21.2 解一元二次方程（9大题型）-2024-2025学年九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

21.2 解一元二次方程 【考点归纳】 · 考点一：直接开平方法解一元二次方程 · 考点二、配方法解一元二次方程 · 考点三、根据判别式判断一元二次方程根的情况 · 考点四、根据一元二次方程根的情况求参数 · 考点五、公式法解一元二次方程 · 考点六、因式分解法解一元二次方程 · 考点七、换元法解一元二次方程 · 考点八：用合适的方法解一元二次方程 · 考点九：解一元二次方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一 直接开平方法 （1）依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程． （2）步骤： ①将方程转化为（或）的形式； ②分三种情况降次求解： （ⅰ）当时，，； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，方程无实数根． 知识点二 配方法 （1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． （2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：将常数项移到方程等号的右边． 二除：如果二次项系数不是，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为． 三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式． 四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根． （3）配方法解一元二次方程： ①配方后，化为型的方程，当时，可用直接开方法求解． ②若时，方程有两相等的根，即，而不是一个根． ③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况． 知识点三 公式法 （1）一元二次方程根的判别式： 一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即． ①当>0时，方程有两个不相等的实数根，即． ②当=0时，方程有两个相等的实数根，即． ③当<0时，方程没有实数根． （2）求根公式：当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）公式法解一元二次方程的步骤： ①把方程化为一般形式； ②确定、、的值； ③计算的值； ④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根． 知识点四 因式分解法 （1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式． （2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为． （3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解． 知识点五 选择合适的方法解一元二次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接降次法 平方根的意义 形如或的一元二次方程 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 若，则或 一边为，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 ⑴在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法． ⑵如果二次项系数为，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法． 【题型探究】 题型一：直接开平方法解一元二次方程 1．（24-25九年级上·全国）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南南阳·模拟预测）若一元二次方程的两个根分别是和，则的值是（   ） A．2 B．3 C． D． 3．（23-24九年级上·天津河西·期末）运用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 题型二、配方法解一元二次方程 4．（23-24九年级上·福建漳州·期末）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·山东潍坊·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·全国）用配方法解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型三、根据判别式判断一元二次方程根的情况 7．（2024·广西·模拟预测）一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 8．（2024·河南商丘·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若c是方程的一个实数根，则一定有成立 C．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根 D．若m是方程的一个实数根，则 题型四、根据一元二次方程根的情况求参数 10．（2024九年级上·河南）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．（2024·云南大理·一模）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 12．（2024·河南周口·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（    ） A．4 B． C．16 D． 题型五、公式法解一元二次方程 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，正确代入求根公式的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 15．（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型六、因式分解法解一元二次方程 16．（24-25九年级上·全国）下列方程，不适合用因式分解法求解的是（　　） A． B． C． D． 17．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： (1)．(2)(3) 题型七、换元法解一元二次方程 19．（2024九年级上·江苏）方程，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或3 B．1或3 C．或 D．1或 21．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 题型八：用合适的方法解一元二次方程 22．（23-24七年级下·山东·期末）解方程． (1)（公式法）；(2)（配方法）；(3)（因式分解法）． 23．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 24．（2024九年级上·全国）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 题型九：解一元二次方程的综合问题 25．（23-24八年级下·广西贺州·期末）已知关于x的方程． (1)求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根． 26．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)设，满足等式，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 27．（23-24八年级下·山东济南·期末）阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将变形为， ． ． ． ． 或． 原方程有三个根：，，． ②换元法求解特殊的四次方程： 设，那么，于是原方程可变为，解得，， 当，时，； 当，时，； 原方程有四个根：，，，． 【应用新知】 （1）仿照以上方法，按照要求解方程： ①（因式分解法）； ②（换元法）； 【拓展延伸】 （2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值． 【高分演练】 一、单选题 28．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（2024·甘肃金昌·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则可取的最小整数是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 30．（23-24八年级下·河北张家口·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 31．（23-24八年级下·河北张家口·期末）利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 33．（2024九年级上·江苏·专题练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 34．（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 35．