15.4 二次根式的混合运算-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学设计（冀教版）河北专版

课时目标 1.了解二次根式混合运算的运算顺序. 2.能运用运算律和乘法公式等运算规律进行二次根式的混合运算. 3.掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法. 学习重点 能运用运算律和乘法公式等运算规律进行二次根式的混合运算. 学习难点 掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法. 课时活动设计 探究新知 教师提出问题,学生思考、交流、总结. 1.根据以前所学,观察下列式子的运算顺序并进行计算. (1)(3+5)×4;　　　　　　　(2)(3a+5a)÷8. 解:(1)(3+5)×4=8×4=32. (2)(3a+5a)÷8=8a÷8=a. 2.类比整数、整式的运算顺序对下列二次根式进行计算. (1)×(+); (2)(6+3)÷; (3)(-2)(+2); (4)(-)(+). 解:(1)×(+)=×+×=3+. (2)(6+3)÷=6÷+3÷=6+9=15. (3)(-)(+)=()2-22=3-4=-1. (4)(-)(+)=()2-()2=6-3=3. 3.你在运算时,用到了哪些运算律和乘法公式? 解:运用到了乘法对加法的分配率和平方差公式. 教师引导学生归纳: 在含有二次根式的加、减、乘、除运算的式子中,我们可以按一定的顺序进行计算,并将计算结果化简为最简二次根式. 与数、整式和分式的混合运算一样,二次根式的混合运算,也应先算乘除,后算加减,有括号时,先算括号内的.运算律、乘法分式仍然适用. 设计意图:通过数和整式的混合运算引出二次根式的混合运算,让学生在独立思考的基础上,体验探索过程,培养学生解决问题的能力. 典例精讲 例1　计算下列各式: (1)×(-);　　　　　　(2)(+)÷. 解:(1)(方法1)×(-)=-=4-2. (方法2)×(-)=×(2-×)=4-2. (2)(方法1)(+)÷=÷+÷=+=2+5. (方法2)(+)÷=(3+5)÷=2÷+5÷=2+5. 例2　计算下列各式: (1)(+)(-);　　　　　(2)(+1)2. 解:(1)(+)(-)=()2-()2=5-2=3. (2)(+1)2=()2+2××1+12=4+2. 归纳:平方差公式:(+)(-)=()2-()2=a-b(a≥0,b≥0); 完全平方公式:(±)2=a+b±2(a≥0,b≥0)在实数范围内也成立. 例3　计算下列各式: (1);　　　　　　(2)(5+)(-3). 教师引导学生思考:(1)中怎样能把其分母有理化?(2)应采用哪种方法计算. 教师巡视指导后展示答案,分析过程. 解:(1) = = = +1. (2)(5+)(-3)=5-15+()2-3=2-12. 设计意图:通过例题,让学生知道二次的加、减、乘、除混合运算与整式的加、减、乘、除混合运算很类似,所以,要注意知识的延续和发展,引导学生用类比的方法来学习新知识. 巩固训练 1.计算下列各式: (1)-+; (2)+-4; (3)(2-3)2; (4)(7+)2-(7-)2. 解:(1)原式=2-+=. (2)原式=2(+1)+3-2=2+2+3-2=3+2. (3)原式=12+18-2×2×3=30-12. (4)原式=(7++7-)×(7+-7+)=14×2=28. 2.计算: (1)-+3; (2)4÷6×; (3)(+2)(-2)+(-2)2; (4)÷×. 解:(1)原式=-3+6=4. (2)原式=8÷6×=×=-. (3)原式=()2-22+()2+22-4=3-4+5+4-4=8-4. (4)原式=(3-2)÷×=÷×=1×=. 3.已知x=+1,y=-1,求下列各式的值: (1)x2-xy+y2; (2)+. 解:∵x=+1,y=-1, ∴x+y=2,xy=4. (1)x2-xy+y2=(x+y)2-3xy=(2)2-3×4=20-12=8. (2)+ = = = = =3. 设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力. 课堂小结 1.二次根式混合运算的顺序: 先算乘除,后算加减,有括号时,先算括号内的. 2.乘法公式: 平方差公式:(+)(-)=()2-()2=a-b(a≥0,b≥0); 完全平方公式:(±)2=a+b±2(a≥0,b≥0). 设计意图:帮助学生反思、总结本节课的知识与方法,让学生对本节课内容有一个更深刻、更全面的认识.有利于帮助学生理清知识脉络,巩固学习效果. 课堂8分钟. 1.教材第103页习题A组第1,2题,习题B组第1,2题. 2.七彩作业. 教学反思   学科网（北京）股份有限公司 $$