第二章 一元二次方程知识归纳与题型突破（5类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（湘教版）

第二章 一元二次方程知识归纳与题型突破（题型清单） 1.一元二次方程： 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 一元二次方程的一般形式：． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零． 叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项． 2.一元二次方程的解法： 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如的一元二次方程．根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根． 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程的求根公式： 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 3.一元二次方程根的判别式： 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即． 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 当△<0时，一元二次方程没有实数根． 4.韦达定理： 如果方程的两个实数根是，那么，．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 题型一　一元二次方程 例题1-1：（23-24九年级上·广东佛山·期中）下列属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 例题1-2：（23-24九年级上·北京海淀·期中）关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1 例题1-3：（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 例题1-4：（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知，是一元二次方程的解，则的值为 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值不能为（  ）． A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）关于的方程是一元二次方程，则（   ） A．或 B． C． D． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程是一元二次方程，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ． 7．（2024·江苏淮安·模拟预测）关于x的方程的一个根为3，则 ． 8．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么 ； 9．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如果是关于x的方程的一个根，则 ． 10．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 题型二　一元二次方程的解法 例题：（2024九年级上·广西·专题练习）解方程 (1)； (2)． 巩固训练 1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 3．（2024八年级上·上海·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 题型三　一元二次方程根的判别式 例题3-1：（2024·河南新乡·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 例题3-2：（九年级上·四川广安·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 巩固训练 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 2．（2024·辽宁·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·模拟预测）若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （    ） A． B． C． 且 D．且 4．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B． C．或 D．或 5．（2024·吉林松原·三模）若一元二次方程的根的判别式的值为8，则 ． 6．（2024九年级下·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 7．（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 8．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)任取一个符合条件的的值，解上述方程． 10．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 11．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）已知关于的一元二次方程为． (1)当为何值时，该方程有实数根； (2)当时，求出这个方程的两个根． 12．（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知：关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个实数根 (2)若方程的有一个根大于3，求k的取值范围 13．（九年级上·浙江台州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若m取到满足条件的最小整数，求原方程的解. 14．（九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求m的值． 15．（2024·四川自贡·模拟预测）若一元二次方程，有两个相等的实根，求的值． 题型四　一元二次方程根与系数的关系 例题4-1：（2024·湖北十堰·三模）如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式 ． 例题4-2：（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若方程 的两根为，，则 的值为：（   ） A．2 B． C． D． 巩固训练 1．（2024·重庆·模拟预测）设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则以下正确命题的序号是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知a，b是关于x的一元二次方程的两根，若的值是，则k的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023·广东佛山·模拟预测）设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 4．（23-24九年级上·广东佛山·期中）若一元二次方程的两根分别为a，b，则 ． 5．（2023·湖南怀化·模拟预测）已知、是方程的两个实数根，则的值为 ． 6．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知、是方程的两个根，则的值为 ． 7．（九年级上·四川成都·期中）已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 8．（2024·四川乐山·二模）若关于x的方程两根互为负倒数，则m的值为 ． 9．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，且满足，，那么的值为 . 10．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知一元二次方程的两实数根为、，不解方程，求的值． 11．（2024九年级上·江苏·专题练习）设，是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． (1)； (2)． 题型五　一元二次方程的应用 例题5--1：（2024九年级上·江苏·专题练习）进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 例题5--2：（23-24八年级下·山东烟台·期末）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 例题5--3：（2024·湖南长沙·模拟预测）近年来，长沙深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活夜经济，进一步提升城市“烟火气”．某网红餐饮品牌斩获喜人业绩，据调查，该品牌某门店2023年1月的营业额为500万元，3月的营业额为720万元． (1)求该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率： (2)若4月保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计该店4月的营业额能否超过850万元？ 例题5--4：（23-24九年级下·湖南株洲·期末）如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    巩固训练 1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 5．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 6．（23-24八年级下·重庆·期末）新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 7．