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知关于y的多项式是四次三项式，关于x的一元二次方程有实数根为a，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 36．（23-24九年级上·四川广安·期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为 ． 37．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 38．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ． 39．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 40．（2024九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 ． 三、解答题 41．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 42．（23-24九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 43．（23-24九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解方程： (1)．(2)．(3)．(4)． 44．（2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 45．（2024九年级上·江苏）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2)当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 46．（2024九年级上·全国）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2 解一元二次方程 【考点归纳】 · 考点一：直接开平方法解一元二次方程 · 考点二、配方法解一元二次方程 · 考点三、根据判别式判断一元二次方程根的情况 · 考点四、根据一元二次方程根的情况求参数 · 考点五、公式法解一元二次方程 · 考点六、因式分解法解一元二次方程 · 考点七、换元法解一元二次方程 · 考点八：用合适的方法解一元二次方程 · 考点九：解一元二次方程的综合问题 【知识梳理】 知识点一 直接开平方法 （1）依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程． （2）步骤： ①将方程转化为（或）的形式； ②分三种情况降次求解： （ⅰ）当时，，； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，方程无实数根． 知识点二 配方法 （1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． （2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：将常数项移到方程等号的右边． 二除：如果二次项系数不是，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为． 三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式． 四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根． （3）配方法解一元二次方程： ①配方后，化为型的方程，当时，可用直接开方法求解． ②若时，方程有两相等的根，即，而不是一个根． ③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况． 知识点三 公式法 （1）一元二次方程根的判别式： 一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即． ①当>0时，方程有两个不相等的实数根，即． ②当=0时，方程有两个相等的实数根，即． ③当<0时，方程没有实数根． （2）求根公式：当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）公式法解一元二次方程的步骤： ①把方程化为一般形式； ②确定、、的值； ③计算的值； ④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根． 知识点四 因式分解法 （1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式． （2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为． （3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解． 知识点五 选择合适的方法解一元二次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接降次法 平方根的意义 形如或的一元二次方程 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 若，则或 一边为，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程 ⑴在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法． ⑵如果二次项系数为，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法． 【题型探究】 题型一：直接开平方法解一元二次方程 1．（24-25九年级上·全国）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴． 故选B． 2．（2024·河南南阳·模拟预测）若一元二次方程的两个根分别是和，则的值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键．根据题意，易得，，首先利用直接开平方法求得方程的根为；分析可得该方程的两根互为相反数，根据相反数的性质可得，解方程即可求出的值；将的值代入、，即可得到方程的根，由即可求解． 【详解】解：由题意得，． 两边同时除以得， 直接开平方得． 方程的两个根互为相反数， ， ． 将代入与中，可得的两个根分别是2与． 又， ， ． 故选：A． 3．（23-24九年级上·天津河西·期末）运用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）运用直接开平方法解方程即可； （）运用直接开平方法解方程即可； 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤及方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴，． 题型二、配方法解一元二次方程 4．（23-24九年级上·福建漳州·期末）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积，根据配方法的原理，凑成完全平方式即可． 【详解】解：， 配方得：， ∴， 故选：A． 5．（2024·山东潍坊·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ，即， 则， 所以， 故选：B． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， ． (2)无实数根 (3) (4)，． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）先将原方程化为，再利用配方法解方程即可； （4）先将原方程，化为，再利用配方法解方程即可． 此题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： 配方，得， 即． ∴， ∴，． （2）解： 移项，得． 配方，得， 即， 所以原方程无实数根． （3）解： 原方程可化为． 配方，得， 即． ∴． （4）解： 原方程可化为． 配方，得， 即， 由此可得， ∴，． 题型三、根据判别式判断一元二次方程根的情况 7．（2024·广西·模拟预测）一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据得判断即可．本题考查了方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 8．（2024·河南商丘·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是记住一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据此并结合平方的非负性判断即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 则方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若c是方程的一个实数根，则一定有成立 C．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根 D．