第04讲 三角形全等的判定（5个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第04讲 三角形全等的判定（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点2．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点3．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 知识点4．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点5．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 题型强化 题型一．全等三角形的判定 1．（2023秋•江陵县期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•东阳市期中）如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为　 　　． 3．（2023秋•滨海新区期末）已知：如图，，，． 求证：． 题型二．全等三角形的判定与性质 4．（2023秋•慈溪市期末）如图，点、在线段上，，，，与交于点，若，则的度数为 　　． 5．（2022秋•兰溪市校级月考）如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是　　 A．4 B．5 C．1 D．2 6．（2023秋•临海市期中）如图，在中，，，于，于． （1）求证：． （2），，求的长度． 题型三．全等三角形的应用 7．（2023秋•硚口区期末）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是　　 A． B． C． D． 8．（2022秋•陆丰市校级期中）如图所示，要测量河两岸相对的两点、的距离，在的垂线上取两点、，使，过作的垂线，与的延长线交于点，若测得的长为25米，则河宽长为 　　． 9．（2023秋•苍南县月考）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？ 题型四．角平分线的性质 10．（2022秋•云梦县期末）如图，已知的周长是22，、分别平分和，于，且，的面积是 　　． 11．（2023秋•洞头区校级月考）如图，在四边形中，，，连接，，．若是边上一动点，则长的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 12．（2023秋•长兴县期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 题型五．线段垂直平分线的性质 13．（2024•恩施市校级一模）如图，中边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•海曙区期末）如图，在中，，是的中垂线，分别交，于点，．已知，，则的周长是　　． 15．（2023秋•东阳市月考）已知，如图，是的高线，的垂直平分线分别交，于点，． （1）若，求的度数； （2）求证：． 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点、、在同一直线上，就能保证，可作为证明的依据的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是(      ) A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个锐角的和是锐角 4．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，已知，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，，连接，点 D 恰好在上， 则（   ） A．60 ° B．59 ° C．61 ° D．无法计算 6．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 7．（22-23八年级上·浙江舟山·期末）如图，已知，，能直接判断的方法是（   ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，P是的平分线上一点，，，垂足分别为D，E，若，则的长是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？下面的画法（    ） 解：（1）利用刻度尺在的两边上，分别取； （2）连接，利用刻度尺画出的中点E； （3）画射线所以射线为的角平分线．    A．正确，利用了（） B．正确，利用了（） C．正确，利用了（） D．不正确 10．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 二、填空题 11．（20-21八年级上·浙江衢州·期末）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是 ．（填“真命题”或“假命题”） 12．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，的周长为，的垂直平分线l分别交于点D，E，若，则的周长为 ． 13．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 度． 14．（20-21八年级上·江苏镇江·期末）如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在AB的延长线上，AD＝AC，BD＝BO，若∠ACB＝40°，则∠ABC的度数为 ． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，，平分交于D，，，则点D到的距离为 cm． 16．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知，，，若平分，平分外角，连接，则的度数为 ． 三、解答题 17．（22-23八年级上·浙江金华·期中）如图，点B、D、C、F在同一条直线上，，，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得，并说明理由． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，已知； 求证：． 证明：（_______________） 即_______________ （_______________） 在和中 （_______________） （_______________） 21．（23-24八年级上·浙江温州·期中）看图填空：如图，已知，，试说明． 证明：∵ ∴ （两直线平行，同位角相等） ∵ ∴ ； 即： 在和中 ∴（ ）． 22．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，．求证：． 23．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知，．求证：． 下面是两位同学的对话： 方方说：根据条件，找不到全等三角形． 圆圆说：如果添加辅助线，就可以找到全等三角形了． 请根据提示，给出证明． 24．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 三角形全等的判定（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 知识点2．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 知识点3．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 知识点4．角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 知识点5．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 题型强化 题型一．全等三角形的判定 1．（2023秋•江陵县期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：． 【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 2．（2023秋•东阳市期中）如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为　 　或6或8　． 【分析】根据垂直的定义及直角三角形的性质易证，．只需，就可得到与全等，然后只需根据点和点不同位置进行分类讨论即可解决问题． 【解答】解：于，于， ， ， ， ， ， ①当时，点在上，点在上，如图， 此时有，，，． 当即， 解得，不合题意舍去； ②当时，点在上，点也在上，如图， 若，则点与点重合，即， 解得； ③当时，点在上，点在上，如图， 当即， 解得； ④当时，点停在点处，点在上，如图， 当即， 解得； 综上所述：当等于或6或8时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等． 故答案为：或6或8． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 3．（2023秋•滨海新区期末）已知：如图，，，． 求证：． 【分析】根据求出，根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】证明：， ， 即， ， ， 在和中， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有． 