16.2 线段的垂直平分线-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

第1课时　线段垂直平分线的性质定理 课时目标 1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明. 2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质定理. 3.理解并能求解最短路径问题. 学习重点 理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质定理. 学习难点 理解并能求解最短路径问题. 课时活动设计 回顾引入 1.回忆轴对称图形: 如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴. 2.回忆线段的垂直平分线的定义: 垂直且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线. 师:线段是轴对称图形吗?它的对称轴是什么? 生:是轴对称图形,对称轴是线段的垂直平分线. 那么线段的垂直平分线有什么样的性质呢? 设计意图:通过已学知识引入新知. 探究新知 线段垂直平分线的性质定理. 如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,……是l上的点,请你量一量线段P1A,P1B,P2A,P2B,P3A,P3B的长,你能发现什么?请猜想点P1,P2,P3,……分别到点A与点B的距离之间的数量关系. 猜想:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 如图,已知直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P为直线l上任意一点,连接PA,PB. 求证:PA=PB. 证明:∵直线l⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB. 在△PCA和△PCB中, ∵ ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB. 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 符号语言: 如图,∵直线l垂直平分AB,点P在l上, ∴PA=PB. 设计意图:培养学生抽象、归纳的能力,规范几何语言. 典例精讲 例　如图,已知点A,B是直线l外的任意两点,在直线l上试确定一点P,使得AP+BP最短. 解:如图1,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,交直线l于点P,则AP+BP最短. 理由如下: ∵点A,A'关于直线l对称(作法), ∴AP=A'P(线段垂直平分线的性质定理). ∴AP+BP=A'P+BP=AB(等量代换). 如图2,在直线l上任取一点P',连接AP',BP',A'P', 则A'P'+BP'≥A'B(两点之间线段最短), 即AP'+BP'=A'P'+BP'≥A'B=AP+BP. ∴AP+BP最短. 设计意图:通过例题,展示求最短路径的方法,帮助学生灵活运用线段垂直平分线的性质定理,展示规范的答题步骤,让学生感受数学的严谨性. 巩固训练 1.如图所示,直线l是线段AB的垂直平分线,垂足为C,点P为直线l上的一点,且PA=5,则线段PB=　5　;若∠A=40°,则∠B=　40°　.  第1题图 第2题图 2.如图所示,在△ABC中,BC=8 cm,边AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于18 cm,则AC的长是　10 cm　.  3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD. 证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADE=∠FCE. ∵E是CD的中点,∴DE=CE. 在△ADE和△FCE中, ∴△ADE≌△FCE(ASA).∴AD=FC. (2)∵△ADE≌△FCE,∴AE=FE,AD=FC.∵BE⊥AE,∴∠AEB=∠FEB=90°. 在△BAE和△BFE中,∴△BAE≌△BFE.∴AB=FB. 又∵FB=BC+CF,AD=FC,∴AB=BC+AD. 设计意图:通过练习,加深对线段垂直平分线的性质定理的理解,使学生可以更加灵活运用线段垂直平分线的性质定理解决问题. 课堂小结 设计意图:通过小结,让学生交流收获与不足,养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果. 课堂8分钟. 1.教材第114页习题A组第1,2题,第115页习题B组第1,2题. 2.七彩作业. 第1课时　线段垂直平分线的性质定理 　1.线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言: 如图,∵直线l垂直平分AB,点P在l上, ∴PA=PB. 2.最短路径问题. 教学反思   第2课时　线段垂直平分线性质定理的逆定理和尺规作图 课时目标 1.理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理并学会运用. 2.能够运用线段垂直平分线性质定理的逆定理解决实际问题. 3.通过经历线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法. 4.掌握如何用尺规作一条线段的垂直平分线,过一点作已知直线的垂线. 学习重点 理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理.会作已知线段的垂直平分线和已知直线的垂线. 学习难点 能够运用线段垂直平分线的性质定理的逆定理解决实际问题. 