精品解析：湖北省十堰市郧阳区第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试卷

湖北省十堰市郧阳区郧阳区一中2023-2024学年高三上学期开学数学考试 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅管将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则 A. B. C. D. 2. 若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则 A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足且则向量与夹角正弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知分别为内角的对边，且成等比数列，且，则= A. B. C. D. 5. 三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同传球方式共有（ ） A. 6种 B. 10种 C. 11种 D. 12种 6. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 7. 数列中，，，记，，则（ ） A. B. C. D. 8. F1、F2分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为 A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ） A. 随机变量，若，则 B. 随机变量X服从正态分布，，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 对于独立性检验，随机变量的观测值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 10. 如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 不存在某个位置，使得 B. 翻折过程中，CN的长是定值 C. 若，则 D. 若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是 11. 对勾函数的图象可以由焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，因此对勾函数即为双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 渐近线方程和 B. 的对称轴方程为和 C. M，N是函数图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值 D. Q是函数图象上任意一点，过点Q作切线交渐近线于A，B两点，则的面积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为，则其体积为________. 13. 已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为____________． 14. 已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等两部分,则b的取值范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四边形中， （1）求的正弦值； （2）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长. 16. 已知数列的前项和满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）记，若数列为递增数列，求的取值范围. 17. 如图，弧是半径为a的半圆，为直径，点E为弧的中点，点B和点C为线段的三等分点，平面外点F满足，： （1）证明：； （2）已知点Q，R为线段上的点，使得，求当最短时，平面和平面所成二面角的正弦值． 18. 已知双曲线：过点，且右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值. （3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积. 19. 已知函数，. （1）当时，恒成立，求实数a的取值范围； （2）证明：当，时，曲线与曲线总存在两条公切线； （3）若直线，是曲线与的两条公切线，且，的斜率之积为1，求a，b的关系式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省十堰市郧阳区郧阳区一中2023-2024学年高三上学期开学数学考试 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅管将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合A，再解对数不等式化简集合B，进而可得结果. 【详解】,, 故选：B. 2. 若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设可得， ，应选答案B ． 3. 已知平面向量满足且则向量与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】运用数量积性质和定义计算夹角，再结合同角三角函数关系可解. 【详解】 因为 故选：D. 4. 已知分别为内角的对边，且成等比数列，且，则= A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得：,又，所以原式= 所以选C. 点睛：此题考查正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题. 5. 三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（ ） A. 6种 B. 10种 C. 11种 D. 12种 【答案】B 【解析】 【分析】设在第次传球后有种情况球在丙手中，结合题意可推出，即可求得答案. 【详解】设在第次传球后有种情况球在丙手中，即经过n次传球后球又被传回给丙， 在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有种传球方法， 故在第n次传球后，球不在丙手中的情况有（种），即球在甲或乙手中， 只有在这些情况时，在第n+1次传球后，球才会被传回给丙， 即，由题意可得，则， ， 故选：B 6. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】把问题转化为两个函数图像的交点的横坐标，画出函数的图像，即可求解. 【详解】函数所有零点转化为两个函数图像的交点的横坐标， 而可化为， 如图，画出函数的图像， 根据图像可知有6个交点，且两两关于直线对称，所以零点的和为 故选：C 7. 数列中，，，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可累加求解由即可累乘求解，即可判定AB,利用可得，即可求解CD. 【详解】由可得， 由于，所以， 故，故， 又可得， 因此， 故，故AB错误， 又，又因为，则等号无法取到， 故， 由于故，因此 ，故C正确，D错误， 故选：C 【点睛】关键点点睛：将变形为和，即可累加以及累乘求解. 8. F1、F2分别是椭圆的左右焦点，过F2作直线交椭圆于A、B两点，已知AF1⊥BF1，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：如图所示，设，因为，所以， ，所以，解得 ，所以，，在中，由余弦定理得 ，化为，所以 ，化简得，所以，故选A． 