第25章 周测(25.4～25.5) 正文-【七彩作业】2024-2025学年九年级数学上册同步习题课件（冀教版）河北专版

九年级上册 2024 数学 冀教版 2 第二十五章　图形的相似 周测(25.4～25.5) 一、选择题(共10题，每题4分，共40分) 1. (2023·承德一模)把△ ABC 经过下列变形，与△ ABC 相似的是(　C　) A. 各边长都加2 B. 各边长都减2 C. 各边长都乘2 D. 各边长都平方 【解析】由题意得△ ADF ∽△ ABC ， AD ＝3 m， AB ＝5 m， ∴ ＝ ＝ . ∵ BC ＝ b ，∴ DF ＝ b . C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 2. 如图为小明探究“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时， 标注视力表中①号字母“E”的高度 BC 长为 b ，当测试距离为3 m时， ②号字母“E”的高度 DF 长为(　C　) A. 5 b B. 3 b C. b D. b 第2题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 3. (2023·保定第13中学期末)如图，已知 P 是△ ABC 中边 AC 上的一点， 连接 BP ，下列条件不能判断△ ABP 和△ ACB 相似的是(　B　) A. ∠ ABP ＝∠ C B. BP ∶ AP ＝ BC ∶ AC C. ∠ APB ＝∠ ABC D. AC ∶ AB ＝ AB ∶ AP 第3题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 【解析】已知∠ A 为两个三角形的公共角，根据相似三角形的判定条 件：①两边对应成比例，夹角相等，添加 AC ∶ AB ＝ AB ∶ AP 可以判 断△ ABP 和△ ACB 相似，选项D不符合题意；②对应角相等，添加∠ ABP ＝∠ C 或∠ APB ＝∠ ABC ，也可以判断△ ABP 和△ ACB 相似，选 项A，C不符合题意. 第3题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 4. 李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺 序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是(　B　) 已知：如图，在△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别在边 AB ， AC ， BC 上，且 DE ∥ BC ， DF ∥ AC . 求证：△ ADE ∽△ DBF . 证明：①又∵ DF ∥ AC ， ②∵ DE ∥ BC ， ③∴∠ A ＝∠ BDF . ④∴∠ ADE ＝∠ B . ∴△ ADE ∽△ DBF . B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 A. ③②④① B. ②④①③ C. ③①④② D. ②③④① 【解析】∵ DE ∥ BC ，∴∠ ADE ＝∠ B . 又∵ DF ∥ AC ，∴∠ A ＝∠ BDF . ∴△ ADE ∽△ DBF . 故顺序为②④①③. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 5. 已知△ ABC ， D 是 AC 上一点，用尺规在 AB 上确定一点 E ，使△ ADE ∽△ ABC ，则符合要求的作图痕迹是(　A　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 6. 如图，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(　C　) A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ 【解析】设网格中每个小正方形的边长为1. 由题图得①中三角形的各边长分别为2， ， ， C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 ③中三角形的各边长分别为2 ，2，2 ， ∵ ＝ ＝ ， ∴①③中两个三角形的三边对应成比例. ∴①中三角形和③中三角形相似. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 7. (2023·保定第一中学月考)如图，在△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别在边 AB ， AC ， BC 上，连接 DE ， EF ，已知四边形 BFED 是平行四边形， ＝ ，若△ ADE 的面积为1，则平行四边形 BFED 的面积为(　A　) A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 第7题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 【解析】∵四边形 BFED 是平行四边形， ∴ DE ∥ BF . ∴△ ADE ∽△ ABC . ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ ＝ . ∵△ ADE 的面积为1，∴△ ABC 的面积是16. ∵四边形 BFED 是平行四边形， 第7题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 ∴ EF ∥ AB . ∴△ EFC ∽△ ABC . ∵ ＝ ，∴ ＝ . ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ . ∴ S△ EFC ＝9. ∴ S平行四边形 BFED ＝16－9－1＝6. 