课时活动设计 回顾引入 线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 反过来,到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上吗? 请写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题,并且写出这个逆命题的已知和求证,猜想这个命题的真假,并试着说明理由. 设计意图:借助已有知识的经验,为进一步学习作铺垫. 探究新知 线段垂直平分线性质定理的逆定理 如图,已知P为线段AB外一点,且PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 证明:如图,取AB的中点O,连接PO并延长, 则AO=BO. 在△AOP和△BOP中, ∴△AOP≌△BOP(SSS). ∴∠POA=∠POB. ∵∠POA+∠POB=180°, ∴∠POA=∠POB=90°. ∴PO⊥AB. ∴直线PO是线段AB的垂直平分线. ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 几何语言: 如图∵AB=AC,MB=MC, ∴点A和点M都在线段BC的垂直平分线上. 总结:1.定义法:垂直且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线. 2.用线段垂直平分线性质定理的逆定理推出,两个点都在线段的垂直平分线上,则过这两个点的直线就是这条线段的垂直平分线. 设计意图:培养学生抽象、归纳的能力,规范几何语言. 典例精讲 例　已知:如图所示,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线DP与EP相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上. 证明:如图所示,连接PA,PB,PC. ∵DP,EP分别是AB,AC的垂直平分线(已知), ∴PA=PB=PC(线段垂直平分线的性质定理). ∴点P在BC的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理). 结论:三角形三边的中垂线交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等. 设计意图:熟练运用线段垂直平分线性质定理的逆定理解决问题. 探究新知 已知线段AB,用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线. 分析:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 要作出到线段AB两端距离相等的两个点,连接这两个点就作出了线段AB的垂直平分线. 解:作法如图. (1)分别以点A和点B为圆心,a(a>AB)为半径,在线段AB的两侧画弧,分别相交于点C,D. (2)连接CD. 直线CD即为所求. 设计意图:用尺规作已知线段的垂直平分线.在教学过程中,让学生动手操作,边作边口述每一步的作法,规范表述,提高运用数学语言表述作图过程的能力. 典例精讲 例　尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知:如图,直线AB及AB外一点C. 求作:经过点C,且垂直于AB的直线. 解:作法:(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁. (2)以点C为圆心,CK长为半径画弧,交AB于点D和点E. (3)分别以点D和点E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在直线AB异于点C的另一侧,相交于点F. (4)连接CF. 直线CF就是所求作的垂线. 设计意图:让学生体会过已知直线外一点,用尺规作已知直线的垂线的过程.在教学过程中,让学生动手操作,边作边口述每一步的作法,规范表述,提高运用数学语言表述作图过程的能力. 巩固训练 1.如图所示,点D在△ABC的边BC上,且BC=BD+AD,则点D在哪条线段的垂直平分线上?(　B　) A.线段AB　　　　　B.线段AC　　　　　C.线段BC　　　　D.不能确定 2.河边有两个村庄A,B,要在河岸CD上建一自来水厂P,使水厂到A,B两村的距离相等,请找出点P的位置. 解:∵点P到A,B两村的距离相等, ∴点P在线段AB的垂直平分线上,即线段AB的垂直平分线与CD的交点. 如图所示,点P即为所求. 3.已知:点P在直线AB上. 求作:经过点P,且垂直于AB的直线.(保留作图痕迹,不要求写出做法) 解:如图所示,直线MN即为所求. 4.如图,已知两点A,B. 求作:直线l,使A,B两点关于l对称.(保留作图痕迹,不要求写出做法) 解:如图所示,直线l即为所求. 设计意图:通过练习,加深对线段垂直平分线性质定理的逆定理的理解,使学生可以更加灵活运用线段垂直平分线性质定理的逆定理解决问题. 课堂小结 设计意图:通过小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好的学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果. 课堂8分钟. 1.教材第117页习题A组第1,2题,第117~118页习题B组第1,2题,第119页习题第1,2,3题 2.七彩作业. 第2课时　线段垂直平分线性质定理的逆定理和尺规作图 　　　1.线段垂直平分线性质定理的逆定理: 几何语言:如图,∵AB=AC,MB=MC, ∴点A和点M都在线段BC的垂直平分线上. 2.尺规作图. (1)作已知线段的垂直平分线; 　　　(2)过已知直线外一点作这条直线的垂线. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$