（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 8．（23-24九年级上·河北邢台·期末）万达商场服装柜在销售中发现：“珊瑚”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十·一”国庆黄金周，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？此时日销售量是多少件？ 9．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）某商店将每件进价为8元的商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降价增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件，将这种商品售价降低多少元时能使销售利润达到225元？ 10．（23-24九年级上·广东佛山·期中） 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 11．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 12．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为． (1)当　　时，四边形为平行四边形； (2)当时，求t的值． 14．（九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在的值，使得的面积与五边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程知识归纳与题型突破（题型清单） 1.一元二次方程： 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 一元二次方程的一般形式：． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零． 叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项． 2.一元二次方程的解法： 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如的一元二次方程．根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根． 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程的求根公式： 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 3.一元二次方程根的判别式： 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即． 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 当△<0时，一元二次方程没有实数根． 4.韦达定理： 如果方程的两个实数根是，那么，．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 题型一　一元二次方程 例题1-1：（23-24九年级上·广东佛山·期中）下列属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D、含未知数的项的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 例题1-2：（23-24九年级上·北京海淀·期中）关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（   ） A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项．熟练掌握一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键． 根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键． 【详解】解：由题意知，一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，3，， 故选：A． 例题1-3：（23-24八年级下·重庆·期末）根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 例题1-4：（23-24九年级上·广东佛山·期中）已知，是一元二次方程的解，则的值为 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义．由是一元二次方程的一个解，将代入原方程，即可求得的值，从而得解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ， ∴， ． 故答案为：4． 巩固训练 1．（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：A、 当时是一元一次方程，而不是一元二次方程，故本选项不合题意； B、，不是一元二次方程，故本选项不合题意； C、，是一元二次方程，故本选项符合题意； D、，不是一元二次方程，故本选项不合题意． 故选：． 2．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值不能为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，据此即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）关于的方程是一元二次方程，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，属于基础题，比较简单，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件． 根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即，且，解出m的值即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 故选C． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于x的方程是一元二次方程，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义、解一元一次不等式．根据一元二次方程的定义即可求得的值，将其代入求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且， 解得且， ， 将代入得：， 解得：， 故选：C． 5．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）解方程时，小明进行了相关计算并整理如下： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 则该方程必有一个根满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的近似根．根据表格得出近似根的取值范围． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴当在1与之间取某一个数时，可使， 即方程的其中一个解满足的范围是． 故选：B． 6．（23-24九年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定义求出k的值．先根据一元二次方程的定义求出k的值，然后再代入不等式，解不等式即可． 【详解】解：是一元二次方程， 且， 解得：且， ， 原不等式为：，即 ∴， 故答案为：． 7．（2024·江苏淮安·模拟预测）关于x的方程的一个根为3，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，由代入一元二次方程得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是3， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如果是关于x的一元二次方程的一个实数根，那么 ； 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键． 把代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：2． 9．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如果是关于x的方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解的定义，解题的关键是掌握一元二次方程解的定义． 把代入方程得，再整体代入求值． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴把代入方程，得， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2),一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是 【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键． （1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案； （2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案． 【详解】（1）解：由是一元一次方程，得 根据题意，得且． 解得． 所以当时，此方程是一元一次方程； （2）根据题意，得． 解得． 此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是． 题型二　一元二次方程的解法 例题：（2024九年级上·广西·专题练习）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）移项，利用因式分解法解答即可求解； （）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用因式分解的方法解方程即可； （4）利用配方法解方程即可； 【详解】（1）解：， 化简得， 解得：； （2）解：， 化简得， 配方得， 解得：； （3）解： 移项得， 化简得， 故或， 解得：； （4）解： 配方得， 即， 故或， 解得：． 