专题2.2 一元二次不等式（考点精讲）-【中职专用】2025年职教高考数学一轮复习讲练测（福建专用）

专题2.2 一元二次不等式 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 3 考点一：一元二次不等式的解法 3 考点二：一元二次不等式的恒成立问题 7 【考纲要求】 1.掌握一元一次、二次不等式与方程的关系和解法。 2.利用一元二次不等式解决实际问题。 【考向预测】 1.一元二次不等式的解法 2.一元二次不等式的恒成立问题 【知识清单】 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 4．三个“二次”的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 5．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数) 法一： 或 法二： (ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一： 或 法二： ＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 思考1：>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？ 提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式． 6．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k 7.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题． 【考点分类剖析】 考点一：一元二次不等式的解法 例1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 例3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例4．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 例5．设集合，则（    ） A． B． C． D． 例6．集合，.若，则实数可取值（    ） A． B． C． D．0 【变式探究】1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知则的取值范围是 . 4．不等式的解集是 ． 5．设集合，，则 . 6．关于x的一元二次不等式的解集为，则实数m为 ． 考点二：一元二次不等式的恒成立问题 例1．已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 例3．已知不等式的解集是R，则（    ） A．， B．， C．， D．， 例4．命题p：，，则“”是“p为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例5．设m为给定的实常数，命题，，则“”是“p为真命题”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例6．命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式探究】1．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 4．若函数中的取值范围为R，则的取值范围是 ． 5．若的函数值有正值，则的取值范围是 ． 6．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 一元二次不等式 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 3 考点一：一元二次不等式的解法 3 考点二：一元二次不等式的恒成立问题 7 【考纲要求】 1.掌握一元一次、二次不等式与方程的关系和解法。 2.利用一元二次不等式解决实际问题。 【考向预测】 1.一元二次不等式的解法 2.一元二次不等式的恒成立问题 【知识清单】 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 4．三个“二次”的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 5．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数) 法一： 或 法二： (ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一： 或 法二： ＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 思考1：>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？ 提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式． 6．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k 7.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题． 【考点分类剖析】 考点一：一元二次不等式的解法 例1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别求出不等式的解，在判断是什么条件即可. 【详解】由得， 由得， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 例2．若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式，由必要条件的定义即可判断的范围. 【详解】或， “或”是的必要条件，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 例3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：D 例4．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式求出集合，然后再求两集合的交集即可. 【详解】由，得， 所以， 因为，所以． 故选：A 例5．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合、，根据并集的定义求解即可． 【详解】解：因为集合， ， 所以． 故选：A． 例6．集合，.若，则实数可取值（    ） A． B． C． D．0 【答案】BC 【分析】求出集合A，利用集合的互异性求出的范围，再结合交集定义求解. 【详解】依题意，，由，得，解得且，D错误， 对于A，，此时，，A错误； 对于B，，此时，，B正确； 对于C，，此时，，C正确. 故选：BC 【变式探究】1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次不等式得出集合A,再求交集即可. 【详解】由，解得或， 所以或，又， 所以， 故选：A． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合分式不等式的解法分析求解. 【详解】因为，等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 3．已知则的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为方程的解是函数图象与轴的交点的横坐标，所以先求出方程的解，再作出函数图象即可得到的解集，进而得到原不等式的解集. 【详解】由题， 解得，. 作出函数的图象如图所示：    由图可得不等式的解集为， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 4．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】将左边配成完全平方式，即可解得. 【详解】由，即，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 5．设集合，，则 . 【答案】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】解，得，解得，则， 而不等式，即恒成立，则， 所以. 故答案为： 6．关于x的一元二次不等式的解集为，则实数m为 ． 【答案】4 【分析】由题意可得为和，然后将两根代入方程中可求出. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以方程为和， 所以，解得， 故答案为：4 考点二：一元二次不等式的恒成立问题 例1．已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立求参即可. 【详解】由不等式恒成立， 所以, 故选：A. 例2．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，列出不等式组并求解即得. 【详解】由方程有两个不相等的实数根，得， 即，解得，因此且， 所以实数m的取值范围是且. 故选：C 例3．已知不等式的解集是R，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由不等式的解集是R，则， 【详解】A．，，开口向下，与轴有两个不同交点，不等式的解集不是R，不符合题意； B．，开口向下，与轴没有交点，不等式的解集是R，符合题意； C．，开口向上，与轴没有交点，不等式的解集为空集，不符合题意； D．，开口向上，与轴有两个不同的交点，不等式的解集不是R，不符合题意； 故选：B． 例4．命题p：，，则“”是“p为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由，求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为，， 所以，得， 因为当时，不一定成立，而当时，一定成立， 所以“”是“p为真命题”的必要不充分条件. 故选：B 例5．设m为给定的实常数，命题，，则“”是“p为真命题”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先由命题为真求得的范围，再根据充要条件的要求进行判断即得. 【详解】命题p：，为真等价于，即， 由“”显然推不出“”，故“”不是“p为真命题”的充分条件； 由“”可推出“”，故“”是“p为真命题”的必要条件. 故选：B. 例6．命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原命题的否定为真命题，由二次不等式恒成立的条件，求实数的取值范围. 【详解】由题意，原命题的否定“，”为真命题， 令，则当时，， 故，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式探究】1．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分离参数再利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】不等式对任意恒成立，则，成立， 而，当且仅当，即时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：B 2．不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判别式小于等于零解出a的范围即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以判别式，解得， 故选：A. 3．关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可. 【详解】结合题意知．即解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 4．若函数中的取值范围为R，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把函数中的x的取值范围为R，转化为对任意实数恒成立．然后对分类讨论得答案． 【详解】由已知恒成立， 当时符合题意， 当时，， ， 综上所述， 故答案为：． 5．若的函数值有正值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由二次函数图像性质即可得出结论. 【详解】由的函数值有正值可知函数的图像与轴有两个交点，所以，即或. 故答案为： 6．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解集为，可知二次函数开口向上，判别式小于0，解得即可. 【详解】当时，，，不满足题意； 当时，,所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$