辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

绝密★启用并使用完毕前 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一第一次月考—数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】由题意可知，又，则，∴，故选D。 2．已知命题：，，则为（ ）。 A、， B、， C、，或 D、，或 【答案】D 【解析】由全称命题的否定是特称命题知：原命题的否定为，或，故选D。 3．若，则（ ）。 A、有最小值 B、有最大值 C、有最小值 D、有最大值 【答案】B 【解析】∵，∴，∴，当且仅当，即时取等号， ∴，当且仅当时取等号，故选B。 4．若不等式的解集为，则函数的图像可以为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】由题可得和是方程的两个根，且， 由韦达定理得且，解得、， 则， 则函数图像开口向下，对称轴为，与轴交于、，故选C。 5．已知、是互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】∵、是互不相等的正实数，∴，∴， ∵，∴，∵，∴最大， 特值法：令、，则、、、，其中最大， 故选B。 6．已知集合、集合，若，则实数的取值集合为 （ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】由题意可知，∵，∴， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 当时，有，方程组无解， 当时，有，方程组无解， 综上所述，实数的取值集合为，故选C。 7．手机屏幕面积与手机前面板面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0~1之间．若设计师将某款手机的屏幕面积和手机前面板面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该款手机的“屏占比”和升级前相比（ ）。 A、不变 B、变小 C、变大 D、变化不确定 【答案】C 【解析】设升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为（，）， ∵，∴升级后手机“屏占比”和升级前相比变大，故选C。 8．已知命题：，是真命题，则的一个必要不充分条件是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】∵，，∴当时，， ∵，当且仅当时，即时，等号成立， ∴是的充要条件，∵能推出，但不能推出， ∴是的一个必要不充分条件，故选C。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知、，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】AC 【解析】A选项，∵，∴，∴，对， B选项，当、、、时不满足，错， C选项，∵、，∴，对， D选项，当、、、时不满足，错， 故选AC。 10．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值可以是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】BC 【解析】函数，图像抛物线开口向上，对称轴方程为， 当时，取最小值，不等式的解集中恰有个整数，这个整数为、、， ∴，解得，实数的取值范围为，故选BC。 11．已知、为正实数，且，则下列判断正确的是（ ）。 A、的最大值为 B、的最小值为 C、的最小值为 D、的最小值为 【答案】ABD 【解析】A选项，∵，即，解得， 即，当且仅当时，即、时取等号，∴的最大值为，对， B选项，由得， ∴， 当且仅当时，即、时取等号，此时取得最小值8，对， C选项，由得， ∴， 当且仅当，即、时取等号，错， D选项，， 当且仅当，即、时取等号，对， 故选ABD。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知集合、集合，则满足关系的集合可以是 。 【答案】、、、 【解析】∵、，，∴集合可以是、、、。 13．对班级名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成的比赞成的多人，其余的不赞成，另外，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多人，问对、都赞成的学生有 人。 【答案】 【解析】赞成的人数为，赞成的人数为， 设对、都赞成的学生有，则，解得。 点睛：本题考查了根据韦恩图求解集合问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出韦恩图是解题的关键。 14．正实数、满足：，且，则的取值范围为 ；实数的最小值为 。（本小题第一个空分，第二个空分） 【答案】 【解析】令（），有，则，则，解得， ∴的取值范围为， 令，， 设二次函数，，根据二次函数图像可知， ∴，∴，∴实数的最小值为。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）已知全集，集合、集合。 （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：，命题：，若命题是命题的必要条件，求实数的取值范围。 【解析】， 2分 ，∵恒成立，∴， ∴， 5分 （1）若，则有或，解得或， ∴实数的取值范围为； 9分 （2）∵命题是命题的必要条件，∴， ∴且，解得或， ∴实数的取值范围为。 13分 16．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）解关于的不等式（）； （2）若不等式（）对任意恒成立，求实数的取值范围。 【解析】（1）， 当时，即时，原不等式可化为，解得， ∴原不等式的解集为， 2分 当时，即时，原不等式可化为， 3分 当时，即时，，∵， ∴原不等式的解集为， 5分 当时，即时，，∵， ∴原不等式的解集为； 6分 （2），即， ∵恒成立， ∴， 10分 令，∵，∴， ∴对于一切恒成立， ∵，当且仅当时取等号，∴， ∴，且仅当时取等号，即实数的取值范围为。 15分 17．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户（如图所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？ （2）如图所示，铁路线上段长千米，工厂到铁路的距离为千米。现要在上某一点处向修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为。为了使原料从供应站运到工厂的运费最少，点应选在何处？ 【解析】（1）由图像可知，窗框的定长为，∴， 2分 则窗框的面积， 当时，窗框的面积取得最大值，此时， 即当时，窗户能够透过最多的光线； 7分 （2）由题意可知单位距离的公路运费大于铁路运费，又， 则只有点选在线段上某一适当位置，才能使总运费最省， 设（千米），铁路吨千米运费，公路吨千米运费，从到的总费用为， 则依题意得，，即， 10分 令，则有，两边同时平方并整理得：， ∵关于的方程一定有解，∴，解得， ∵，∴，当时，的解为， 这时最小，也最小，即当点选在距点千米处时，总运费最省。 15分 18．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）已知全集，集合、集合、集合，且 ，求实数的取值范围； （2）关于的二次方程在区间内有实数解，求实数的取值范围。 【解析】（1）， 1分 ， 2分 ， 3分 ， 4分 当时，，不合符题意，舍去， 5分 当时，，不合符题意，舍去， 6分 当时，，∵，∴且，解得， 7分 综上所述，实数的取值范围为； 8分 （2）设函数， ①若有唯一一个实数解时，，即， 解得或， 当时，原不等式可化为，解得，符合要求，可取， 当时，原不等式可化为，解得，不符合要求，舍去， 11分 ②若有两个不相等的实数解时，，即， 解得或， 若在区间内有唯一一个实数解，又， 则只需，解得，符合要求，可取， 若在区间内有两个不相等的实数解， 则只需对称轴且， 解得且，又或，∴， 16分 综上所述，，即实数的取值范围为。 17分 19．（本小题满分分）已知集合为非空数集。定义：集合、集合 。 （1）若集合，直接写出集合和集合； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值。 【解析】（1）∵集合，∴集合、集合； 2分 （2）∵集合，，且， ∴集合中也只包含四个元素，∵， ∴集合且，即， 5分 又∵，∴、， ∴，，此时满足题意，∴； 7分 （3）设满足题意，其中， ∵，∴， ∵，∴， 10分 ∵，∴，又中最小的元素为，最大的元素为， ∴，∴（），∴， 12分 设，， 则、， ∵，∴，∴， ∴的最小值为，∴当时，集合中元素最多， 即集合时，满足题意， 16分 综上所述，集合中元素的个数的最大值是。 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用并使用完毕前 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一第一次月考—数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．已知命题：，，则为（ ）。 A、， B、， C、，或 D、，或 3．若，则（ ）。 A、有最小值 B、有最大值 C、有最小值 D、有最大值 4．若不等式的解集为，则函数的图像可以为（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．已知、是互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是（ ）。 A、 B、 C、 D、 6．已知集合、集合，若，则实数的取值集合为 （ ）。 A、 B、 C、 D、 7．手机屏幕面积与手机前面板面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0~1之间．若设计师将某款手机的屏幕面积和手机前面板面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该款手机的“屏占比”和升级前相比（ ）。 A、不变 B、变小 C、变大 D、变化不确定 8．已知命题：，是真命题，则的一个必要不充分条件是（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知、，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 10．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值可以是（ ）。 A、 B、 C、 D、 11．已知、为正实数，且，则下列判断正确的是（ ）。 A、的最大值为 B、的最小值为 C、的最小值为 D、的最小值为 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知集合、集合，则满足关系的集合可以是 。 13．对班级名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成的比赞成的多人，其余的不赞成，另外，对、都不赞成的学生数比对、都赞成的学生数的三分之一多人，问对、都赞成的学生有 人。 14．正实数、满足：，且，则的取值范围为 ；实数的最小值为 。 （本小题第一个空分，第二个空分） 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）已知全集，集合、集合。 （1）若，求实数的取值范围； （2）命题：，命题：，若命题是命题的必要条件，求实数的取值范围。 16．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）解关于的不等式（）； （2）若不等式（）对任意恒成立，求实数的取值范围。 17．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）要在墙上开一个上半部为半圆形，下部为矩形的窗户（如图所示），在窗框为定长的条件下，要使窗户能够透过最多的光线，窗户应设计成怎样的尺寸？ （2）如图所示，铁路线上段长千米，工厂到铁路的距离为千米。现要在上某一点处向修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为。为了使原料从供应站运到工厂的运费最少，点应选在何处？ 18．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）已知全集，集合、集合、集合，且 ，求实数的取值范围； （2）关于的二次方程在区间内有实数解，求实数的取值范围。 19．（本小题满分分）已知集合为非空数集。定义：集合、集合 。 （1）若集合，直接写出集合和集合； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$