专题4.4 三角恒等变换（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（安徽专用）

专题4.4 三角恒等变换 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 4 考点一：两角和与差的余弦公式 4 考点二：两角和与差的正弦公式 7 考点三：两角和与差的正切公式 10 考点四：二倍角公式 12 考点五：三角恒等变换的应用 18 【考纲要求】 1.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 3.能用两角和、差公式及倍角公式进行简单的三角恒等变换； 4.掌握辅助角公式的应用； 【考向预测】 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的计算 2.二倍角公式相关计算 3.三角恒等变换的应用，判断三角形形状、化简求值等 【知识导图】 【知识清单】 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1） (2） (3） (4） (5） (6） 2.辅助角公式 =(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ，该法也叫合一变形). 其中， 比如： 常见数据：， , , 3.二倍角公式 （1） （2） （3） 4. 降幂公式： （1） （2） 5. 升幂公式 （1） （2） （3） （4） （5） 6. 半角公式（符号的选择由所在的象限确定） （1）， （2） ， （3） 7. 万能公式: （1）, （2）, （3） 【考点分类剖析】 考点一：两角和与差的余弦公式 例1．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的余弦公式求解. 【详解】 . 故选：B 【变式探究】1．等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据余弦的两角和公式可得. 【详解】由余弦的两角和公式可得. 故选：A 【变式探究】2．已知点是角终边上一点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数的定义可得，，再利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由题意可得，， =+=× ×， 故选：A． 例2．不满足的一组值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用两角差的余弦公式得，，逐一验算各个选项即可求解. 【详解】因为，所以， 对于A，，符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不符合题意； 对于D，，符合题意； 故选：C． 【变式探究】1．化为和差的结果是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】利用积化和差公式化简即可. 【详解】， 故选：B. 【变式探究】2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和差的余弦公式结合商数关系式可求两角的正切的乘积. 【详解】由题设有， 整理得到， 若，则或，此时的正切不存，不合题意； 故 ，故， 故选：C. 例3．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式将化为，然后由余弦的两角和公式可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：B 【变式探究】1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，逆用和角的余弦公式化简即得. 【详解】依题意，原式. 故选：C 【变式探究】2．（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】由两角差的余弦公式直接求得. 【详解】. 故选：B. 考点二：两角和与差的正弦公式 例1．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角函数的定义求出，再根据两角差的正弦公式即可得解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：A. 【变式探究】1．若且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，求出，再利用正弦和角公式计算出答案. 【详解】，故， 因为，所以， 所以. 故选：A 【变式探究】2．的值为 A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】直接利用两角和的正弦展开公式求解即可. 【详解】原式 故选A. 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦展开公式，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题. 例2．已知，，则（    ）． A． B． C． D．t 【答案】B 【分析】根据切化弦再结合两角和差求值即可. 【详解】∵， ∴，即， ∴， ∴. 故选：B 【变式探究】1． 的值等于（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】运用正弦函数两角和公式计算. 【详解】， 故选：B. 【变式探究】2．已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于的方程，解之即可求得的值. 【详解】 ， ， 又， 则，则 故选：A 例3．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的正弦公式即可. 【详解】 . 故选：D. 【变式探究】1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由差角公式计算即可. 【详解】. 故选：D 【变式探究】2．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】. 故选：B. 考点三：两角和与差的正切公式 例1．已知，则（    ） A．－3 B．2 C．3 D．不存在 【答案】B 【分析】利用两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 【变式探究】1．已知，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和差正切公式直接求解即可. 【详解】. 故选：A. 【变式探究】2．已知，，则（    ） A． B．－ C．－ D． 【答案】B 【分析】根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 例2．在中，已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】对已知等式利用三角形内角和定理、两角和的正弦公式和同角三角函数商关系进行化简和，最后利用诱导公式计算结果； 【详解】在中， 化简得 两式做比值得 则 故选：A. 【变式探究】1．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】． 故选：D. 【变式探究】2．若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作，利用和差公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D 例3．（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】逆用两角和的正切公式直接计算即可. 【详解】. 故选：A 【变式探究】1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用正切的和差公式，结合特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】. 