考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了余弦定理和椭圆离心率的求解，注重考查了学生的推理能力和计算能力、转化与化归思想的应用，解答中，根据题设条件，得出，，在根据余弦定理列出关于的方程是解答的关键． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ） A. 随机变量，若，则 B. 随机变量X服从正态分布，，则 C. 一组数据的线性回归方程为，若，则 D. 对于独立性检验，随机变量的观测值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】AD 【解析】 【分析】A项，由二项分布的期望与方差公式解方程可得；B项，由正态曲线的对称性可得；C项，先求出，由样本中心点在回归直线上，代入，可得，进而求得；D项，根据对独立性检验思想的理解可得. 【详解】A项，随机变量， 若，则， 解得，故A项正确； B项，由于随机变量X服从正态分布，， ，，故B项错误； C项，一组数据的线性回归方程为， 因为，则， 由样本中心点在回归直线方程上得， ；即，故C项错误； D项，对于独立性检验，随机变量的观测值值越小， 判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故D项正确． 故选：AD. 10. 如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 不存在某个位置，使得 B. 翻折过程中，CN的长是定值 C. 若，则 D. 若，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，取AD的中点为E，若，则可推出矛盾，即可判断；对于B，结合余弦定理即可判断；对于C，采用反证的方法，利用得出互相矛盾的结论，即可判断；对于D，根据三棱锥体积最大，可得出平面平面，从而结合面面垂直性质求出相关线段的长，确定三棱锥外接球球心，求出半径，即可判断 【详解】对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于F，则四边形为平行四边形，如图， F为MD的中点，由于N为的中点，则， 如果，则， 由于，则， 由于共面且共点，故不可能有，同时成立， 即不存在某个位置，使得，A正确 对于B，结合A的分析可知，且， 在中，， 由于均为定值，故为定值， 即翻折过程中，CN的长是定值，B正确； 对于C，如图，取AM中点为O，由于，即，则， 若，由于平面，故平面， 平面，故，则， 由于，故，，则, 故，与矛盾，故C错误； 对于D，由题意知，只有当平面平面时，三棱锥的体积最大； 设AD中点为E，连接，由于，则， 且，而平面平面，平面， 故平面，平面，故， 则， 从而，则, 即AD的中点E即为三棱锥的外接球球心，球的半径为1， 故外接球的表面积是，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时结合三棱锥体积最大，可得平面平面，从而结合面面垂直性质求出相关线段的长，确定三棱锥外接球球心，求出半径，即可判断. 11. 对勾函数的图象可以由焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，因此对勾函数即为双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 渐近线方程为和 B. 的对称轴方程为和 C. M，N是函数图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值 D. Q是函数图象上任意一点，过点Q作切线交渐近线于A，B两点，则的面积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意结合图象分析判断A；根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算判断B；根据题意结合斜率公式运算求解判断C；根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果判断D. 【详解】对于A，函数图象是双曲线，由图象知：函数的图象与直线和无限接近， 但不相交，则直线和为该双曲线的渐近线，A正确； 对于B，函数图象是双曲线，由双曲线的性质知，双曲线的对称轴为其渐近线的角分线，且互相垂直， 一条对称轴的倾斜角为，由二倍角公式可得， 整理得，而，解得， 斜率， 另一条对称轴的斜率为，对应的方程分别为和，B正确； 对于C，设，直线的斜率分别为， 则，C错误； 对于D，函数，求导得，设， 则函数的图象在处切线的斜率， 切线方程为，令，得，即，则， 令，得，即，则， 因此的面积（定值），D正确． 故选：ABD 【点睛】方法点睛：求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 ①已知切点，求在点P处的切线方程：求出切线的斜率，由点斜式写出方程． ②已知切线斜率为k，求的切线方程：切点，通过方程解得，再由点斜式写出方程； ③已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点，利用导数求得切线斜率，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得，再由点斜式或两点式写出方程． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为，则其体积为________. 【答案】112 【解析】 【分析】根据已知条件，分别计算出上、下底面面积以及棱台的高，代入棱台体积公式进行计算即可得解. 【详解】因为正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为， 所以棱台的下底面积，上底面积，高， 所以正四棱台的体积. 故答案为：112. 13. 已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】对求导后，代入可求得，根据导数几何意义可求得切线，则可将问题转化为与平行且与曲线相切的切点到直线的距离的求解，设切点，由切线斜率为可构造方程求得切点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果. 【详解】， ，解得：， ，则， 切线的方程为：，即； 若最小，则为与平行且与曲线相切的切点，所求最小距离为到直线的距离， 设所求切点，由，可得， 所以，即，又单调递增，而时， 所以，即， . 故答案为：. 14. 已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜； ③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果． 解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论． 【详解】解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为 =1， 由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0）， 由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0， 故﹣≤0，故点M在射线OA上． 设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）． ①若点M和点A重合，则点N为线段BC中点，故N（，）， 把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=． ②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间， 由题意可得三角形NMB的面积等于， 即=，即 =，可得a=＞0，求得 b＜， 故有＜b＜． ③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a． 