题型二．全等三角形的判定与性质 4．（2023秋•慈溪市期末）如图，点、在线段上，，，，与交于点，若，则的度数为 　　． 【分析】首先证明，然后利用即可证得，根据全等三角形的对应角相等及三角形外角性质求解即可． 【解答】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三角形全等的条件是关键． 5．（2022秋•兰溪市校级月考）如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是　　 A．4 B．5 C．1 D．2 【分析】由垂直于，垂直于，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用得到三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，由，即即可求出的长． 【解答】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 则． 故选：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 6．（2023秋•临海市期中）如图，在中，，，于，于． （1）求证：． （2），，求的长度． 【分析】（1）结合条件利用直角三角形的性质可得，利用和证得全等； （2）由全等三角形的性质可求得，利用线段的和差可求得的长度． 【解答】（1）证明：，， ， （同角的余角相等）， 在与中 ； （2）解：由（1）知，， 则，． ， ， 即的长度是． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 题型三．全等三角形的应用 7．（2023秋•硚口区期末）如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：如图，、、都可以测量， 即他的依据是． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，准确识图，并熟记全等三角形的判定方法是解题的关键． 8．（2022秋•陆丰市校级期中）如图所示，要测量河两岸相对的两点、的距离，在的垂线上取两点、，使，过作的垂线，与的延长线交于点，若测得的长为25米，则河宽长为 　25米　． 【分析】利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得． 【解答】解：在和中，， ， 米． 故答案为：25米． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟练掌握全等三角形的判定方法并确定出全等三角形是解题的关键． 9．（2023秋•苍南县月考）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？ 【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出，进而得出答案． 【解答】解：始终平分同一平面内两条伞骨所成的， 理由：在和中 ， ， ， 即平分． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确得出是解题关键． 题型四．角平分线的性质 10．（2022秋•云梦县期末）如图，已知的周长是22，、分别平分和，于，且，的面积是 　33　． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点到、、的距离都相等，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【解答】解：如图，连接， 、分别平分和， 点到、、的距离都相等， 的周长是22，于，且， ． 故答案为：33． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键． 11．（2023秋•洞头区校级月考）如图，在四边形中，，，连接，，．若是边上一动点，则长的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据垂线段最短得出当时，的长度最小，求出，根据角平分线的性质得出即可得出结论． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 当时，的长度最小， ， ， ， 的最小值是4， 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当时，的长度最小是解此题的关键． 12．（2023秋•长兴县期末）如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为点、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据，是的中点，根据角平分线的性质即可得出结论． （2）根据直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】（1）证明：连接， 是的中点，， 平分， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握． 题型五．线段垂直平分线的性质 13．（2024•恩施市校级一模）如图，中边的垂直平分线分别交，于点，，，的周长为，则的周长是　　 A． B． C． D． 【分析】求的周长，已经知道，则知道，只需求得即可，根据线段垂直平分线的性质得，于是等于的周长，答案可得． 【解答】解：的垂直平分， ，， ，的周长为， 的周长是， 故选：． 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．对线段进行等效转移时解答本题的关键． 14．（2023秋•海曙区期末）如图，在中，，是的中垂线，分别交，于点，．已知，，则的周长是　14　． 【分析】根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：，，， ， 是的中垂线， ， 的周长， 故答案为：14． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15．（2023秋•东阳市月考）已知，如图，是的高线，的垂直平分线分别交，于点，． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的概念得到，证明，根据平行线的性质解答即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，由（1）的结论证明即可． 【解答】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， ； （2）证明：是的垂直平分线， ，， ， 由（1）可知，， ． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使，，，点、、在同一直线上，就能保证，可作为证明的依据的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 直接利用全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：，， ， 在和中， ， 证明的依据的是， 故选：． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴，即为的平分线． 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 3．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个锐角的和是锐角 【答案】A 【分析】根据平行线的性质、对顶角的定义、全等三角形的判定依次进行判断即可． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的定义、全等三角形的判定，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题为假命题，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，故原命题为假命题，不符合题意； D、两个锐角的和是锐角、直角或钝角，故原命题为假命题，不符合题意； 故选：A． 4．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，已知，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，并会灵活选用合适的方法解答是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， A. ，利用可以得到，不符合题意； B. ，不能证明，符合题意； C. ，利用可以得到，不符合题意； D. ，利用可以得到，不符合题意； 故选B． 5．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，，连接，点 D 恰好在上， 则（   ） A．60 ° B．59 ° C．61 ° D．无法计算 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质．先证明，得到，再根据三角形的外角的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（    ）    A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】在上取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边即可求解. 【详解】在上截取连接,    ， ， ∵点是平分线上的一点， ， 在和中, ， ， ， ， 解得 故选A. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键. 7．（22-23八年级上·浙江舟山·期末）如图，已知，，能直接判断的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：C． 8．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，P是的平分线上一点，，，垂足分别为D，E，若，则的长是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的性质主要有角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【详解】解：∵P是的平分线上一点，，， ∴， 故选C． 9．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？下面的画法（    ） 解：（1）利用刻度尺在的两边上，分别取； （2）连接，利用刻度尺画出的中点E； （3）画射线所以射线为的角平分线．    A．正确，利用了（） B．正确，利用了（） C．正确，利用了（） D．不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．只需要利用证明即可证明，则是的角平分线． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选A 10．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 连接、，由的平分线与的垂直平分线相较于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，从而得到，可证的，则可得，即可得到结果． 【详解】连接、， 是的平分线，，， ，， ， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ，， ． 故选：B 二、填空题 11．（20-21八年级上·浙江衢州·期末）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”是 ．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】真命题 【分析】根据命题由条件是否能得出结论即可． 【详解】解：命题：“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”是真命题． 如图CD⊥AB，且AC=BC，求证AD=BD， 证明：∵CD⊥AB， ∴∠ACD=∠BCD=90°， 在△ADC和△BDC中， ∵ ∴△ADC≌△BDC（SAS）， ∴AD=BD， ∴线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是真命题 故答案为：真命题． 【点睛】本题考查了命题真假问题，三角形全等判定，掌握命题真假问题判断方法，三角形全等判定是解题关键． 12．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，的周长为，的垂直平分线l分别交于点D，E，若，则的周长为 ． 【答案】/12厘米 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等．根据垂直平分线的性质，得到，然后通过等量代换计算，即可得到的周长． 【详解】解： 的垂直平分线l分别交于点D，E， ，， 的周长为， 的周长． 故答案为：． 13．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，三角形形内角和定理，先证明，得到，再由，求出，即可求得． 【详解】解：解：∵平分， ∴， ∵，， ∴在和中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 14．（20-21八年级上·江苏镇江·期末）如图，△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在AB的延长线上，AD＝AC，BD＝BO，若∠ACB＝40°，则∠ABC的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】连接，，利用证明，则，根据角平分线的定义得到，再利用三角形外角性质得出，最后根据角平分线的定义即可得解． 【详解】解：连接，， 平分， ， 在和中， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，解题的关键是利用证明． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，，平分交于D，，，则点D到的距离为 cm． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质，过D作于E，根据角平分线的性质得出，求出即可,牢记角平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：过D作于E， 平分交于D，， ， 即D到的距离为 故答案为：3． 16．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知，，，若平分，平分外角，连接，则的度数为 ． 【答案】＃＃32度 【分析】过点作于点，作于点，作于点，得到，是的平分线，求出，再利用三角形外角性质求出答案． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点， ∵的外角的平分线与内角平分线交于点E， ∴，，， ∴， ∴是的平分线， ∵， ∴， ∴． ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理及判定定理，三角形外角性质定理，熟记三角形角平分线的性质定理是解题的关键． 三、解答题 17．（22-23八年级上·浙江金华·期中）如图，点B、D、C、F在同一条直线上，，，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】直接利用全等三角形的判定方法，添加，利用即可得出答案． 【详解】解：添加：（答案不唯一）， 理由：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用“边边边”证明； （2）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵根据三角形内角和，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 19．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． （1）根据判定即可； （2）根据题意可得，在中根据外角的性质即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，是的外角， ． 20．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，已知； 求证：． 证明：（_______________） 即_______________ （_______________） 在和中 （_______________） （_______________） 【答案】已知；；；两直线平行，内错角相等；；全等三角形的对应边相等 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用“”定理证明，据此补充过程是解题的关键． 【详解】证明：（已知） 即 （两直线平行，内错角相等） 在和中 （） （全等三角形的对应边相等） 故答案为：已知；；；两直线平行，内错角相等；；全等三角形的对应边相等 21．（23-24八年级上·浙江温州·期中）看图填空：如图，已知，，试说明． 证明：∵ ∴ （两直线平行，同位角相等） ∵ ∴ ； 即： 在和中 ∴（ ）． 【答案】A；；；；；． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由，可得，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 故答案为：A；；；；；．． 22．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法“”是本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 23．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知，．求证：． 下面是两位同学的对话： 方方说：根据条件，找不到全等三角形． 圆圆说：如果添加辅助线，就可以找到全等三角形了． 请根据提示，给出证明． 【答案】见解析 【分析】本题是全等三角形的判定，性质的综合运用，连接，证明，即可由全等三角形的性质得出结论． 【详解】证明：连接， 在和中， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等） 24．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用、、证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据题目中的条件和可证，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点D作交于点G，从而可以得到，然后即可得到，再证明，即可得到，即可确定具有的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$