故选：B. 【变式探究】2．已知，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和与差的正切公式即可得到答案. 【详解】 . 故选：B. 考点四：二倍角公式 例1．的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据二倍角的正弦公式即可. 【详解】. 故选：D. 【变式探究】1．的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】. 故选：C. 【变式探究】2．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式求解即得. 【详解】. 故选：C 例2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用二倍角正弦公式进行化简，结合正弦函数的值域为，计算得出结果； 【详解】函数，因为， 所以函数的值域为 故选：B. 【变式探究】1．已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二倍角公式以及平方关系、商数关系即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 【变式探究】2．函数的周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二倍角公式化简函数，再利用周期公式计算； 【详解】 则周期. 故选：B. 例3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】由，得. 故选：A 【变式探究】1．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式结合角的范围即可求解. 【详解】，， ，，， 故选：A. 【变式探究】2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦的二倍角公式求解即可 【详解】因为， 所以. 故选：C 例4．函数是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的奇函数 【答案】D 【分析】由二倍角公式、诱导公式得，结合三角函数的周期性、奇偶性即可判断. 【详解】， 由于，且的定义域为全体实数， 所以是奇函数， 注意到它的周期为. 故选：D. 【变式探究】1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角余弦公式和差角余弦公式可得，求解即可. 【详解】由题 ， 所以. 故选：A 【变式探究】2．若为锐角，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角的余弦公式与同角三角函数的关系化简得出只关于的式子，即可解得答案. 【详解】为锐角， ， 即， 解得， 故选：B. 例5．已知是第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件先求出的值，再求，最后代入二倍角公式计算即得. 【详解】因为是第三象限角，， 所以，则， 故． 故选：A. 【变式探究】1．已知，则（    ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【分析】解法一：在分子和分母中同时除以，利用弦化切可求得所求代数式的值；解法二：利用二倍角公式可求得所求代数式的值. 【详解】解法一：. 解法二：. 故选：B. 【变式探究】2．已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】综合应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式即可解决. 【详解】由 ，即， 可得，由正切的倍角公式可得． 故选：D． 例6．等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用求解即可. 【详解】，解得 解得或， ，. 故选：A 【变式探究】1．若则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用正切函数的二倍角公式即可. 【详解】. 故选：D 【变式探究】2．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二倍角正切公式直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 考点五：三角恒等变换的应用 例1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式结合三角函数的周期公式计算即可. 【详解】由二倍角公式和辅助角公式化简可得，其中， 由三角函数的周期公式可得最小正周期. 故选：C 【变式探究】1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换的知识化简已知条件，由此求得. 【详解】 . 故选：A 【变式探究】2．已知函数，则f(x)（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换公式化简函数解析式即可判断. 【详解】 故f(x)是奇函数. 故选：A. 例2．函数 的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，从而得到函数最大值； 【详解】 所以函数的最大值为. 故选：C. 【变式探究】1．若函数，则可以化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式求出答案. 【详解】，C正确； 其他选项不满足要求. 故选：C 【变式探究】2．求值：（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式计算即可. 【详解】 ， 故选： 例3．已知：α，β均为锐角，tanα，tanβ，则α+β＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用三角函数关系式的变换及和角公式的运用求出结果. 【详解】解：由于α，β均为锐角，tanα，tanβ， 所以. 所以. 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 【变式探究】1．已知，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】先利用平方关系求出，，再利用两角差的余弦公式将展开计算，根据余弦值及角的范围可得角的大小. 【详解】∵，，， ∴，， ∴ . 又∵，∴， ∴， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题. 【变式探究】2．已知，，是锐角，则=（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用同角三角函数基本关系求得cos和cos（α﹣β），进而根据利用两角和公式求得答案． 【详解】因为是锐角，，所以 cos，cos（α﹣β）. ∴ ∵β为锐角 ∴β 故选C． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用和正弦的两角和公式．属基础题． 例4．已知，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦倍角公式即可得解. 【详解】由题得. 故选：B. 【变式探究】1．已知 ， ，那么为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据利用两角差的正切公式即可得解. 【详解】因为 ， ， 所以. 故选：C. 【变式探究】2．已知是第一象限角，且，则的值为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解. 【详解】因为是第一象限角，所以， 所以， 所以. 故选：B. 例5．在△中，，则△一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】由已知得, , , ， ， ∵, ∴, 即， 故选：. 