第04讲 用一元二次方程解决问题 （4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第04讲 用一元二次方程解决问题 （4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点3．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 知识点4．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 题型强化 题型一．由实际问题抽象出一元二次方程 1．（2022秋•秦淮区校级月考）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为　　 A． B． C． D． 2．（2021秋•建邺区期中）某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为 　　． 3．（丹阳市校级月考）根据下列问题，列出关于的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式 （1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数． （2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为，面积为，求它的两条直角边的长． 题型二．一元二次方程的应用 4．（2023秋•高新区期中）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多　　步． A．15 B．12 C．9 D．6 5．（2023秋•虎丘区校级月考）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 　　． 6．（2022秋•句容市月考）如图，某单位准备将院内一块长，宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度． 题型三．高次方程 7．（吴江区校级月考）方程组有唯一解，则的值是　　 A． B． C． D．以上答案都不对 8．（2023秋•宿城区期中）阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：．理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解． 解决问题：求方程的解为　　． 9．（2023秋•虎丘区校级月考）解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的． 例如：解方程， 如果设，，，用表示后代入得：． 应用：请用换元法解下列各题： （1）已知，求的值； （2）解方程：； （3）已知，求的值． 题型四．无理方程 10．（锡山区校级月考）下列方程中，有实数根的方程是　　 A． B． C． D． 11．（2021秋•海州区校级期末）像这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为，解得，．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当时，满足题意；当时，不符合题意；所以原方程的解是．运用以上经验，则方程的解为　　． 12．（2023秋•海州区校级月考）类比和转化是数学中解决新问题时最常用的数学思想方法．回顾旧知，类比求解． （1）解无理方程（根号下含有未知数的方程），可通过方程两边平方把它转化为，解得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验． 解一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程即可． （2）运用上面方法解下列方程： ①； ②． 分层练习 一、单选题 1．两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．为增强学生体质，丰富学生的课外生活．学校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（参赛的每两队间比赛一场），根据场地和时间等条件，学校计划安排15场比赛，设学校应邀请x个队参赛，根据题意列方程为（　　） A．x（x+1）＝15 B．x（x﹣1）＝15 C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝15 3．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A．x（x+1）＝1056 B．x（x﹣1）＝1056×2 C．x（x﹣1）＝1056 D．2x（x+1）＝1056 4．某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（    ） A． B． C． D． 5．进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 6．某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于的方程为（    ） A． B． C． D． 8．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 9．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 二、填空题 11．为了丰富全县学生的业余生活，县文体中心图书馆计划三个季度购进新书21000册，已知第一个季度购进5000册，求文体中心图书馆后两个季度购书的平均增长率，若后面两个季度购书的平均增长率为，则根据题意可列方程为 ． 12．某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，则根据题意可列方程为： ． 13．美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染x人，可列方程为 ． 14．某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ． 15．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ． 16．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 ． 17．如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 18．如图，平面直角坐标系中，以第一个矩形的边为边向上作正方形①，以为边向右作正方形②，得到第二个矩形，以此类推，得到第3个矩形、第4个矩形若这些矩形右上角的顶点、、，与原点在同一直线上，则这条直线的函数解析式为 ． 三、解答题 19．某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆． (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； (2)按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量． 20．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？ 21．我们知道，平面直角坐标系中，若、，则的长度可表示为．若点与点关于原点对称，为第一象限内动点，且． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若的面积为2，求P点坐标； 22．随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 23．如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度． 24．我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 25．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 26．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题： （1）第5个图案中黑色三角形的个数有　　个． （2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 用一元二次方程解决问题 （4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 知识点3．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 知识点4．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 题型强化 题型一．由实际问题抽象出一元二次方程 1．