第7题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 8. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为 顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ ABC 是格点三角形，在6×6的 正方形网格中作出格点三角形 ADE (不含△ ABC )，使得△ ADE ∽△ ABC (同一位置的格点三角形 ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有 (　C　) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 第8题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 思路点拨 【解析】如图， 使得△ ADE ∽△ ABC 的格点三角形一共有6个. 　　可根据三边对应成比例寻找相似，注意考虑全面，不要丢落. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 9. (2023·邯郸广平县期末)如图，正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E ， 以 EC 为边作矩形 ECFG ，且边 FG 过点 D ，在点 E 从点 A 移动到点 B 的 过程中，矩形 ECFG 的面积(　C　) A. 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 保持不变 D. 不能确定 第9题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 【解析】∵∠ FCE ＝∠ DCB ＝90°， ∴∠ FCE －∠ DCE ＝∠ DCB －∠ DCE ，即∠ FCD ＝∠ BCE . ∵∠ CFD ＝∠ CBE ＝90°， ∴△ CFD ∽△ CBE . ∴ ＝ . ∴ CD · CB ＝ CF · CE . 故 S正方形 ABCD ＝ S矩形 ECFG . ∴在点 E 从点 A 移动到点 B 的过程中，矩形 ECFG 的面积保持不变. 第9题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 10. 如图，在△ ABC 中，中线 BE ， CD 相交于点 O ，连接 DE ，给出下 列结论：① ＝ ；② ＝ ；③ ＝ ；④ ＝ .其中正 确结论的个数为(　C　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第10题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 【解析】∵ BE ， CD 是△ ABC 的中线，∴ D ， E 分别是 AB 和 AC 的中点，即 DE 是△ ABC 的中位线.∴ DE ∥ BC ， DE ＝ BC . ∴△ ADE ∽△ ABC ，△ DOE ∽△ COB . ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ＝ .∴在△ ODE 和△ OEC 中， ＝ ＝ ，故①③④正确，②错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 二、填空题(共4题，每题5分，共20分) 11. 若△ ABC 与△ DEF 相似且面积的比为4∶25，则△ DEF 与△ ABC 的 相似比为 ⁠. 12. (2023·河北模拟预测)如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ ACB 的平分线交斜边 AB 于点 D ，过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 E ，若 CB ＝ 4， CA ＝6，则 DE ＝ ⁠. 5∶2　 　 第12题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 【解析】∵ CD 是∠ ACB 的平分线， ∴∠ BCD ＝∠ ACD . ∵ DE ⊥ AC ， BC ⊥ AC ， ∴ DE ∥ BC . ∴∠ EDC ＝∠ BCD . ∴∠ ECD ＝∠ EDC . ∴ DE ＝ CE . ∵ DE ∥ BC ，∴△ ADE ∽△ ABC . ∴ ＝ . 设 DE ＝ CE ＝ x ，则 AE ＝6－ x ， ∴ ＝ ，解得 x ＝ ，即 DE ＝ . 第12题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 13. (2022·秦皇岛卢龙县期末)如图，在Rt△ ABC 内画有边长为9，6， x 的三个正方形，则 x 的值为 ⁠. 第13题图 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 【解析】标注字母如图所示， 由题意可得， KL ∥ HI ∥ EF ， ∵ KL ∥ HI ，∴△ ALK ∽△ AIH . ∴ ＝ ，即 ＝ .① ∵ HI ∥ EF ，∴△ AHI ∽△ AEF . ∴ ＝ ，即 ＝ ＝ .② 由①②解得 x ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 14. 如图，在平面直角坐标系中，有两点 A (6，0)， B (0，8)， C 为 AB 的中点，点 D 在 y 轴上，当点 D 的坐标为 时，以 B ， C ， D 为顶点的三角形与△ AOB 相似. (0，4)或 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 【解析】∵ A (6，0)， B (0，8)，∴ AO ＝6， BO ＝8. ∵∠ AOB ＝90°，∴ AB ＝ ＝10. ∵ C 为 AB 的中点，∴ CB ＝ CA ＝5. 