的判定与相似的判定的联系与区别,体会类比的思想方法,帮助学生将所学的知识结构化. 课堂8分钟. 1.教材第81页A组第3题,B组第1,2题. 2.七彩作业. 第3课时　用边边关系判定三角形相似 全等的 判定方法 相似的判定方法 AAS 两角对应相等的两个三角形相似 ASA SAS 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 SSS 三边对应成比例的两个三角形相似 HL 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似 平行⇨相似“A”“8”字形图 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$