（2022秋•秦淮区校级月考）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】如果有人参加了聚会，则每个人需要握手次，人共需握手次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于的方程． 【解答】解：设人参加这次聚会，则每个人需握手：（次； 依题意，可列方程为：． 故选：． 【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程．理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制． 2．（2021秋•建邺区期中）某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为 　　． 【分析】根据该羊毛衫的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程即可． 【解答】解：依题意，得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（丹阳市校级月考）根据下列问题，列出关于的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式 （1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数． （2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为，面积为，求它的两条直角边的长． 【分析】（1）个位上的数字是几，表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十，百位上的数字是几就表示几个百；由此求解； （2）设一边长为，然后表示出另一边，然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可． 【解答】解：（1）设十位数字为，则个位数字为，百位数字为， 根据题意得：， 化简为； （2）设其中一条直角边的长为，则另一条直角边为， 根据题意得：， 整理得：． 【点评】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，难度不大． 题型二．一元二次方程的应用 4．（2023秋•高新区期中）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多　　步． A．15 B．12 C．9 D．6 【分析】设长为步，则宽为步，根据矩形田地的面积为891平方步，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合长不短于宽，可确定矩形田地的长，再将其代入中即可求出结论． 【解答】解：设长为步，则宽为步， 依题意得：， 解得：，． 又， ， ， ， 长比宽多6步． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．（2023秋•虎丘区校级月考）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 　　． 【分析】设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为， 由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元， 故， 解得或1.8（不合题意，舍去）， 故该药品平均每次降价的百分率为． 【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是．增长用“”，下降用“”． 6．（2022秋•句容市月考）如图，某单位准备将院内一块长，宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度． 【分析】设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可． 【解答】解：设小道进出口的宽度为米， 依题意得． 整理，得． 解得，，． （不合题意，舍去）， ． 答：小道进出口的宽度应为1米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程． 题型三．高次方程 7．（吴江区校级月考）方程组有唯一解，则的值是　　 A． B． C． D．以上答案都不对 【分析】先利用代入消元法消去得到关于的一元二次方程，然后根据判别式的意义得到关于的一元二次方程，再解关于的方程即可． 【解答】解：， 由②得③， 把③代入①得， 整理得， △，解得． 故选：． 【点评】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．也考查了判别式的意义． 8．（2023秋•宿城区期中）阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：．理解运用：如果，那么，即有或，因此，方程和的所有解就是方程的解． 解决问题：求方程的解为　，，　． 【分析】根据题例，把方程先转化为的形式，再求解． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 或． 解方程得． 解方程得 ，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了高次方程和一元二次方程的解法，看懂和理解给出的内容是解决本题的关键． 9．（2023秋•虎丘区校级月考）解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的． 例如：解方程， 如果设，，，用表示后代入得：． 应用：请用换元法解下列各题： （1）已知，求的值； （2）解方程：； （3）已知，求的值． 【分析】（1）设，方程变形后用求根公式求解，再根据，这个条件确定最后结果； （2）设，方程变形后用十字相乘法求，代入设的条件求出； （3）首先等式两边都除以，把原方程转化为一元二次方程，解出即可． 【解答】解：（1）设， 原方程化为：， ， ， 方程有两个不想等的实数根， 解得，， ， ． （2）设， 原方程化为：， ， 或， 或． ， ， ， ， 经检验是原方程的解， ． ， ， ， 此方程无解． 综上所述，． （3）原方程化为：， ， ， ，． 【点评】本题考查了换元法求解，掌握如何换元是解题关键． 题型四．无理方程 10．（锡山区校级月考）下列方程中，有实数根的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式方程和无理方程的解法如果能求得方程的解说明方程有实数解，一元二次方程有实数根只需得到其根的判别式为非负数． 【解答】解：、即，因为实数的平方，故本选项错误； 、即，有解，故本选项正确； 、分式分母不为0，所以本题无解，故本选项错误； 、即，实数的算术平方根为大于0，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了无理方程，涉及到了实数的平方，负数由立方根，注意区别． 11．（2021秋•海州区校级期末）像这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为，解得，．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当时，满足题意；当时，不符合题意；所以原方程的解是．运用以上经验，则方程的解为　　． 【分析】根据等式的性质，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案． 【解答】解：原方程等价于， 两边平方，得 ， 解得，， 检验：时，，左边右边，不是原方程的解， 当时，，左边右边，是原方程的解， 原方程的解是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握． 12．（2023秋•海州区校级月考）类比和转化是数学中解决新问题时最常用的数学思想方法．回顾旧知，类比求解． （1）解无理方程（根号下含有未知数的方程），可通过方程两边平方把它转化为，解得．通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验． 解一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程即可． （2）运用上面方法解下列方程： ①； ②． 【分析】（1）首先利用因式分解将转化为，然后再解方程和即可； （2）首先将两边平方得，然后再解这个一元二次方程即可得出原方程的解，注意：解无理方程必须要验根． 【解答】解：（1）， ， 即：， ， 或， 由解得：， 由解得：，， 原方程的解为：，，； （2）将 两边平方得：， 即：， 解得：，， 当时，左边，右边， 不是原方程的根， 当时，左边，右边， 是原方程的根． 原方程的根为． 【点评】此题主要考查了解高次方程和解无理方程，熟练掌握因式分解是解答（1）的关键，通过平方把无理方程转化为有理方程是解答（2）得关键，解无理方程必须要验根，这也是解无理方程的易错点之一． 