当∠ BDC ＝90°时，△ AOB ∽△ CDB ，则有 ＝ ，即 ＝ ＝ . ∴ BD ＝4. ∴ D (0，4). 当∠ BCD ＝90°时，△ AOB ∽△ DCB ，则有 ＝ ，即 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 ∴ BD ＝ . ∴ OD ＝8－ ＝ .∴ D . 综上，当点 D 的坐标为(0，4)或 时，以 B ， C ， D 为顶点的三角 形与△ AOB 相似. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 三、解答题(共4题，共40分) 15. (10分)(2023·保定安新县期末)如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 为 BC 边上的中线， DE ⊥ AB 于点 E . (1)求证：△ BDE ∽△ CAD ； (1)证明：∵ AB ＝ AC ， BD ＝ CD ， ∴ AD ⊥ BC ，∠ B ＝∠ C . ∵ DE ⊥ AB ，∴∠ DEB ＝∠ ADC ＝90°. ∴△ BDE ∽△ CAD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 (2)若 AB ＝13， BC ＝10，求线段 DE 的长. (2)解：在Rt△ ADB 中， AD ＝ ＝ ＝12， ∵ AD · BD ＝ AB · DE ， ∴ DE ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 16. (10分)(2023·石家庄辛集市期末)下列各图均是由边长为1的小正方形 组成的网格， A ， B ， C ， D 均在格点上. (1)在图1中， 的值为 　 　； 【解析】∵ AB ∥ CD ，∴ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 解：①如答图1所示. (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法. ①如图2，在 AB 上找一点 P ，使 AP ＝3； ②如图3，在 BD 上找一点 P ，使△ APB ∽△ CPD . ②如答图2所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 【解析】①在网格图中，由勾股定理，得 AB ＝ ＝5. 如图1所示，连接 CD ，交 AB 于点 P ， ∵ BC ∥ AD ， ∴ ＝ ＝ .∴ ＝ ，解得 AP ＝3. ∴点 P 即为所要找的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 ②如图2所示，作点 A 关于直线 BD 的对称点A'， 连接A'C，交 BD 于点 P ，连接 AP ， 由作图知∠ APB ＝∠BPA'＝∠ CPD ， 又∵∠ ABP ＝∠ CDP ＝90°， ∴△ APB ∽△ CPD . ∴点 P 即为所要找的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 17. (10分)(2023·保定曲阳县期末)如图1，已知 AD 是△ ABC 的角平分 线，可证 ＝ .证明思路：如图2，过点 C 作 CE ∥ AB ，交 AD 的延 长线于点 E ，构造相似三角形来证明 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 (1)利用图2证明 ＝ ； (1)证明：∵ AB ∥ CE ，∴∠ BAD ＝ CED . ∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ CAD . ∴∠ CAD ＝∠ CED . ∴ AC ＝ EC . ∵∠ BDA ＝∠ CDE ，∴△ ABD ∽△ ECD . ∴ ＝ .∴ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 (2)如图3，在Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， D 是边 BC 上一点，连接 AD ，将△ ACD 沿 AD 所在的直线折叠，点 C 恰好落在边 AB 上的点 E 处.若 AC ＝1， AB ＝2，求 DE 的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 (2)解：由折叠可知， AD 平分∠ BAC ， CD ＝ DE ，由(1)可得 ＝ ， ∵ AC ＝1， AB ＝2，∠ BAC ＝90°， ∴ BC ＝ ＝ ＝ . ∴ ＝ ，解得 CD ＝ .∴ DE ＝ CD ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 18. (10分) 已知正方形 ABCD 的边长为4，一个以点 A 为顶点的45°角绕点 A 旋转，角的两边分别与边 BC ， DC 的延长线交 于点 E ， F ，连接 EF . (1) AC ＝ ⁠； 4 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 (2)如图，当∠ EAF 绕点 A 旋转的过程中，试说明 CE · CF 为定值. 解：由题意，得∠ ACD ＝45°， ∴∠ AFC ＋∠ CAF ＝∠ ACD ＝45°. ∵∠ FAE ＝45°，∴∠ CAE ＋∠ CAF ＝45°. ∴∠ AFC ＝∠ CAE . ∵∠ ACF ＝∠ ACE ＝180°－45°＝135°， ∴△ ACF ∽△ ECA . ∴ ＝ . ∴ CE · CF ＝ AC2＝32，即 CE · CF 为定值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 周测(25.4～25.5) 解答题 填空题 选择题 $$