设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，）， 此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|=， 即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|． 由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ． 两边开方可得 （1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得 b＞1﹣， 故有1﹣＜b＜． 再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 ， 解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边， 由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小． 由于a＞0，∴b＞1﹣． 当a逐渐变大时，b也逐渐变大， 当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜． 综上可得，1﹣＜b＜， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四边形中， （1）求的正弦值； （2）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）中，设，利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到答案. （2）利用面积关系得到化简得到 根据（1）中解得答案. 【详解】（1）在中，设， 由余弦定理得 整理得，解得. 所以 由正弦定理得，解得 （2）由已知得， 所以， 化简得 所以 于是 因为，且为锐角，所以. 代入计算 因此 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力. 16. 已知数列的前项和满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）记，若数列为递增数列，求的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用求得数列是等比数列，（），得通项公式，从而也得到； （2）作差，由恒成立转化为对恒成立，引入，，从作商法求得的最小值即可得的范围． 【详解】解：（1）当时，，∴， 当时，， 即，∴，又， 所以数列为等比数列. ∴， . （2），因为数列为递增数列， ∴对恒成立，即对恒成立 设，，， ， 若，则， ∴当时，； 当时，. ∴， 即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查求等比数列的通项公式，考查数列的单调性，不等式恒成立问题．数列的单调性与最值的求法一般有作差法或作商法．作差法是最基本的方法，而当为幂的形式（或乘积形式）也可用作商法确定单调性，得最值． 17. 如图，弧是半径为a的半圆，为直径，点E为弧的中点，点B和点C为线段的三等分点，平面外点F满足，： （1）证明：； （2）已知点Q，R为线段上的点，使得，求当最短时，平面和平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用已知条件求证、和，从而由线面垂直判定定理得平面，进而得，再结合和线面垂直判定定理得平面，于是由线面垂直定义即可得证. （2）在平面内，过点C作交弧于G，以点C为原点，分别以，，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题给条件分别求出平面与平面的法向量和，从而即可求出，进而即可求出所求二面角的正弦值. 【小问1详解】 连接，因为弧是半径为a的半圆， 为直径，点E为弧的中点，所以， 在中，， 在中，，且点C是底边的中点， 所以，， 所以在中，有， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面，而平面，所以. 【小问2详解】 在平面内，过点C作交弧于G， 以点C为原点，分别以，，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 设，因为即， 所以， 则，， ， 所以当时，取得最小值，此时， 设，则， 由得，则， 则，， 设平面的法向量为，则，， 所以，令则， 所以，又由（1）知，平面的一个法向量为， 所以， 设平面与平面所成二面角的大小为，则， 则， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 18. 已知双曲线：过点，且右焦点为. （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，交轴于点，若，，求证：为定值. （3）在（2）的条件下，若点是点关于原点的对称点，求证：三角形的面积. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义求出2a即可求解作答. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用向量共线并结合韦达定理求解作答. （3）由（2）求出点Q的坐标，再求出面积的关系式，借助函数单调性推理作答. 【小问1详解】 依题意，双曲线的左焦点为， 由双曲线定义知，的实轴长， 因此，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 依题意，直线的斜率存在，且，设直线的方程为：，，， 由消去x并整理得：，设， 则，而点，则， 因为，则有，即，同理， 所以，为定值. 【小问3详解】 由（2）知，点，则，， 面积， 因为，令，而函数在上单调递减，即， 因此，所以. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 19. 已知函数，. （1）当时，恒成立，求实数a的取值范围； （2）证明：当，时，曲线与曲线总存在两条公切线； （3）若直线，是曲线与的两条公切线，且，的斜率之积为1，求a，b的关系式. 【答案】（1）． （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）参变量分离可得，设，利用导数求出的最大值，从而可得的取值范围； （2）设两个函数的切点，由点斜式求解切线方程，利用公切线联立可得，再构造函数，利用导数即可证明，即可求证； （3）根据公切线得，化简整理可得，题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为，，由可得，的关系，代入中，可得有两个不等实根，代入化简即可求解. 【小问1详解】 由得，则， 设，， 由于均为上的单调递减函数，故为上的单调递减函数，结合， 在为正，在为负，故在上单调递增，在单调递减， ，则， 即的取值范围是． 【小问2详解】 设直线是的公切线，设的切点为， 的切点为， ， 所以切线方程为，， 因此且 结合，故，故， 进而可得， 令，故， 由于为单调递减函数，且， 故当在单调递增； 当在单调递减； 故， 又当，且， 故总有两个不相等的实数根，因此直线有两条， 【小问3详解】 由题意得：存在实数，，使在处的切线和在处的切线重合， ，即， 则，， 又， ， 题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为，， 则由得， 化简得， ， 【点睛】关键点点睛：由公切线得，进而得，利用斜率互倒数，利用代入化简. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$