第1章 图形的相似 单元测试（A卷基础篇） 2024--2025学年青岛版九年级数学上册

青岛版9上数学 第1章图形的相似单元测试（ A卷基础篇）（含解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知∽，，若，则(    ) A. B. C. D. 2.菱形周长为，对角线、交于点，，点在上，：：，交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，分别交，于点，，交于点，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在方格纸中，和的顶点均在格点上，要使∽，则点所在的格点应为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，、分别是和的中点，，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心将放大得到若点、的横坐标分别为、，且，则线段的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，取一张长为，宽为的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边，应满足的条件是(    ) A. B. C. D. 8.如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段和相交于点，点在的延长线上，测得，，，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.已知：在四边形中，，，点是线段上一点，且平分，平分，给出下面四个结论：；；；上述结论中，所有正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 10.凸透镜成像的原理如图所示，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为：，则物体被缩小到原来的(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，在矩形中，若，，，则的长为          ． 12.如图，已知，，则          ． 13.如图，、分别是的边、上的点，，若：：，则 ______． 14.如图，有一块三角形余料，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为：的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为______． 15.如图，小雅同学在利用标杆测量建筑物的高度时，测得标杆高，又知：：，则建筑物的高是______． 16.墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示的小孔成像实验中可简化为数学问题：与相交于点，若点到的距离为，点到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 某市唐朝古塔图所示，我校社会实践小组为了测量塔的高度，如图：在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆沿方向平移米到点处米这时地面上的点，标杆的顶端点，塔尖点正好又在同一直线上，测得米，点，，，与塔底处的点在同一直线上，已知，，请你根据以上数据，计算此塔的高度有多少米？ 18.本小题分 如图，在中，为边上一点，． 求证：； 若，，求的长． 19.本小题分 如图，点是菱形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形∽菱形，相似比是，连接，． 求证：． 若，，求的长． 20.本小题分 如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶在同一直线上．已知纸板的两条边，，延长交于点，测得边离地面的高度，，求树高． 21.本小题分 如图，在梯形中，，点，分别在线段，上，且，． 求证：； 若，求证：． 22.本小题分 如图、在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． 在轴右侧，以为位似中心，将按相似比为：缩小，画出； 写出各顶点的坐标； 若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______． 23.本小题分 如图，，与相交于点，．    求证：； 若，，，求的长． 24.本小题分 如图， ，试说明：． 答案和解析 1.【答案】  【解析】∽，， ，， ， 故选A． 2.【答案】  【解析】解：菱形周长为， ， 对角线、交于点，， ，， ， ：：，， ，， ， ∽， ， ， 解得：． 故选：． 利用菱形的性质得出其边长以及对角线的长，进而利用相似三角形的判定与性质得出的长． 此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出∽是解题关键． 3.【答案】  【解析】解：，， 四边形是平行四边形， ， 设， ， ， ， ∽， ， ， ， ，即， 解得， 故选：． 由，，得四边形是平行四边形，，设，由∽，可得，即可解得答案． 本题考查相似三角形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例，列出方程解决问题． 4.【答案】  【解析】设每个小正方形的边长为．，，时，∽．，，点落在处故选C． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理． 由、分别是、的中点，可得、，则有∽，，即可得到答案． 【解答】 解：D、分别是、的中点， ，， ∽， ， ， ， ，． 故选D． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或根据位似变换的性质得到∽，且相似比为：，根据相似比等于位似比计算即可． 【解答】 解：以原点为位似中心，将放大得到，点、的横坐标分别为、，， ∽，且相似比为：， ， ， ． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解． 【解答】 解：对折两次后的小长方形的长为，宽为， 小长方形与原长方形相似， ， ． 故选B． 8.【答案】  【解析】解：，，，， ，， ， ， ∽， ， ， 故选：． 根据已知易得：，从而可得∽，然后利用相似三角形的性质可得，从而利用平角定义进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键．根据和平分，平分推出即可证明，可证明正确；根据推出，根据推出，从而推出，即可推出，可证明正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出，可证明正确，不正确；即可选出正确答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， ， ， 故正确； ， ， ，， ， ， ， 故正确； 在和中， ，， ， ，， ，故正确；，故不正确． 正确的有． 故选： 10.【答案】  【解析】解：，，， 四边形为矩形， ， ，， ∽， ， ， 物体被缩小到原来的． 故选：． 先证出四边形为矩形，得到，再根据∽，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键． 11.【答案】  【解析】四边形是矩形，，．，，．，，，． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．过作，交于，根据相似三角形的判定推出∽，∽，根据相似得出比例式，根据已知条件即可得出答案． 【解答】 解：过作，交于， ， ∽， ， ：：， ， 即， ：：， ， ， ∽， ， 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：， ∽， ， ， ， ∽， ， ， 即． 故答案为：． 先证明∽，则根据相似三角形的性质得到，再证明∽，利用相似三角形的性质得到，然后根据比例的性质求出的值． 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键． 14.【答案】  【解析】解：矩形中，，， ， ， ， ， ∽， ， 矩形零件的长与宽的比为：， 设，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为：． 故答案为：． 直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 此题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 15.【答案】  【解析】解：，， ∽， ：：， ：：， ：：， ， ， 故答案为：． 先证明∽，根据相似三角形的性质可得：：，根据已知条件即可求出的值． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：， ，， ∽， 又点到的距离为，点到的距离为， ， ． 故答案为：． 先证明∽，再根据相似三角形对应高的比等于相似比得到，即可得到答案． 此题考查了相似三角形的判定和性质，熟知“相似三角形对应高的比等于相似比”是解题的关键． 17.【答案】解：，，， ， ， ∽， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， 米， 答：此塔的高度有米．  【解析】根据垂直的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键． 18.【答案】解：，， ； ， ， ，， ．  【解析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 根据相似三角形的判定即可求出答案． 根据相似三角形的性质即可求出的长度． 19.【答案】【小题】 证明：菱形∽菱形，，，，，．，，，． 【小题】 如图，连接交于点，则． ，． 菱形∽菱形，相似比是，，，，，， ， ．   【解析】 见答案  见答案 20.【答案】解：，， ，， ∽， ， 即， 解得， 树高．  【解析】根据相似三角形的性质得到，据此可得的长，再根据线段的和差即可得到结论． 本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得∽． 21.【答案】【小题】 ，在和中，≌， 【小题】 由知，≌，，，即又，∽，由知，，，   【解析】 见答案  见答案 22.【答案】  【解析】解：如图，即为所求． 由图可得，，，． 由题意可得，点的坐标为 故答案为： 根据位似的性质作图即可． 由图可得答案． 由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 23.【答案】解：证明：， ． ， ， 又， ∽， ， ． ， ，， ∽， ， ， ． ，， ∽， ， ，即， ．  【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握利用相似三角形的性质求线段长的思路与方法． 根据平行线的性质得出，根据，得出，再根据，得出∽，进而得出，即可证明结论成立； 根据，得出，，进一步得出∽，利用相似三角形的性质得出，求出，，证明∽，得出，进一步得出，即，求出，即可求解． 24.【答案】证明：， ∽三边对应相等的两个三角形相似， ， 等式的基本性质， ．  【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，主要考查了三边对应相等的两个三角形相似这个知识点．由，可得∽，从而得出，即可得出． 学科网（北京）股份有限公司 $$