精品解析：2023年湖南省桂阳县第三中学中考模拟数学试题

湖南省桂阳县桂阳三中2023年九年级下册中考模拟卷 一、选择题 1. a、b两数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A. a＞b B. |a|＝﹣a C. a＜﹣b D. |a|＞|b| 2. 我国已经进入5G时代，自动驾驶技术和远程外科手术技术得以进一步发展．下列通信公司标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2021年3月20日至29日，“2021粤港澳大湾区深圳花展”将在深圳仙湖植物园开幕，届时将有7.1万m2的绝美花海，19个国家，5大主题，38座花园供游客欣赏．数据7.1万m2用科学记数法表示为（　　） A. 71×104m2 B. 7.1×104m2 C. 7.1×105m2 D. 0.71×105m2 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，口袋中白球最有可能有（　　）个． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 年我市有名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 名考生是总体 B. 名考生是总体的一个样本 C. 名考生是样本容量 D. 每位考生的数学成绩是个体 7. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠3＝30°，则∠2＝（　　） A. 50° B. 60° C. 30° D. 20° 9. 如图，正比例函数y＝kx和y＝ax（a＞0）的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象分别相交于A点和C点．若Rt△AOB和Rt△COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（ ） A. S1＞S2 B. S1＝S2 C. S1＜S2 D. 不能确定 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ） A. 7 B. 5 C. D. 二、填空题 11. 若分式有意义，则a的取值范围是_________． 12. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们平均成绩都是9环，方差分别是s甲2＝0.23，s乙2＝0.3，s丙2＝0.35，s丁2＝0.4，从成绩稳定上看，你认为谁去最合适 _____． 13. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 295 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 “摸到白球的”的概率的估计值是 _____（精确到0.1）； 14. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 15. 若一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则＝_____． 16. 如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝2cm，DH＝4cm，AB＝5cm，那么AG＝____cm． 17. 如图是一个无底帐篷的三视图，该帐篷的表面积是_______（结果保留π）． 三、解答题 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若，求证：四边形是矩形． 21. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部； （2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 22. 为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共吨，甲物资单价为万元/吨，乙物资单价为万元吨，采购两种物资共花费万元． （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨? （2）现在计划安排两种不同规格的卡车共辆来运输这批物资．甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车；甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车．按此要求安排两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案? 23. 如图，为了测量山坡上一棵树的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为，然后他沿着正对树的方向前进到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是和，设垂直于，且垂足为C． （1）求的度数； （2）求树的高度（结果精确到，）． 24. 如图，AB是⊙O的直径，DA与⊙O相切于点A． （1）若OD平分∠ADE，求证：DE是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，若AE=8，AD=6，求⊙O的半径． 25. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图形研究函数性质及其应用的过程，以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）该函数自变量x的取值范围是______． （2）请把下表补充完整，并在给出的图中画出该函数的大致图象： x … 0 2 3 4 7 … … 1 0 a 8 5 4 b … ______，______； （3）请根据这个函数的图象，写出该函数的二条性质：______；______； （4）应用：结合图形，直接写出的解集． 26. 如图①，在△ABC中，点D与点E分别为CA，CB上的点，．现将△CDE绕点C顺时针方向旋转，连接AD，BE． （1）在图②中，求证：△ACD∽△BCE； （2）若∠C＝90°，CA＝CB＝2，点D与点E分别为CA，CB的中点． ①如图③，当△CDE旋转到B，D，E三点一线且D在B，E之间时，求AD的长度； ②求在△CDE旋转过程中△ABE面积的最大值． 27. 如图，抛物线经过点，与x轴相交于B，C两点，点B在点C的左边． （1）求抛物线的函数表达式与B，C两点坐标； （2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线翻折得到，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标； （3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省桂阳县桂阳三中2023年九年级下册中考模拟卷 一、选择题 1. a、b两数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A. a＞b B. |a|＝﹣a C. a＜﹣b D. |a|＞|b| 【答案】B 【解析】 【分析】先由数轴上a，b两点的位置确定a，b的符号及绝对值的大小，然后依次判断即可求解． 【详解】解：根据数轴得到，且， A、D选项错误； B、∵， ∴，选项正确； C、∵且， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，熟练掌握运用这些基本知识点是解题关键． 2. 我国已经进入5G时代，自动驾驶技术和远程外科手术技术得以进一步发展．下列通信公司标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合． 3. 2021年3月20日至29日，“2021粤港澳大湾区深圳花展”将在深圳仙湖植物园开幕，届时将有7.1万m2的绝美花海，19个国家，5大主题，38座花园供游客欣赏．数据7.1万m2用科学记数法表示为（　　） A. 71×104m2 B. 7.1×104m2 C. 7.1×105m2 D. 0.71×105m2 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中0≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：7.1万． 