辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

绝密★启用并使用完毕前 辽宁省名校联盟2024-2025学年高一第一次月考—数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．给出下列关系式，其中正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．已知命题：，，则命题的否定为（ ）。 A、， B、， C、， D、， 3．已知，则下列命题正确的是（ ）。 A、若且，则 B、若，则 C、若，则 D、若且，则 4．已知：，那么的一个充分条件是（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．设全集，且的子集可表示由、组成的位字符串，如：表示的是自左向右的第个字符为，第个字符为，其余字符均为的位字符串，并规定，空集表示的字符串为；对于任意两集合、，我们定义集合运算，。若、，则表示的位字符串是（ ）。 A、 B、 C、 D、 6．已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．已知命题：，命题：（）。若命题是命题的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．若关于的不等式（）的解集为空集，则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知集合、集合，则下列说法正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、有个真子集 10．已知条件：，条件：，且是的必要条件，则实数的值可以是（ ）。 A、 B、 C、 D、 11．已知关于的方程只有一个实数根，则实数的可能取值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知实数满足：，则 。 13．若两个正实数、满足，且存在这样的、使不等式有解，则实数的取值范围 为 。 14．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则实数的取值范围为 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，经计算（）年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入。假设到第年年底，该项目的纯利润为万元。（纯利润累计收入-总维修保养费用投资成本） （1）写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利； （2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以万元转让该项目；②纯利润最大时，以万元转让该项目； 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由。 16．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）已知，是否存在正实数、使得？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由； （2）已知，比较与的大小并说明理由； （3）利用（1）的结论解决下面问题：已知、均为正数，且，求的最大值。 17．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）已知命题：，命题：（），且命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围。 （2）已知不等式的解集与关于的不等式（）的解集相同，若实数满足，求的最小值。 18．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）已知函数的图像都在轴上方，求实数的取值范围； （2）关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围。 19．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）已知集合、集合，且满足，求实数的取值范围； （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： ①若，则集合中还有其他两个元素； ②集合不可能是单元素集合。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用并使用完毕前 辽宁省名校联盟2024-2025学年高一第一次月考—数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．给出下列关系式，其中正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】A选项，是没有任何元素的集合，错， B选项，∵，∴，对， C选项，是正整数集合，错， D选项，，元素是点坐标，错， 故选B。 2．已知命题：，，则命题的否定为（ ）。 A、， B、， C、， D、， 【答案】B 【解析】命题：，否定为，，故选B。 3．已知，则下列命题正确的是（ ）。 A、若且，则 B、若，则 C、若，则 D、若且，则 【答案】B 【解析】A选项，当时，满足且，但是不满足，错， B选项，，∴，∴，即，即，对， C选项，当时，，若成立，则需， ∴，∴与矛盾，错， D选项，当时，若且，则不能得出，错， 故选B。 4．已知：，那么的一个充分条件是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】A选项，∵推不出，∴不是：的充分条件，错， B选项，∵推不出，∴不是：的充分条件，错， C选项，∵一定能推出，∴是：的充分条件，对， D选项，∵推不出，∴不是：的充分条件，错， 故选C。 5．设全集，且的子集可表示由、组成的位字符串，如：表示的是自左向右的第个字符为，第个字符为，其余字符均为的位字符串，并规定，空集表示的字符串为；对于任意两集合、，我们定义集合运算，。若、，则表示的位字符串是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】由题意可得若、，则， ∴此集合的第个字符为，第个字符为，第个字符为， 其余字符均为，即表示的位字符串是，故选C。 6．已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】∵方程的两根分别是和， ∴，解得或，、， ∵，∴，解得， ∴实数的取值范围为，故选C。 7．已知命题：，命题：（）。若命题是命题的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】由题意：中，解得，在：（）中， 解得，∵是的充分不必要条件，∴，等号不同时成立， ∴，∴实数的取值范围为，故选B。 8．