分层练习 一、单选题 1．两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，根据这两个数的积是783即可列出方程． 【详解】解：若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为， 根据题意有：， 故选：A． 2．为增强学生体质，丰富学生的课外生活．学校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（参赛的每两队间比赛一场），根据场地和时间等条件，学校计划安排15场比赛，设学校应邀请x个队参赛，根据题意列方程为（　　） A．x（x+1）＝15 B．x（x﹣1）＝15 C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝15 【答案】D 【分析】利用安排比赛的场次数邀请参赛的队伍数（邀请参赛的队伍数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A．x（x+1）＝1056 B．x（x﹣1）＝1056×2 C．x（x﹣1）＝1056 D．2x（x+1）＝1056 【答案】C 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 4．某公司今年4月的营业额为2500万，按计划第2季度的总营业额要达到9000万元，设该公司5，6月的营业额平均增长率为x，根据题意列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为，根据计划第二季度的总营业额达到9100万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：D． 5．进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染． 根据题意得：． 故选：A． 6．某商店购入一批衬衫进行销售，当每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元．若设每件衬衫售价降低x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设每件衬衫售价降低x元，根据“每件盈利30元，每星期可以卖出100件，现需降价处理：每件衬衫售价每降价5元，每星期可以多卖出20个，店里每星期衬衫的利润要达到2800元”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设每件衬衫售价降低x元，根据题意得， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 7．将一个容积为的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，根据题意，列出关于的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的长与宽是解题的关键．根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可． 【详解】解：由题意可得：长方体的长为：15，宽为： 则根据题意，列出关于x的方程为：． 故选：C． 8．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答． 【详解】解：时速108千米30米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得： ，解得秒， 平均每秒减速米/秒； 设刹车后汽车滑行10米时用了秒， 依题意列方程：，即，解方程得，（舍去）， 秒， 故选：D． 【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符． 9．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先求得x2=x+1，再代入即可得出答案． 【详解】解：∵x2-x-1=0， ∴x2=x+1， ∴=（x+1）2+x(x+1)-5x+3 =x2+2x+1+x²+x-5x+3 =2x2-2x+4 =2(x+1)-2x+4 =2x+2-2x+4 =6， 故选：D． 【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键． 10．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 【答案】C 【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是, 作，垂足为H，    则，，. ， 可得：， 解得，． 答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是. 故答案为：C. 二、填空题 11．为了丰富全县学生的业余生活，县文体中心图书馆计划三个季度购进新书21000册，已知第一个季度购进5000册，求文体中心图书馆后两个季度购书的平均增长率，若后面两个季度购书的平均增长率为，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设后面两个季度购书的平均增长率为，根据第一季度进书5000册，三个季度购进新书21000册，可列出方程． 【详解】解：设后面两个季度购书的平均增长率为， 根据题意得：， 故答案为：． 12．某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，则根据题意可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台，列出方程即可． 【详解】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，由题意，得：； 故答案为：． 13．美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染x人，可列方程为 ． 【答案】 【分析】由每轮传染中平均一个人感染人，可得出第一轮传染有人被传染，第二轮传染有人被传染，结合经过两轮传染后共有100个人感染，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：每轮传染中平均一个人感染人， 第一轮传染有人被传染，第二轮传染有人被传染． 依题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设每件商品售价降低元，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设每件商品售价降低元 则每天的利润为：， 故答案为：． 15．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键． 根据题意可得个位数为，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可． 【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是， 由题意可得：． 故答案为：． 16．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形，根据种植花苗的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为． 故答案为：1． 17．如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．设经过x秒，的面积等于，分类讨论当秒时，Q点在上运动，P在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，Q点在上运动，P在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值． 【详解】解：设经过x秒，的面积等于， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ，， ∴， 解得或4， 又知， 故符合题意， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ， 解得． 故答案为：2或． 18．如图，平面直角坐标系中，以第一个矩形的边为边向上作正方形①，以为边向右作正方形②，得到第二个矩形，以此类推，得到第3个矩形、第4个矩形若这些矩形右上角的顶点、、，与原点在同一直线上，则这条直线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一元二次方程的应用，解题时注意：求正比例函数，只要一对，的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数，则需要两组，的值．设，，则，，代入函数解析式为化简计算，即可得到的值． 