若m是方程的一个实数根，则 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、若，则是方程的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：，正确，故此选项不符合题意； B、是方程的一个根，，，当时，等式成立，当，，等式仍然成立，故不一定成立，故一定有成立错误，故此选项符合题意； C、∵方程没有实数根，，，方程的判别式，方程必有两个不相等的实根，正确，故此选项不符合题意； D、若m是一元二次方程的根，由求根公式可得：，，，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型四、根据一元二次方程根的情况求参数 10．（2024九年级上·河南）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此由求得m的取值范围即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程即有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 故选：A． 11．（2024·云南大理·一模）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【详解】题考查一元二次方程的解的情况，分为时，是一元一次方程有解，时，方程为一元二次方程，要求，根据两种情况解题即可． 【分析】本解：当时，即，这时方程为，解得； 当时，方程为一元二次方程，则， 解得且， 综上所述，m的取值范围是， 故选：A． 12．（2024·河南周口·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（    ） A．4 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况． 根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，从而列出关于 a 的方程，解方程即可． 【详解】解：关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ， ． 故选：A． 题型五、公式法解一元二次方程 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，正确代入求根公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查公式解一元二次方程，根据，，代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 14．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（    ） A． B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故选：D 15．（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 (4) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵ ∴， ∴， ∴原方程无解． （4）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 题型六、因式分解法解一元二次方程 16．（24-25九年级上·全国）下列方程，不适合用因式分解法求解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 根据因式分解解方程的方法进行判断． 【详解】解：A、可以提取公因式，利用因式分解法求解，故此选项不符合题意； B、方程整理为，再提取公因式，可以因式分解法求解，此选项不符合题意； C、不能用因式分解法求解，此选项符合题意； D、可以提取公因式，利用因式分解法求解，故此选项不符合题意． 故选：C． 17．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根据题意得出，进而解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有一个解为， ∴ ∴ 即 ∴ 解得： 故答案为：． 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）解方程： (1)． (2) (3) 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 因式分解得，，即， ∴或， ∴或． （2）解：， 因式分解得，，即， ∴或， ∴或． （3）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴或． 题型七、换元法解一元二次方程 19．（2024九年级上·江苏）方程，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要利用换元法变形，注意变形时与互为相反数，符号要变化．注意变形时符号的变化． 【详解】解：∵ ∴ 所以． 故选：D． 20．（2024九年级上·全国·专题练习）已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或3 B．1或3 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，先根据已知方程和方程的解，从而得到方程中的相当于第1个方程中的x，从而得到和，解方程即可． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程中，， ，， ，， 故选：C． 21．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)、 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程； （1）令，原方程化为，进而得出，，解方程，即可求解； （2）令，原方程化为，解得，，进而分别解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：令，原方程化为， 解得，． 当时，，解得． 当时，，解得． 原方程的解为：，， （2）令，原方程化为， 解得， 当时，（无意义舍去） 当时，，解得、． 原方程的解为、． 题型八：用合适的方法解一元二次方程 22．（23-24七年级下·山东·期末）解方程． (1)（公式法）；(2)（配方法）；(3)（因式分解法）． 【答案】(1)；(2)，；(3)，． 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）根据公式法直接求解即可； （2）先将二次项系数化为1，再移项，再进行配方，最后开平方即可求解； （3）先进行移项，再利用平方差公式进行因式分解即可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ∵， ∴， ∴； （2）解： 两边都除以2，得． 移项，得． 配方，得， 即， 开平方，得， 即，， ∴，． （3）解：原方程可变形为． ∴． ∴，， ∴，． 23．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：， 化简得， 解得：； （2）解：， 化简得， 配方得， 解得：； （3）解： 移项得， 化简得， 故或， 解得：； （4）解： 配方得， 即， 故或， 解得：． 24．（2024九年级上·全国）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1)(2)，(3)(4) 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 题型九：解一元二次方程的综合问题 25．（23-24八年级下·广西贺州·期末）已知关于x的方程． (1)求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，该方程的另一个根 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，以及一元二次方程的求解，熟记相关结论是解题关键． （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）将代入方程即可求得，据此即可求解； 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得：， 解得， 将代入方程，整理可得：， 即， 解得或， 该方程的另一个根． 26．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)设，满足等式，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 【答案】(1)； (2)，，，． 【分析】（）由已知等式设，得出，结合可得答案； （）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想． 【详解】（1）设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， （2）设最小正整数为，则， 即：， 设，则，解得：，， ∵为正整数， ∴，解得，（舍去）， ∴这四个连续正整数为，，，． 27．（23-24八年级下·山东济南·期末）阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将变形为， ． ． ． ． 或． 原方程有三个根：，，． ②换元法求解特殊的四次方程： 设，那么，于是原方程可变为，解得，， 当，时，； 当，时，； 原方程有四个根：，，，． 【应用新知】 （1）仿照以上方法，按照要求解方程： ①（因式分解法）； ②（换元法）； 【拓展延伸】 （2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值． 