2．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程和分式方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用配方法求解即可； （4）两边都乘以，化分式方程为整式方程，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， ， 则或， 解得，； （2）， ， 则， 或， 解得，； （3）， ， 则，即， ， 则，； （4）两边都乘以，得：， 整理，得：， 解得，， 检验：当时，，舍去； 当时，； 所以分式方程的解为． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)，； (3)； (4)； (5)原方程无实数解； (6) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）直接利用开平方的方法解方程即可； （2）直接利用配方法求解即可； （3）直接利用开平方的方法解方程即可； （4）直接利用配方法求解即可； （5）先配方，然后可以得到，由此可以判断方程无解； （6）先去括号，合并同类项，然后用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：由方程可得，， ∴， ∴，； （2）解：移项得， 配方得， ∴， 解得， ∴，； （3）解：解：直接开平方得， 即或， 解得，； （4）解：移项得， 二次项的系数化为1得，， ， ， 解得； （5）解：由原方程，得， 等号的两边同时乘2，得， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方得． ∵无论x取何值，恒大于等于零， ∴原方程无实数解； （6）解：， ， ， ， 解得， ∴，． 题型三　一元二次方程根的判别式 例题3-1：（2024·河南新乡·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值，即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 例题3-2：（九年级上·四川广安·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根 ∴且 解得且． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确当时，一元二次方程有两个相等的实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得， 故选：A． 2．（2024·辽宁·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系，掌握当一元二次方程有两个不相等的实数根时，其判别式是解答本题的关键．利用一元二次方程根的判别式，解出的取值范围即可． 【详解】解析：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ． 解得． 故选：B． 3．（2024·辽宁·模拟预测）若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （    ） A． B． C． 且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出解集即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C． 4．（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的关系是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 或． 故选：C． 5．（2024·吉林松原·三模）若一元二次方程的根的判别式的值为8，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 6．（2024九年级下·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据方程无实数根，则，建立关于c的不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∵， 解得． 故答案为：． 7．（22-23九年级上·河南南阳·阶段练习）关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据二次项系数不等于零且列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且． 故答案为：且． 8．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知关于x的方程． (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根． (2)在（1）的结果中，取满足m的范围的最小整数m，并算出该方程的根． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式列关于m的不等式，然后解不等式即可； （2）求得最小整数，进而得方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：由得最小整数， ∴方程为， 解得，． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)任取一个符合条件的的值，解上述方程． 【答案】(1) (2)（答案不唯一）可以取，过程见解析 【分析】本题主要考查的是根的判别式，因式分解法解方程的有关知识． （1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求解即可； （2）本题答案不唯一，可以取，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， 解得； （2）解：取， 则原方程为 即， ∴， 解得：，． 10．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的根的判别式． （1）由方程有实数根得，可得关于的不等式，解之可得的范围； （2）由，求出的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把代入方程可求得；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由可求出，两种情况都根据三角形的三边关系检验． 【详解】（1）解：， 方程有实数根， 且， 且， 解得且； （2）解：根据题意得且， 解得且， 当时，方程的一根是3，把代入方程得， 解得， 此时方程的另一根为， ， 三角形存在； ； 当， ， 方程为． 解得， 一腰长为3， 不合题意， 综上，． 11．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）已知关于的一元二次方程为． (1)当为何值时，该方程有实数根； (2)当时，求出这个方程的两个根． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数、解一元二次方程，解题的关键是熟知根的判别式与一元二次方程的解法． （1）由方程有实数根可知，然后解得m的取值范围即可． （2）将m的值代入原方程，求解方程即可． 【详解】（1）∵方程有实数根， ∴， 即，解得， ∴当为何值时，该方程有实数根； （2）将代入原方程得，即， ∴, 即，． 12．（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知：关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个实数根 (2)若方程的有一个根大于3，求k的取值范围 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和解法、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键． （1）求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的范围即可得到结论； （2）解方程得，根据方程有一个根大于2得到，即可得到的取值范围． 【详解】（1）证明：依题意，得， ， ， ∴该方程总有两个实数根． （2）解：解方程得，， ∵该方程有一个根大于3， ， ． 13．（九年级上·浙江台州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若m取到满足条件的最小整数，求原方程的解. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）由m的取值范围得到，此时方程为，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 即m的取值范围为； （2）解：∵， ∴m的最小整数值为1， 此时方程为， ， 或， 解得． 14．（九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知：关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求m的值． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根 (2)或 【分析】此题考查根的判别式及一元二次方程的解结合运用，解题关键在于通过判别式判断根的情况． （1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负判断根的情况即可； （2）将代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值． 【详解】（1）解：∵ ， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意，将代入方程得， 整理，得：， 解得：或． 15．（2024·四川自贡·模拟预测）若一元二次方程，有两个相等的实根，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，根据一元二次方程，有两个相等的实根即，然后利用根的判别式即可得出m的值． 【详解】解∶ 由题意得 或 题型四　一元二次方程根与系数的关系 例题4-1：（2024·湖北十堰·三模）如果m，n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，先由根与系数的关系得到，再由方程解的定义得到，再把所求式子变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程，即的两个实数根， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：． 例题4-2：（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若方程 的两根为，，则 的值为：（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据方程 的两根为，得，，根据进行计算即可得；掌握一元二次方程根与系数的关系，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为， ∴， ∴， 故选：B． 巩固训练 1．（2024·重庆·模拟预测）设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，则以下正确命题的序号是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，仿照题意所给的方法，将原方程变形为，由此求解即可． 【详解】解：设一元三次方程的三个非零实根分别为，，， 则方程可写成，即． 对比可得，，，， 可得，，， ， 综上可知，①②④正确，③错误， 故选B． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知a，b是关于x的一元二次方程的两根，若的值是，则k的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系及分式的化简，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用根与系数的关系，可得出，即可求出结论． 【详解】解：， ， ， a，b是关于x的一元二次方程的两根， ， ， 故答案为：A． 3．（2023·广东佛山·模拟预测）设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 先利用根与系数的关系得到，，再计算，然后利用整体代入的方法计算即可求解． 【详解】解：、b是方程的实数根， ，， ． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·广东佛山·期中）若一元二次方程的两根分别为a，b，则 ． 【答案】2 【分析】直接根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：根据题意得一元二次方程的两根分别为a，b ∴． 故答案为：2 5．（2023·湖南怀化·模拟预测）已知、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：、是方程的两个实数根， ，，， ． 故答案为：4． 6．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知、是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，，熟记一元二次方程的根与系数的两个关系式是解题的关键．一元二次方程的根与系数的两个关系式为，，根据根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，可得． 故答案为：2024． 7．（九年级上·四川成都·期中）已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的变形，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 先根据根与系数关系得出，再把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：12． 8．（2024·四川乐山·二模）若关于x的方程两根互为负倒数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根的判别式及根与系数的关系找出关于m的一元二次不等式以及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设α，β是关于x的方程的两根， ∴，， ， ， ， 恒成立， ∵关于x的方程两根互为负倒数， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，且满足，，那么的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于、两根之积等于”是解题的关键．由a、b满足的条件可得出a、b为方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得出、，将其代入中可求出结论． 【详解】解：，且满足，， 、b为方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 10．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知一元二次方程的两实数根为、，不解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是求出，， 由根与系数的关系可得出，，将转化为只含和的形式，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两实数根为、， ∴，， ∴． 11．（2024九年级上·江苏·专题练习）设，是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用根与系数的关系求出与的值，各式变形后代入计算即可求出值； （）利用根与系数的关系求出与的值，各式变形后代入计算即可求出值； 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 原式； （2）∵，是方程的两个实数根， ∴，， 原式． 题型五　一元二次方程的应用 例题5--1：（2024九年级上·江苏·专题练习）进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染． 根据题意得：． 故选：A． 例题5--2：（23-24八年级下·山东烟台·期末）某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．该店要想平均每天盈利12160元，则每顶帐篷应降价多少元？设降价x元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出一元二次方程，熟练掌握题意是解题的关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意中的等量关系可得：， 故选B． 例题5--3：（2024·湖南长沙·模拟预测）近年来，长沙深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活夜经济，进一步提升城市“烟火气”．某网红餐饮品牌斩获喜人业绩，据调查，该品牌某门店2023年1月的营业额为500万元，3月的营业额为720万元． (1)求该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率： (2)若4月保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计该店4月的营业额能否超过850万元？ 【答案】(1)该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为20% (2)预计该店4月的营业额能超过850万元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程成为解题的关键． （1）设该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为x，然后根据增长率问题列出方程求解即可； （2）根据（1）求得的增长率计算出4月份的营业额，然后与850万元比较即可． 【详解】（1）解：设该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该店2023年1月至3月营业额的月平均增长率为． （2）解：预计该店4月的营业额：（万元）． ∵， ∴预计该店4月的营业额能超过850万元． 例题5--4：（23-24九年级下·湖南株洲·期末）如图，中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．如果两点分别从两点同时出发，移动时间为（单位：）． (1)求的面积关于的函数解析式； (2)若的面积是面积的，求的值； (3)问：的面积能否为面积的一半？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．    【答案】(1)； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【分析】（）根据题意列出关系式即可； （）列出方程，然后求解即可； （）的面积等于的面积的一半，列出方程看看解的情况，可知是否有实数根； 本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：，， ∴， ∴； （2）∵， ∴当的面积是面积的时，， 整理得：， 解得：； （3）解：不存在，理由： 由（）得， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， 则不存在某一时刻，使得的面积等于的面积的一半． 巩固训练 1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支，以及1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，列出一元二次方程即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：1个主干上有x个支干，x个支干上共有个小分支， ∴可列方程为：， 故选C． 3．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人， 根据题意，得， 故选：C． 4．（23-24八年级下·山东烟台·期末）“爱在烟台，难以离开”，醉美所城里在2024年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2026年“五一”小长假期间，接待游客万人次，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗卖10元，平均每天将销售60碗；若价格每提高1元，则平均每天少销售4碗． (1)求出2024至2026年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率； (2)为了更好地维护烟台形象，物价局规定每碗售价不得超过15元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润360元？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设年平均增长率为，则2025年接待游客万人，2026年接待游客万人，据此列出方程求解即可； （2）设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元，根据利润（售价成本价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为， 依题意有． 解得，（舍去）． 答：年平均增长率为； （2）解：设每碗售价定为元时，店家才能实现每天利润600元， 依题意得：， 解得，， 每碗售价不得超过15元， 当每碗售价定为15元时，店家才能实现每天利润360元． 5．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 【答案】(1)道路的宽度为1米； (2)最多购进A种花卉240株． 【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设道路的宽度为x米，根据“种植花卉的总面积为63平方米，”列方程求解即可； （2）设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株，根据“园林部门采购花卉的费用不超过3680元，”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设道路的宽度为x米， 根据题意得：， 解得：，， ∵，故舍去， ， 答：道路的宽度为1米． （2）解：设购进A种花卉m株，则购进B种花卉株， 根据题意得：, 解得：， ∴最多购进A种花卉240株． 6．（23-24八年级下·重庆·期末）新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 【答案】(1)4个 (2)6米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． （2）设种植田的宽为米，则长为米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据对求出的根进行取舍． 【详解】（1）解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 由题意得：， 解得，（舍）， 即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支； （2）解：设种植田的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 综上可知，该种植田的宽为6米． 7．（2023·山东枣庄·模拟预测）第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)请把八进制数换算成十进制数； (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法． （1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得的结果相加即可； （2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2）依题意有：， 解得，负值舍去． 故的值是． 8．（23-24九年级上·河北邢台·期末）万达商场服装柜在销售中发现：“珊瑚”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十·一”国庆黄金周，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？此时日销售量是多少件？ 【答案】每件童装应降价20元， 此时日销售量是60件 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键．设每件童装应降价x元，根据题意列出等式即可得到答案． 【详解】解：设每件童装应降价x元，由题意得： ， ， ， ，， 因为商场需扩大销售量，增加盈利，减少库存所以舍去． 此时销售量是：（件） 答：每件童装应降价20元， 此时日销售量是60件． 9．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）某商店将每件进价为8元的商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降价增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件，将这种商品售价降低多少元时能使销售利润达到225元？ 【答案】将这种商品售价降低元时能使销售利润达到225元 【分析】根据题意可知设售价定为元，则利润为元，销售的总件数为；根据“涨价后每件的利润涨价后的销售量总利润”可列方程，求出即可．本题主要考查一元二次方程的应用，解决本题的关键是找出等量关系． 【详解】解：设这种商品的售价定为元时，能使每天的销售利润达到225元， 根据题意得： ， 整理得：， 解方程得：， ∴（元） ∴将这种商品售价降低元时能使销售利润达到225元 10．（23-24九年级上·广东佛山·期中） 如图所示，在中，，，，点由点出发，沿边以的速度向点移动；点由点出发，沿边以的速度向点移动．如果点，分别从点，同时出发，问： (1)经过_____________________秒后，的面积等于？ (2)经过几秒后，P，Q两点间距离是？ 【答案】(1)2或4 (2)秒 【分析】本题是一元二次方程的应用题，属于常考题型，正确理解题意列出方程、熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）设秒后，面积为，用含x的代数式表示出和，然后根据三角形的面积可得关于x的方程，解方程即可求出结果； （2）设秒后，，两点间距离是，根据勾股定理可得关于t的方程，解方程即得结果． 【详解】（1）解：设秒后，面积为，则，， 由可得， 解得，； 答：经过2秒或4秒后，面积为． （2）解：设秒后，，两点间距离是， 由勾股定理，得，即， 解得：（舍去）； 答：秒后，，两点间距离是． 11．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【答案】(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 12．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)；；； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；；；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 13．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为． (1)当　　时，四边形为平行四边形； (2)当时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当运动时间为时，，由四边形为平行四边形，可得出，进而可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）过点作于点，则，当运动时间为时，，，，由，利用勾股定理，可得出，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，， 根据题意得：， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， 过点作于点，则，如图所示， 当运动时间为时，，， 根据题意得：， ∴， 整理得：， 解得：，， 答：的值为或． 14．（九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时；两点停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，点在的垂直平分线上？ (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在的值，使得的面积与五边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)1 (4)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据线段垂直平分线的性质得出，可列出关于t的方程，然后求解即可； （2）根据勾股定理列方程求解即可； （3）根据三角形面积公式列方程求解即可； （4）根据的面积与五边形的面积之比等于，得出的面积与矩形的面积之比等于，然后根据三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解∶∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点在的垂直平分线上； （2）解：∵的长度等于，， ∴， ∴， 解得，（舍去） ∴当时，的长度等于； （3）解：∵的面积等于， ∴， 解得，（舍去） ∴当时，的面积等于， （4）解：∵的面积与五边形的面积之比等于， ∴的面积与矩形的面积之比等于， ∴， 解得，（舍去） ∴当时，的面积与五边形的面积之比等于． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$