【变式探究】1．在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换化简即得解. 【详解】因为 ， 所以在中，，即一定是直角三角形． 故选：B 【变式探究】2．在中，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】直接利用两角和的正弦公式化简求解，即可判断三角形的形状． 【详解】由， 可得， 即， 可得，， 三角形是直角三角形． 故选：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.4 三角恒等变换 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 4 考点一：两角和与差的余弦公式 4 考点二：两角和与差的正弦公式 5 考点三：两角和与差的正切公式 6 考点四：二倍角公式 7 考点五：三角恒等变换的应用 9 【考纲要求】 1.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 3.能用两角和、差公式及倍角公式进行简单的三角恒等变换； 4.掌握辅助角公式的应用； 【考向预测】 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的计算 2.二倍角公式相关计算 3.三角恒等变换的应用，判断三角形形状、化简求值等 【知识导图】 【知识清单】 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1） (2） (3） (4） (5） (6） 2.辅助角公式 =(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ，该法也叫合一变形). 其中， 比如： 常见数据：， , , 3.二倍角公式 （1） （2） （3） 4. 降幂公式： （1） （2） 5. 升幂公式 （1） （2） （3） （4） （5） 6. 半角公式（符号的选择由所在的象限确定） （1）， （2） ， （3） 7. 万能公式: （1）, （2）, （3） 【考点分类剖析】 考点一：两角和与差的余弦公式 例1．计算（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．等于（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知点是角终边上一点，则等于（    ） A． B． C． D． 例2．不满足的一组值的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．化为和差的结果是（    ） A．； B．； C．； D．． 【变式探究】2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3．（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．（    ） A．1 B． C．0 D． 考点二：两角和与差的正弦公式 例1．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．若且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】2．的值为 A．0 B． C．1 D．2 例2．已知，，则（    ）． A． B． C． D．t 【变式探究】1． 的值等于（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式探究】2．已知，则（    ） A．0 B． C． D． 例3．（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．（    ） A． B． C． D． 考点三：两角和与差的正切公式 例1．已知，则（    ） A．－3 B．2 C．3 D．不存在 【变式探究】1．已知，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知，，则（    ） A． B．－ C．－ D． 例2．在中，已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式探究】1．若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 例3．（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式探究】1．（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 考点四：二倍角公式 例1．的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式探究】1．的值为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．（   ） A． B． C． D． 例2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．函数的周期是（    ） A． B． C． D． 例3．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知，则（    ） A． B． C． D． 例4．函数是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的奇函数 【变式探究】1．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．若为锐角，，则（    ） A． B．1 C． D． 例5．已知是第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知，则（    ） A． B． C． D．-2 【变式探究】2．已知，则（    ）． A． B． C． D． 例6．等于（　　） A． B． C． D． 【变式探究】1．若则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．（    ） A． B． C． D． 考点五：三角恒等变换的应用 例1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知函数，则f(x)（ ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 例2．函数 的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【变式探究】1．若函数，则可以化简为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．求值：（    ） A．0 B． C．2 D． 例3．已知：α，β均为锐角，tanα，tanβ，则α+β＝（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知，，，则（    ） A． B． C． D．或 【变式探究】2．已知，，是锐角，则=（      ） A． B． C． D． 例4．已知，则（      ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知 ， ，那么为（     ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知是第一象限角，且，则的值为（　 　） A． B． C． D． 例5．在△中，，则△一定是（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【变式探究】1．在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式探究】2．在中，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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