故选B． 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示较大的数，正确的确定a和n的值是解答本题的关键． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式的减法运算可判断A，由同类二次根式的含义可判断B，由二次根式的乘法运算可判断C，D，从而可得答案. 【详解】解：A、故A符合题意； B、不是同类二次根式，不能合并，故B不符合题意； C、故C不符合题意； D、故D不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查的是同类二次根式的含义，二次根式的加减，二次根式的乘法，掌握“二次根式的加减运算与乘法运算的运算法则”是解本题的关键. 5. 一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，口袋中白球最有可能有（　　）个． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先设口袋中白球可能有x个，根据摸到红球的频率稳定在20%附近，得出口袋中摸到红色球的概率为20%，再根据概率公式列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设口袋中白球可能有x个， ∵摸到红球的频率稳定在20%附近， ∴口袋中摸到红色球的概率为20%， ∴＝20%， 解得：x＝8， 经检验x＝8是原方程的根， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． 6. 年我市有名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 名考生是总体 B. 名考生是总体的一个样本 C. 名考生是样本容量 D. 每位考生的数学成绩是个体 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体、样本、样本容量、个体等知识．熟练掌握总体、样本、样本容量、个体是解题的关键． 根据总体、样本、样本容量、个体对各选项判断即可． 【详解】解：由题意知，名考生的数学成绩是总体，A错误，故不符合要求； 名考生的数学成绩是总体的一个样本，B错误，故不符合要求； 是样本容量，C错误，故不符合要求； 每位考生的数学成绩是个体，D正确，故符合要求； 故选：D． 7. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 8. 如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝20°，∠3＝30°，则∠2＝（　　） A. 50° B. 60° C. 30° D. 20° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠4，从而得解． 【详解】解：如图，∵∠1=20°，∠3=30°， ∴∠4=∠1+∠3=20°+30°=50°， ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2=∠4=50°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 9. 如图，正比例函数y＝kx和y＝ax（a＞0）的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象分别相交于A点和C点．若Rt△AOB和Rt△COD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是（ ） A. S1＞S2 B. S1＝S2 C. S1＜S2 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】由于A、C两点在反比例函数图象上，则直角三角形AOB与直角三角形COD的面积都为|k|，相等． 【详解】解：由题意得：A、C两点在反比例函数图象上，则过两点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 因此，直角三角形AOB与直角三角形COD的面积S1＝S2＝|k|． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ） A. 7 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题． 答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9， ∴PC2＝CM•CA， ∴， ∵∠PCM＝∠ACP， ∴△PCM∽△ACP， ∴， ∴PMPA， ∴AP+BP＝PM+PB， ∵PM+PB≥BM， 在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7， ∴BM5， ∴AP+BP≥5， ∴AP+BP的最小值为5． 故选：B． 二、填空题 11. 若分式有意义，则a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即分母不为0，进而求得a的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴ 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 12. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们平均成绩都是9环，方差分别是s甲2＝0.23，s乙2＝0.3，s丙2＝0.35，s丁2＝0.4，从成绩稳定上看，你认为谁去最合适 _____． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大可得答案． 【详解】解：∵0.23＜0.3＜0.35＜0.4， ∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2， ∴甲的成绩稳定， ∴选甲最合适， 故答案为：甲． 【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差的意义． 13. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 295 480 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 “摸到白球的”的概率的估计值是 _____（精确到0.1）； 【答案】0.6 【解析】 【分析】根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6． 【详解】解：由表可知：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14. 若正多边形的每一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 【详解】∵正多边形的一个内角是140°， ∴它的一个外角是：180°-140°=40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故答案为：9． 15. 若一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，则＝_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，再通分得到然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣1， 所以． 故答案为﹣3． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一般不解方程，求含有一元二次方程两根的代数式的值时，通常分两步完成：（1）由方程得到：x1+x2、x1x2的值（前提是“根的判别式△≥0 ”）；（2）把要求值的代数式变形为用含“x1+x2”和“x1x2”表达的形式，再代值计算即可． 16. 如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝2cm，DH＝4cm，AB＝5cm，那么AG＝____cm． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例可得代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴ CH＝2cm，DH＝4cm，AB＝5cm， cm 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 17. 如图是一个无底帐篷的三视图，该帐篷的表面积是_______（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图得到每顶帐篷由圆锥的侧面和圆柱的侧面组成，且圆锥的母线长为8，底面圆的半径为，圆锥的高为6，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，圆柱的侧面展开图为矩形，则根据扇形的面积公式和矩形的面积公式分别进行计算，然后求它们的和积． 【详解】解：根据三视图得圆锥的母线长为8，底面圆的半径为， 所以圆锥的侧面积，圆柱的侧面积， 所以每顶帐篷的表面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，三视图，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 三、解答题 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1. 【解析】 【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】 = = = = =， 当时，原式. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式加减法的运算法则以及二次根式混合运算的法则是解题的关键. 20. 如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，， ∴，． ∵E为的中点， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，． ∵，延长交的延长线于点F， ∴， ∴四边形ABFC是平行四边形． ∵，， ∴． ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和E为的中点，易得，得到，，结合得到四边形ABFC是平行四边形，再利用，得到 ，最后利用矩形的判定定理判定即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，得到是解答关键． 21. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部； （2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率． 【答案】（1）1，2； （2）°； （3）补全统计图如图所示． （4） 【解析】 【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数； （2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角； （3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整； （4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率． 【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40， ∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6， ∴本次调查所得数据的众数是1部， ∵2+14+10=26＞21，2+14＜20， ∴中位数为2部． 故答案为：1，2 （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为： 故答案为：72°. （3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人 （4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D， 画树状图可得： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，． 故答案为：． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 22. 为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共吨，甲物资单价为万元/吨，乙物资单价为万元吨，采购两种物资共花费万元． （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨? （2）现在计划安排两种不同规格的卡车共辆来运输这批物资．甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车；甲物资吨和乙物资吨可装满一辆型卡车．按此要求安排两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案? 【答案】（1）甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨；（2）共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车． 【解析】 【分析】（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物资及240吨乙物资，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案． 【详解】解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨， 依题意，得：， 解得：． 答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨． （2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50-m）辆， 依题意，得：， 解得：25≤m≤27． ∵m为正整数， ∴m可以为25，26，27， ∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23. 如图，为了测量山坡上一棵树的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为，然后他沿着正对树的方向前进到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是和，设垂直于，且垂足为C． （1）求的度数； （2）求树的高度（结果精确到，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，则，，根据，计算求解即可； （2）由（1）可知，，则，，则，，，，由，可得，即，计算求解，进而可求的值． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ∴，， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， 设， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， ∴树的高度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等角对等边，正弦、余弦、正切等知识．熟练掌握解直角三角形的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等角对等边，正弦、余弦、正切是解题的关键． 24. 如图，AB是⊙O的直径，DA与⊙O相切于点A． （1）若OD平分∠ADE，求证：DE是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，若AE=8，AD=6，求⊙O的半径． 