若关于的不等式（）的解集为空集，则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】，，得，∴， 令，则，∴，故选D。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知集合、集合，则下列说法正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、有个真子集 【答案】BD 【解析】由题意得集合表示直线上所有的点，集合表示上所有的点，是点集，A选项错， 由得或，∴，∴B选项对，C选项错， ∴有个真子集：、、，D选项对， 故选BD。 10．已知条件：，条件：，且是的必要条件，则实数的值可以是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】ABC 【解析】设集合、集合， ∵是的必要条件，∴， 当时，由无解可得，符合题意， 当时，或，当时，由解得， 当时，由解得， 综上所述，实数的取值为、、，故选ABC。 11．已知关于的方程只有一个实数根，则实数的可能取值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】ABD 【解析】对方程，去分母可得：，且且， 此时， 当时，即时，此时方程为，即， 解得，符合题意， 当，即时，方程有两根、， 当或时，为增根，此时方程只有一个实根， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 综上所述，实数的可能取值为或或，故选ABD。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知实数满足：，则 。 【答案】 【解析】。 13．若两个正实数、满足，且存在这样的、使不等式有解，则实数的取值范围 为 。 【答案】 【解析】∵两个正实数、满足，两边同除以得， ∴， 当且仅当，即、时，等号成立，则的最小值为， 若不等式有解，则，即， 解得或，∴实数的取值范围为。 14．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则实数的取值范围为 。 【答案】 【解析】由不等式，解得或， 解方程，解得、， ①若，即时，不等式的解集为， 若不等式组只有一个整数解，则，解得， ②若，即时，不等式的解集为， 若不等式组只有一个整数解，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，经计算（）年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入。假设到第年年底，该项目的纯利润为万元。（纯利润累计收入-总维修保养费用投资成本） （1）写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利； （2）若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案： ①年平均利润最大时，以万元转让该项目；②纯利润最大时，以万元转让该项目； 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由。 【解析】（1）由题意可知（）， 2分 令，即，即，解得， ∴从第年起开始盈利； 5分 （2）若选择方案①，设年平均利润为万元， 则， 当且仅当时，即时等号成立，∴当时，取得最大值， 8分 此时该项目共获利（万元）， 若选择方案②，纯利润， ∴当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）， 11分 以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年， ∴仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展。 13分 16．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）已知，是否存在正实数、使得？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由； （2）已知，比较与的大小并说明理由； （3）利用（1）的结论解决下面问题：已知、均为正数，且，求的最大值。 【解析】（1）不存在，∵、，∴，又∵，∴，∴， ∴不存在、使得； 5分 （2），证明如下： ， 当且仅当时等号成立，∴； 10分 （3）由（1）得，∴，∴， 当且仅当，即、时等号成立，∴的最大值为。 15分 17．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）已知命题：，命题：（），且命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围。 （2）已知不等式的解集与关于的不等式（）的解集相同，若实数满足，求的最小值。 【解析】（1）命题：，解得，设命题表示集合， 2分 设命题表示集合，∵命题是命题的必要不充分条件，∴， 4分 ，即， 5分 当时，，，符合要求，可取， 当时，解得，∵，∴，解得，经检验，符合要求，可取， 当时，解得，∵，∴，解得，经检验，符合要求，可取， 综上所述，实数的取值范围为； 8分 （2）由得，解得， 10分 又由得，其解集为， ∴和是方程的两根，根据韦达定理得、， ∴、，∴， 13分 则， 当且仅当时，即时取等号，即、时，有最小值为。 15分 18．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）已知函数的图像都在轴上方，求实数的取值范围； （2）关于的不等式的解集为，且，求实数的取值范围。 【解析】（1）当时，即时，解得或， 1分 当时，的图像不可能都在轴上方，不符合题意，舍去， 2分 当时，的图像都在轴上方，符合题意，可取， 3分 当时，若函数的图像都在轴上方， 则只需且， 即且，解得， 7分 综上所述，，即实数的取值范围为； 8分 （2）由题意可知且方程的两根为、， 则，解得或， ∴或， 10分 根据韦达定理得、， 11分 又∵，∴，∴， ∴且，∴， 16分 综上所述，，∴实数的取值范围为。 17分 19．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）已知集合、集合，且满足，求实数的取值范围； （2）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： ①若，则集合中还有其他两个元素； ②集合不可能是单元素集合。 【解析】（1）当时，，此时， 1分 当时，∵，∴或关于的方程的根均为负数， 2分 当时，关于的方程无实数根，∴，解得，4分 当关于的方程的根、均为负数时， 有，解得，即， 7分 综上所述，实数的取值范围为； 8分 （2）若，则，若，则，若，则， 11分 ∴当时，集合中必含有另两个元素、； 12分 （2）假设集合中只有个元素（），由题意可知， ∵集合为单元素集合，∴， 即，而，则此方程无实数解， ∴假设不成立，∴集合不可能是单元素集合。 17分 8 学科网（北京）股份有限公司 $$