【答案】（1）①，，；②，；（2） 【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． （1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程即可； （2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题． 【详解】（1）①将变形为， ∴， ∴， ∴， . 或. 解方程得. 解方程得，， ∴原方程的根为：，，； ②， 设，则，方程变形为， ∴， 解得：， 当，时，无实根，舍去， 当，时，解得或； ∴原方程有两个根：，； （2）解：方程的解为：， 由于， ∴， ， ，， ， 当时， 原式 ． 【高分演练】 一、单选题 28．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）用配方法解方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 先移项、然后再给等式两边同时加上16，然后再化简即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：A． 29．（2024·甘肃金昌·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则可取的最小整数是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与的关系成为解题的关键． 利用根的判别式的意义得到，然后解不等式，最后确定c的最小整数值． 【详解】解：根据题意得，解得， 所以c的最小整数值是0． 故选：C． 30．（23-24八年级下·河北张家口·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：由题意知，甲中， 丙中， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 31．（23-24八年级下·河北张家口·期末）利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ∴， ， ， ∵一元二次方程式的两解为、，且， ∴的值为． 故选：A． 32．（23-24九年级上·湖北黄石·期末）以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； B． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C． ， ∴，故该选项正确，符合题意； D． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 33．（2024九年级上·江苏·专题练习）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，则，以及二次根式有意义的条件，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 【详解】解：由题意知： ∴，且． 故选：D． 34．（2024九年级上·江苏·专题练习）关于x的方程，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可． 【详解】解：设，则此方程可化为， ∴， ∴或， 解得，， ∴的值是1或． 当时，， ∵， ∴此方程无解， ∴的值是1． 故选：B． 35．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知关于y的多项式是四次三项式，关于x的一元二次方程有实数根为a，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，多项式的次数和项数，根据多项式的次数和项数，求出的值，根据方程的解，得到，根的判别式，求出的取值范围，进行求出的最小值即可． 【详解】解：∵是四次三项式， ∴，解得：， ∴方程，转化为：， ∵方程有实数根， ∴，， ∴，， ∴； 故选A． 二、填空题 36．（23-24九年级上·四川广安·期末）用配方法解方程，若配方后结果为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，再将两边都加上一次项系数一半得平方，配成完全平方式，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 37．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先把方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解方程和不等式得到m的值． 【详解】解：方程化为一般式为， 根据题意得且， 解得m， 即m的值为． 故答案为：． 38．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，先求出方程的解，进而可求出的值，据此可解决问题．熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：由方程得， ，． 因为方程的两个根与方程的两个根相同， 则将代入得， ， 解方程得， ，， 所以． 故答案为：． 39．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ． 【答案】 【详解】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 40．（2024九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，则原方程可化为，根据关于x的一元二次方程的解为，得到，于是得到结论． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ∵关于x的一元二次方程的解为， ∴， ∴或， 解得． 故答案为：． 三、解答题 41．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)无解 (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用合适的方法是解题的关键； （1）直接利用因式分解法即可求解； （2）左边先展开，再利用配方法求解即可； （3）利用公式法求解； （4）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 所以； （2）解：； 展开，得：，    配方，得， 即， 两边开平方根，得：， 所以，； （3）解：， ∵， ∴， 所以原方程无实数根； （4）解：， 即， 或， 所以． 42．（23-24九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3)， (4)， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）原方程可变形为， 即， 所以或， 即，． （2）原方程可变形为， 即， 所以． （3）原方程可变形为， 即， 所以或， 即，． （4）原方程可变形为， 即， 或， ∴，． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键． 43．（23-24九年级上·全国·课后作业）用适当的方法解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）原方程利用直接开平方法求解； （2）原方程利用公式法求解； （3）原方程利用因式分解法求解； （4）原方程利用配方法求解． 【详解】（1）两边开平方得：， ∴， ∴，． （2）∵，，，， ∴， ∴，． （3）原方程即为， ∴， 即， 则，， ∴，． （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点、灵活选用解方程的方法是关键． 44．（2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用配方法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 配方，得， 解得； （2）解：∵该方程有实数根， ∴， 解得， 即若该方程有实数根，的取值范围是． 45．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； (2)当a取何整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：⇔方程有两个不相等的实数根；⇔方程有两个相等的实数根；⇔方程没有实数根． （1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）先利用因式分解法求出方程的两根为，x2，再根据两个实数根均为负整数，得出必须为正整数，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵ ∴无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，或， 解得，． 要使两个实数根均为负整数，则必须为正整数， ∴整数． 46．（2024九年级上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系． （1）用m表示出根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）证明：由题知， ∵， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两个实数根为a，b， 所以，， 所以 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$