【答案】（1） 证明：如图，作，垂足为 由题意知， 在和中 ∵ ∴ ∴， ∴是半径 又∵ ∴DE是⊙O的切线． （2）3 【解析】 【分析】（1）如图，作，垂足为，证明，有，可知是半径，进而结论可证； （2）由题意知，在中，由勾股定理得求出的值，由求出的值，设⊙O的半径为，在中，由勾股定理得，求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知 在中，由勾股定理得 ∴ 设⊙O的半径为 在中，由勾股定理得 ∴ 解得 ∴⊙O的半径为3． 【点睛】本题考查了角平分线，切线的判定，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 25. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图形研究函数性质及其应用的过程，以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． （1）该函数自变量x的取值范围是______． （2）请把下表补充完整，并在给出的图中画出该函数的大致图象： x … 0 2 3 4 7 … … 1 0 a 8 5 4 b … ______，______； （3）请根据这个函数的图象，写出该函数的二条性质：______；______； （4）应用：结合图形，直接写出的解集． 【答案】（1）x≠1 （2）-4，3； 画出函数的图象如图： （3）该函数图象是中心对称图形，它的对称中心为（1，2）；当x＞1时，y随x的增大而减小； （4）不等式x＞的解集为-2＜x＜1或x＞3． 【解析】 【分析】（1）根据分母，不等于0，即可求得； （2）将x=0，7分别代入解析式即可得a、b的值，再画出函数的图象； （2）结合图象即可求得； （3）根据图象求得即可． 【小问1详解】 解：该函数自变量x的取值范围是x≠1， 故答案为：x≠1； 【小问2详解】 解：把x=0代入y=+2得，y=+2=-4； 把x=7代入y=+2得，y=+2=3， ∴a=-4，b=3， 故答案为：-4，3； 【小问3详解】 解：①该函数图象是中心对称图形，它的对称中心为（1，2）； ②当x＞1时，y随x的增大而减小； 故答案为：该函数图象是中心对称图形，它的对称中心为（1，2）；当x＞1时，y随x的增大而减小； 【小问4详解】 解：∵函数y=+2图象过点（-2，0），（3，5）， ∴函数y=图象过点（-2，-2），（3，3）， ∵直线y=x过点（-2，-2），（3，3）， 由图象可知：不等式x＞的解集为-2＜x＜1或x＞3． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． 26. 如图①，在△ABC中，点D与点E分别为CA，CB上的点，．现将△CDE绕点C顺时针方向旋转，连接AD，BE． （1）在图②中，求证：△ACD∽△BCE； （2）若∠C＝90°，CA＝CB＝2，点D与点E分别为CA，CB的中点． ①如图③，当△CDE旋转到B，D，E三点一线且D在B，E之间时，求AD的长度； ②求在△CDE旋转过程中△ABE面积的最大值． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）①；②2＋ 【解析】 【分析】（1）由可得△CDE∽△CAB，根据相似三角形的性质得，∠ACB＝∠DCE，可得∠ACD＝∠BCE，即可得△ACD∽△BCE； （2）①由已知可得△ABC和△CDE是等腰直角三角形，由SAS证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质可得∠ADC＝∠E＝45°，则∠ADB＝∠ADE＝90°，根据购股定理求出AB＝2，DE＝，设BD＝a，则AD＝BE＝a＋，在Rt△ABD中，由勾股定理可求出a＝，即可得出AD的长度；②过点C作CM⊥AB于M，过点E作EN⊥AB于N，过点C作CP⊥EN于P，则四边形CMNP是矩形，CM＝PN，由S△ABE＝AB•EN，可得出当E、C、M三点共线时EN取最大值，根据等腰直角三角形的性质求出CM＝，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴△CDE∽△CAB， ∴，∠ACB＝∠DCE， ∴在图②中，∠ACD＝∠BCE，， ∴△ACD∽△BCE； 【小问2详解】 ①∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，点D与点E分别为CA，CB的中点， ∴CD＝CE＝1，AB＝2， 由旋转得：∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠E＝∠CDE＝45°，DE＝，∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠E＝45°，AD＝BE， ∴∠ADB＝∠ADE＝∠ADC＝∠CDE＝90°， 设BD＝a，则AD＝BE＝a＋， 在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2， ∴（2）2＝（a＋）2＋a2， 解得：，（舍去）， ∴AD＝a＋＝＋＝； ②过点C作CM⊥AB于M，过点E作EN⊥AB于N，过点C作CP⊥EN于P， ∴四边形CMNP是矩形， ∴CM＝PN， ∵S△ABE＝AB•EN，EN＝EP＋PN＝EP＋CM， ∴S△ABE＝AB•（EP＋CM）， ∵CP⊥EN， ∴CE＞PE， ∴CE＋CM＞PE＋CM， ∴当E、C、M三点共线时EN取最大值， ∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，点D与点E分别为CA，CB的中点． ∴CD＝CE＝1，AB＝2， ∵CM⊥AB， ∴CM＝， ∴CE＋CM＝＋1， ∴△ABE面积的最大值＝×2×（＋1）＝2＋． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，作出辅助线得出E、C、M三点共线时EN取最大值是解本题的关键． 27. 如图，抛物线经过点，与x轴相交于B，C两点，点B在点C的左边． （1）求抛物线的函数表达式与B，C两点坐标； （2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线翻折得到，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标； （3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式． 【答案】（1），，；（2），；（3）直线的函数表达式为或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过点，可得c的值，令y=0，得方程求出x的值即可； （2）根据题意和翻折的性质，可以求得点C′和点D的坐标，本题得以解决； （3）取（2）中的点，D，连接，为等边三角形，然后分点P在x轴的上方和点P在x轴的下方两种情况求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：过点， ∴抛物线的函数表达式为， ，C是抛物线与x的交点， ∴令y=0，得方程 解得， ∵点B在点C的左边 ，， （2）∵抛物线与x轴交于，， ， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为，， 由翻折得， 在，由勾定理，得 ∴点的坐标为， ∵， ∴， 由翻折得， 在中，， ∴点D的坐标为． （3）解：取（2）中的点，D，连接， ， 为等边三角形．分类讨论如下： ①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接，． ，为等边三角形， ，，， ， ， ． ∵点Q在抛物线的对称轴上， ， ， 又， 垂直平分， 由翻折可知垂直平分， ∴点D在直线上， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为． ②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方． ，为等边三角形， ，，． ， ， ， ，， ． ， 设与y轴相交于点E， 在中，， ∴点E的坐标为． 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为 综上所述，直线的函数表达式为或． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、翻折变化、二次函数的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $