专题2.1等式性质与不等式性质（考点精讲）-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题2.1 等式性质与不等式性质 一、【考纲要求】 1. 正确理解并掌握等式性质； 2. 会比较两个数的大小； 3. 理解不等式的性质，并能简单应用 二、【考向预测】 1.由不等式的性质比较数（式）的大小（高频考点） 2.能根据作差法、作商法比较数的大小 3.不等式的证明 三、【知识清单】 1. 等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 4．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 四、【考点分类剖析】 考点一：利用不等式的性质判断正误 例1.给出下面3个命题，其中正确命题的个数是 . （1）；（2）；（3）. 【变式练习1】已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】已知，，是实数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】对于任意实数，命题①若，，则；②若，则； ③若，则 ；④若，则；⑤若，，则． 其中真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 考点二：利用作差法比较大小 例1. 设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【变式练习1】已知，，记，，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不确定 【变式练习2】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较 考点三：利用作商法比较大小 例1. 设，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式练习1】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【变式练习2】若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】设，比较与的大小 【变式练习4】已知a>0，b>0，试比较与的大小． 考点四：利用不等式性质证明不等式 例1.设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【变式练习1】证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【变式练习2】证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 【变式练习3】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 等式性质与不等式性质 一、【考纲要求】 1. 正确理解并掌握等式性质； 2. 会比较两个数的大小； 3. 理解不等式的性质，并能简单应用 二、【考向预测】 1.由不等式的性质比较数（式）的大小（高频考点） 2.能根据作差法、作商法比较数的大小 3.不等式的证明 三、【知识清单】 1. 等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 4．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 四、【考点分类剖析】 考点一：利用不等式的性质判断正误 例1.给出下面3个命题，其中正确命题的个数是 . （1）；（2）；（3）. 【答案】3 【解题思路】根据不等式的基本性质对各选项依次进行判断即可得解. 【解析】,,故（1）正确； ,故（2）正确； 正数的倒数大于负数的倒数，故（3）正确. 所以正确命题的个数为3. 故答案为：3. 【变式练习1】已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质逐项判断即可结论. 【解析】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确. 故选：D. 【变式练习2】已知，，是实数，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A：根据不等式性质分析判断；对于BCD：举反例分析说明. 【解析】因为，则，故A正确； 例如，可得，故B错误； 例如，可得，故C错误； 例如，可得，故D错误； 故选：A. 【变式练习3】对于任意实数，命题①若，，则；②若，则； ③若，则 ；④若，则；⑤若，，则． 其中真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质判断即可. 【解答过程】命题①，若，当时，，当时，，故①错误； 命题②，若，当时，，当时，，，故②错误； 命题③，若，则，，故，故③正确； 命题④，若，当，或时，，当时，，故④错误； 命题⑤，若，当时，，当时，和大小不确定，当时，，故⑤错误； 故选：A. 考点二：利用作差法比较大小 例1. 设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【解题思路】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【解析】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 【变式练习1】已知，，记，，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．不确定 【答案】B 【解题思路】通过作差法并结合，即可判断的大小. 【解析】由作差法得， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以. 故选：B． 【变式练习2】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用作差法比较大小即可得出正确选项. 【解析】因为，所以.， 因为， 且，所以，所以，所以.故. 故选：A. 【变式练习3】小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较 【答案】A 【解题思路】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可. 【解析】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且， 则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克， 小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元． 因为， 所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低． 故选：A. 考点三：利用作商法比较大小 例1. 设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【解析】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D. 【变式练习1】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【解题思路】应用作商法比较的大小关系即可. 【解析】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 【变式练习2】若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解析】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 【变式练习3】设，比较与的大小 【答案】 【解题思路】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【解析】， ， ， . 【变式练习4】已知a>0，b>0，试比较与的大小． 【答案】≥ 【解题思路】首先作商，，再讨论的大小，让商的结果和1比较大小，即可比较与的大小． 【解析】＝＝＝． ①若a＝b>0，则＝1，a－b＝0，∴＝1，∴＝； ②若a>b>0，则>1，a－b>0，由指数函数的性质知>1，∴>． ③若0<a<b，则0<<1，a－b<0，由指数函数的性质知>1，∴>． 综上，≥． 考点四：利用不等式性质证明不等式 例1.设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【解题思路】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【解析】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴， ∴. 【变式练习1】证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【解题思路】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【解析】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 【变式练习2】证明下列不等式： (1)若，求证：； (2)若，，，求证：． 【解题思路】根据作出比较法，准确化简、运算，即可求解. 【解析】（1）证明：因为， 又因为，所以，所以． （2）证明：由 ， 因为，， 所以，，，， 所以，． 因为，所以 又因为， 所以，即． 【变式练习3】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了. (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：. 【解题思路】（1）用作差比较法即可； （2）结合（1）的结论即可证明. 【解答过程】（1）若，则. 证明：. 因为，所以，又，故， 因此. （2）在锐角三角形中，由（1）得， 同理， . 以上式子相加得. ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$