【详解】解：如图， 这些矩形右上角的顶点、、，与原点在同一直线上， 可设这条直线的函数解析式为， 设，，则，， ，， 代入可得： ， 把①代入②，可得：， 化简可得， 解得或（舍去）， 这条直线的函数解析式为． 故答案为：． 三、解答题 19．某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆． (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； (2)按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】(1)从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为 (2)2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，根据题意，销售量从2021年20万辆增加到2023年51.2万辆，增加了31.2万辆，列出方程求解即可． （2）根据（1）中计算得出的增长率，列出算式求解即可． 【详解】（1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为． 得：， 解得：，（舍去）． ∴从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为． （2）由题意得：（万辆）． ∴2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆． 20．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均每个人传染了15个人． 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，第一轮后一共携带病毒者有(x+1)人，第二轮每人又传染了x人，第二轮一共携带病毒者有（x +1）x，两轮病毒携带者相加共有256，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 根据题意，得：（x+1）2=256， 直接开平方得x+1=±16， 解得x 1=15，x 2=-17， 经检验都是原方程的根，但x 2=-17＜0不符合实际（舍去）， 答：每轮传染中平均每个人传染了15个人． 【点睛】本题考查一元二次方程解应用题，掌握一元二次方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系第一轮后一共携带病毒者有(x+1)人，第二轮一共携带病毒者有（x +1）x，两轮相加=256列方程是解题关键． 21．我们知道，平面直角坐标系中，若、，则的长度可表示为．若点与点关于原点对称，为第一象限内动点，且． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若的面积为2，求P点坐标； 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查了两点间距离公式，坐标与图象，关于原点对称的点，一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用原点对称得到点，再根据建立方程求解，即可解题； （2）根据题意分两种情况讨论，当点P在的下方时，设点P的坐标为，过点P作轴交于点H．结合的面积为2，构造方程求解即可，当点P在的上方时，同法可求． 【详解】（1）解：点与点关于原点对称， ， ， ， 两边平方后得：， 整理得， 两边平方后得： 整理得， ； （2）解：如图，当点P在的下方时，设点P的坐标为，过点P作轴交于点H． 直线的解析式为， ， ， ， ， 解得或， 经检验或都是分式方程的解，但不符合题意， ， 当点P在的上方时，同法可得 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． 22．随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6月份游客人数为1.6万人，8月份游客人数为2.5万人． (1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； (2)预计9月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区9月1日至9月21日已接待游客2.225万人，则9月份后9天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 (2)9月份后9天日均接待游客人数最多是0.1万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，利用该景区8月份游客人数该景区6月份游客人数（这两个月中该景区游客人数的月平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设9月份后9天日均接待游客人数是y万人，根据9月份该景区游客人数的增长率不会超过前两个月的月平均增长率，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）解：设9月份后9天日均接待游客人数是y万人， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最大值为． 答：9月份后9天日均接待游客人数最多是万人． 23．如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度． 【答案】小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m． 【详解】分析：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．根据“以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元”列出方程，求解即可． 详解：设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m． 根据题意，得（2-1.5）x（x+0.5）×120=180， 解得 x1=-2，x2=1.5． 所以x=1.5，x+0.5=2． 答：小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m． 点睛：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 24．我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)通道的宽是2米 (2)每个车位的月租金应上涨40元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系，正确列出方程． （1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的矩形，再根据喷漆面积列出方程求解即可； （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位，再根据月租金列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，少租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 25．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)；；； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；；；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 26．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题： （1）第5个图案中黑色三角形的个数有　　个． （2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理． 【答案】（1）15；（2）不能，理由见详解． 【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个； （2）根据图形的变化规律总结出第n个图形黑色三角的个数为，即可求解． 【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15， 故答案是：15； （2）不能，理由如下： 第n个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n=， 根据题意，得， 解得：不是整数，不合题意， 所以第n个图案中黑色三角形的个数不能是50个． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第n个图形黑色三角的个数为是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$